人教版数学八年级下册：17.1 勾股定理 同步练习（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册：17.1 勾股定理 同步练习（word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 334.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-12 17:36:02 | ||
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文档简介
第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
1．如图是历史上对勾股定理的一种证法采用的图形，用四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中间空白的部分是一个小正方形．求中间空白小正方形的面积，不难发现：
方法①：小正方形的面积＝ ；
方法②：小正方形的面积＝ ；
由方法①②，可以得到a，b，c的关系为： ．
2．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是2 cm，则另一条直角边的长是( )
A．4 cm B．4 cm C．6 cm D．6 cm
4．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积为 ．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是 ．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S2＝4，S3＝6，则S1＝ ．
7．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(1)a＝7，b＝24，求c；
(2)a＝4，c＝7，求b.
8．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝20，AD＝12，且AD⊥BC，垂足为D，求BC的长．
9．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．
10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )
A．48 B．60 C．76 D．80
11．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( )
A．3 B．6 C．3 D.
12．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作等边三角形．若AB＝4，则三个等边三角形的面积之和是( )
A．8 B．6 C．18 D．12
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB－AC＝2，BC＝8，则AB的长是 ．
14．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC中点．求证：AB2＋3BC2＝4BD2.
16．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.
图1 图2
证明：连接DB，DC，过点D作BC边上的高DF，DF＝EC＝b－a.
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，
∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)．
∴a2＋b2＝c2.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.
第2课时 勾股定理的应用
1．如图，一艘巡逻船由A港沿北偏西60°方向航行5海里至B港，然后再沿北偏东30°方向航行4海里至C港，则A，C两港相距( )
A．4海里 B.海里 C．3海里 D．5海里
2．如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC＝12米，AB＝AC＝6.5米，则中柱AD(D为底边BC的中点)的长是( )
A．6米 B．5米 C．3米 D．2.5米
3．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝12 m，则树高为( )
A．13 m B．17 m C．18 m D．22 m
4．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4米路，却踩伤了花草．
5．如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 m.
6．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈＝10尺)，如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为(x＋6)尺，根据题意得方程： ．
7．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米(即BC＝140米)，结果他在水中实际游了500米(即AC＝500米)，求该河AB处的宽度．
8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5 m，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，滑竿顶端A下滑 m.
9．为了推广城市绿色出行，南沙区交委准备在蕉门河沿岸东西走向AB路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分别为点A，B.AB＝3 km，CA＝2 km，DB＝1.6 km，试问这个单车停放点E应建在距点A多少千米处，才能使它到两广场的距离相等？
10．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
11．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( )
A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m
12．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5 m，高3 m，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为( )
A．4 m B．8 m C．9 m D．7 m
13．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，则阳光透过的最大面积为 m2.
14．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了 cm.
15．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm.
16．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？
17．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变．若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
(1)A城市是否会受台风影响？为什么？
(2)若会，将持续多长时间？
(3)该城市受台风影响的最大风力为几级？
第3课时 利用勾股定理作图
1．如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是( )
A．1 B．2.41 C. D．1＋
2．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为P，则点P的位置在数轴上( )
37350700A．1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间
D．4和5之间
3．在数轴上作出表示的点(保留作图痕迹，不写作法)．
4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )
A．5 B．6 C．7 D．25
5．如图，图中小正方形的边长为1，△ABC的周长为( )
A．16 B．12＋4 C．7＋7 D．5＋11
6．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和－.
7．若等边△ABC的边长为2 cm，则△ABC的面积为( )
A. cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．4 cm2
8．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )
A．(1，1) B．(1，) C．(，1) D．(，)
9．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为( )
A. B. C. D．2－
10．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12 cm，则AF＝ cm.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，求BC边上的高．
12．如图，在5×5的正方形网格中(每个小正方形的边长为1个单位长度)，格点上有A，B，C，D，E五个点，若要求连接两个点所成线段的长度大于3且小于4，则可以连接( )
A．AE B．AB C．AD D．BE
13．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上．若BD是△ABC的高，则BD的长为( )
A. B. C. D.
14．在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.
(1)请在图中画一个边长为的正方形；
(2)这个正方形的面积为 ．
15．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长．
16．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
OA＝()2＋1＝2，S1＝；
OA＝()2＋1＝3，S2＝；
OA＝()2＋1＝4，S3＝；
…
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．
参考答案：
第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
1．方法①：小正方形的面积＝c2－4×ab＝c2－2ab；
方法②：小正方形的面积＝(b－a)2＝b2－2ab＋a2；
由方法①②，可以得到a，b，c的关系为：a2＋b2＝c2．
2．A
3．C
4．3．
5．．
6．2．
7．解：(1)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．
∴a2＋b2＝c2.∴72＋242＝c2.
∴c2＝49＋576＝625.
∴c＝25.
(2)∵∠C＝90 °，∴△ABC是直角三角形．
∴a2＋b2＝c2.
∴42＋b2＝72.
∴b2＝72－42＝49－16＝33.
∴b＝.
8．解：∵AB＝13，AC＝20，
AD＝12，AD⊥BC，
∴Rt△ABD中，
BD＝＝＝5，
Rt△ACD中，CD＝＝＝16.
∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21.
9．5或．
10．C
11．A
12．A
13．17．
14．10．
15．证明：在Rt△BDC中，根据勾股定理，得BD2＝CD2＋BC2.
∴CD2＝BD2－BC2.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC2＋BC2＝AB2.
∵D是AC的中点，∴AC＝2CD.
∴4CD2＋BC2＝AB2.∴CD2＝.
∴BD2－BC2＝.
∴AB2＋3BC2＝4BD2.
16．证明：连接DB，过点B作DE边上的高BF，BF＝b－a.
∵S五边形ACBED＝S梯形ACBE＋S△AED
＝(a＋b)b＋ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ADB＋S△BED
＝ab＋c2＋a(b－a)，
∴(a＋b)b＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)．
∴a2＋b2＝c2.
第2课时 勾股定理的应用
1．如图，一艘巡逻船由A港沿北偏西60°方向航行5海里至B港，然后再沿北偏东30°方向航行4海里至C港，则A，C两港相距( B )
A．4海里 B.海里 C．3海里 D．5海里
2．如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC＝12米，AB＝AC＝6.5米，则中柱AD(D为底边BC的中点)的长是( D )
A．6米 B．5米 C．3米 D．2.5米
3．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝12 m，则树高为( C )
A．13 m B．17 m C．18 m D．22 m
4．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4米路，却踩伤了花草．
5．如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10m.
6．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈＝10尺)，如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为(x＋6)尺，根据题意得方程：x2＋6x－32＝0．
7．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米(即BC＝140米)，结果他在水中实际游了500米(即AC＝500米)，求该河AB处的宽度．
解：在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，即AB2＋1402＝5002，解得AB＝480.
答：该河AB处的宽度为480米．
8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5 m，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，滑竿顶端A下滑0.5m.
9．为了推广城市绿色出行，南沙区交委准备在蕉门河沿岸东西走向AB路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分别为点A，B.AB＝3 km，CA＝2 km，DB＝1.6 km，试问这个单车停放点E应建在距点A多少千米处，才能使它到两广场的距离相等？
解：设AE＝x km时，单车停放点E到两广场的距离相等．
则BE＝(3－x)km.
在Rt△ACE中，根据勾股定理，得
AC2＋AE2＝CE2；
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
BE2＋BD2＝DE2.
∵CE＝DE，∴AC2＋AE2＝BE2＋BD2，
即22＋x2＝(3－x)2＋1.62.
解得x＝1.26.
∴这个单车停放点E应建在距点A1.26 km处，才能使它到两广场的距离相等．
10．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( C )
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
11．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m
12．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5 m，高3 m，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为( D )
A．4 m B．8 m C．9 m D．7 m
13．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，则阳光透过的最大面积为100m2.
14．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.
15．(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm.
16．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？
解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠PAO＝30°.
∴AP＝2OP＝200 m，
AO＝＝＝100(m)．
在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m.
∴AB＝AO－BO＝(100－100)m.
∴从A到B小车行驶的速度为(100－100)÷3≈24.4(m/s)＝87.84 km/h>80 km/h.
∴此车超过80 km/h的限制速度．
17．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变．若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
(1)A城市是否会受台风影响？为什么？
(2)若会，将持续多长时间？
(3)该城市受台风影响的最大风力为几级？
解：(1)该城市会受到这次台风的影响．
理由：过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝30°，AB＝220，∴AD＝AB＝110.
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为20×(12－4)＝160(千米)．
∵110＜160，∴该城市会受到这次台风的影响．
(2)以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E，F，则AE＝AF＝160.
∴台风影响该市持续的路程：EF＝2DE＝2＝60(千米)．
∴台风影响该市的持续时间t＝60÷15＝4(小时)．
(3)∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为12－(110÷20)＝6.5(级)．
第3课时 利用勾股定理作图
1．如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是( D )
A．1 B．2.41 C. D．1＋
2．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为P，则点P的位置在数轴上( C )
A．1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间
D．4和5之间
3．在数轴上作出表示的点(保留作图痕迹，不写作法)．
解：如图所示．
4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(A)
A．5 B．6 C．7 D．25
5．如图，图中小正方形的边长为1，△ABC的周长为( B )
A．16 B．12＋4 C．7＋7 D．5＋11
6．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和－.
解：如图所示：
7．若等边△ABC的边长为2 cm，则△ABC的面积为( A )
A. cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．4 cm2
8．B
9．D
10．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12 cm，则AF＝6cm.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，求BC边上的高．
解：过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC＝13 cm，
∴BD＝CD＝BC＝×10＝5(cm)．
∴AD＝＝
＝12(cm)．
2．C
13．D
14．(2020·遵义汇川区模拟)在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.
(1)请在图中画一个边长为的正方形；
(2)这个正方形的面积为10．
解：如图所示．
15．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长．
解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，∴CB＝CD.
∴∠BDC＝∠DBC.
又∵∠BCD＝180°－∠DCE＝180°－60°＝120°，
∴∠BDC＝∠DBC＝30°.
又∵∠CDE＝60°，∴∠BDE＝90°.
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝8，根据勾股定理，得
BD＝＝＝4.
16．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
OA＝()2＋1＝2，S1＝；
OA＝()2＋1＝3，S2＝；
OA＝()2＋1＝4，S3＝；
…
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．
解：(1)OA＝()2＋1＝n，
Sn＝(n为正整数)．
(2)OA＝()2＋1＝10，
∴OA10＝.
(3)S＋S＋S＋…＋S
＝()2＋()2＋()2＋…＋()2＋()2
＝＋＋＋…＋＋
＝
＝
＝.
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
1．如图是历史上对勾股定理的一种证法采用的图形，用四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中间空白的部分是一个小正方形．求中间空白小正方形的面积，不难发现：
方法①：小正方形的面积＝ ；
方法②：小正方形的面积＝ ；
由方法①②，可以得到a，b，c的关系为： ．
2．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是2 cm，则另一条直角边的长是( )
A．4 cm B．4 cm C．6 cm D．6 cm
4．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积为 ．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是 ．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S2＝4，S3＝6，则S1＝ ．
7．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(1)a＝7，b＝24，求c；
(2)a＝4，c＝7，求b.
8．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝20，AD＝12，且AD⊥BC，垂足为D，求BC的长．
9．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．
10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )
A．48 B．60 C．76 D．80
11．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( )
A．3 B．6 C．3 D.
12．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作等边三角形．若AB＝4，则三个等边三角形的面积之和是( )
A．8 B．6 C．18 D．12
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB－AC＝2，BC＝8，则AB的长是 ．
14．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC中点．求证：AB2＋3BC2＝4BD2.
16．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.
图1 图2
证明：连接DB，DC，过点D作BC边上的高DF，DF＝EC＝b－a.
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，
∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)．
∴a2＋b2＝c2.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.
第2课时 勾股定理的应用
1．如图，一艘巡逻船由A港沿北偏西60°方向航行5海里至B港，然后再沿北偏东30°方向航行4海里至C港，则A，C两港相距( )
A．4海里 B.海里 C．3海里 D．5海里
2．如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC＝12米，AB＝AC＝6.5米，则中柱AD(D为底边BC的中点)的长是( )
A．6米 B．5米 C．3米 D．2.5米
3．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝12 m，则树高为( )
A．13 m B．17 m C．18 m D．22 m
4．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4米路，却踩伤了花草．
5．如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 m.
6．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈＝10尺)，如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为(x＋6)尺，根据题意得方程： ．
7．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米(即BC＝140米)，结果他在水中实际游了500米(即AC＝500米)，求该河AB处的宽度．
8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5 m，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，滑竿顶端A下滑 m.
9．为了推广城市绿色出行，南沙区交委准备在蕉门河沿岸东西走向AB路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分别为点A，B.AB＝3 km，CA＝2 km，DB＝1.6 km，试问这个单车停放点E应建在距点A多少千米处，才能使它到两广场的距离相等？
10．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
11．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( )
A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m
12．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5 m，高3 m，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为( )
A．4 m B．8 m C．9 m D．7 m
13．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，则阳光透过的最大面积为 m2.
14．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了 cm.
15．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm.
16．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？
17．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变．若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
(1)A城市是否会受台风影响？为什么？
(2)若会，将持续多长时间？
(3)该城市受台风影响的最大风力为几级？
第3课时 利用勾股定理作图
1．如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是( )
A．1 B．2.41 C. D．1＋
2．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为P，则点P的位置在数轴上( )
37350700A．1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间
D．4和5之间
3．在数轴上作出表示的点(保留作图痕迹，不写作法)．
4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )
A．5 B．6 C．7 D．25
5．如图，图中小正方形的边长为1，△ABC的周长为( )
A．16 B．12＋4 C．7＋7 D．5＋11
6．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和－.
7．若等边△ABC的边长为2 cm，则△ABC的面积为( )
A. cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．4 cm2
8．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )
A．(1，1) B．(1，) C．(，1) D．(，)
9．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为( )
A. B. C. D．2－
10．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12 cm，则AF＝ cm.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，求BC边上的高．
12．如图，在5×5的正方形网格中(每个小正方形的边长为1个单位长度)，格点上有A，B，C，D，E五个点，若要求连接两个点所成线段的长度大于3且小于4，则可以连接( )
A．AE B．AB C．AD D．BE
13．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上．若BD是△ABC的高，则BD的长为( )
A. B. C. D.
14．在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.
(1)请在图中画一个边长为的正方形；
(2)这个正方形的面积为 ．
15．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长．
16．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
OA＝()2＋1＝2，S1＝；
OA＝()2＋1＝3，S2＝；
OA＝()2＋1＝4，S3＝；
…
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．
参考答案：
第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
1．方法①：小正方形的面积＝c2－4×ab＝c2－2ab；
方法②：小正方形的面积＝(b－a)2＝b2－2ab＋a2；
由方法①②，可以得到a，b，c的关系为：a2＋b2＝c2．
2．A
3．C
4．3．
5．．
6．2．
7．解：(1)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．
∴a2＋b2＝c2.∴72＋242＝c2.
∴c2＝49＋576＝625.
∴c＝25.
(2)∵∠C＝90 °，∴△ABC是直角三角形．
∴a2＋b2＝c2.
∴42＋b2＝72.
∴b2＝72－42＝49－16＝33.
∴b＝.
8．解：∵AB＝13，AC＝20，
AD＝12，AD⊥BC，
∴Rt△ABD中，
BD＝＝＝5，
Rt△ACD中，CD＝＝＝16.
∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21.
9．5或．
10．C
11．A
12．A
13．17．
14．10．
15．证明：在Rt△BDC中，根据勾股定理，得BD2＝CD2＋BC2.
∴CD2＝BD2－BC2.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC2＋BC2＝AB2.
∵D是AC的中点，∴AC＝2CD.
∴4CD2＋BC2＝AB2.∴CD2＝.
∴BD2－BC2＝.
∴AB2＋3BC2＝4BD2.
16．证明：连接DB，过点B作DE边上的高BF，BF＝b－a.
∵S五边形ACBED＝S梯形ACBE＋S△AED
＝(a＋b)b＋ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ADB＋S△BED
＝ab＋c2＋a(b－a)，
∴(a＋b)b＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)．
∴a2＋b2＝c2.
第2课时 勾股定理的应用
1．如图，一艘巡逻船由A港沿北偏西60°方向航行5海里至B港，然后再沿北偏东30°方向航行4海里至C港，则A，C两港相距( B )
A．4海里 B.海里 C．3海里 D．5海里
2．如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC＝12米，AB＝AC＝6.5米，则中柱AD(D为底边BC的中点)的长是( D )
A．6米 B．5米 C．3米 D．2.5米
3．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝12 m，则树高为( C )
A．13 m B．17 m C．18 m D．22 m
4．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4米路，却踩伤了花草．
5．如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10m.
6．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈＝10尺)，如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为(x＋6)尺，根据题意得方程：x2＋6x－32＝0．
7．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米(即BC＝140米)，结果他在水中实际游了500米(即AC＝500米)，求该河AB处的宽度．
解：在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，即AB2＋1402＝5002，解得AB＝480.
答：该河AB处的宽度为480米．
8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5 m，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，滑竿顶端A下滑0.5m.
9．为了推广城市绿色出行，南沙区交委准备在蕉门河沿岸东西走向AB路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分别为点A，B.AB＝3 km，CA＝2 km，DB＝1.6 km，试问这个单车停放点E应建在距点A多少千米处，才能使它到两广场的距离相等？
解：设AE＝x km时，单车停放点E到两广场的距离相等．
则BE＝(3－x)km.
在Rt△ACE中，根据勾股定理，得
AC2＋AE2＝CE2；
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
BE2＋BD2＝DE2.
∵CE＝DE，∴AC2＋AE2＝BE2＋BD2，
即22＋x2＝(3－x)2＋1.62.
解得x＝1.26.
∴这个单车停放点E应建在距点A1.26 km处，才能使它到两广场的距离相等．
10．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( C )
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
11．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m
12．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5 m，高3 m，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为( D )
A．4 m B．8 m C．9 m D．7 m
13．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，则阳光透过的最大面积为100m2.
14．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.
15．(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm.
16．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？
解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠PAO＝30°.
∴AP＝2OP＝200 m，
AO＝＝＝100(m)．
在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m.
∴AB＝AO－BO＝(100－100)m.
∴从A到B小车行驶的速度为(100－100)÷3≈24.4(m/s)＝87.84 km/h>80 km/h.
∴此车超过80 km/h的限制速度．
17．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变．若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
(1)A城市是否会受台风影响？为什么？
(2)若会，将持续多长时间？
(3)该城市受台风影响的最大风力为几级？
解：(1)该城市会受到这次台风的影响．
理由：过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝30°，AB＝220，∴AD＝AB＝110.
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为20×(12－4)＝160(千米)．
∵110＜160，∴该城市会受到这次台风的影响．
(2)以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E，F，则AE＝AF＝160.
∴台风影响该市持续的路程：EF＝2DE＝2＝60(千米)．
∴台风影响该市的持续时间t＝60÷15＝4(小时)．
(3)∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为12－(110÷20)＝6.5(级)．
第3课时 利用勾股定理作图
1．如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是( D )
A．1 B．2.41 C. D．1＋
2．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为P，则点P的位置在数轴上( C )
A．1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间
D．4和5之间
3．在数轴上作出表示的点(保留作图痕迹，不写作法)．
解：如图所示．
4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(A)
A．5 B．6 C．7 D．25
5．如图，图中小正方形的边长为1，△ABC的周长为( B )
A．16 B．12＋4 C．7＋7 D．5＋11
6．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和－.
解：如图所示：
7．若等边△ABC的边长为2 cm，则△ABC的面积为( A )
A. cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．4 cm2
8．B
9．D
10．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12 cm，则AF＝6cm.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，求BC边上的高．
解：过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC＝13 cm，
∴BD＝CD＝BC＝×10＝5(cm)．
∴AD＝＝
＝12(cm)．
2．C
13．D
14．(2020·遵义汇川区模拟)在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.
(1)请在图中画一个边长为的正方形；
(2)这个正方形的面积为10．
解：如图所示．
15．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长．
解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，∴CB＝CD.
∴∠BDC＝∠DBC.
又∵∠BCD＝180°－∠DCE＝180°－60°＝120°，
∴∠BDC＝∠DBC＝30°.
又∵∠CDE＝60°，∴∠BDE＝90°.
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝8，根据勾股定理，得
BD＝＝＝4.
16．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
OA＝()2＋1＝2，S1＝；
OA＝()2＋1＝3，S2＝；
OA＝()2＋1＝4，S3＝；
…
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．
解：(1)OA＝()2＋1＝n，
Sn＝(n为正整数)．
(2)OA＝()2＋1＝10，
∴OA10＝.
(3)S＋S＋S＋…＋S
＝()2＋()2＋()2＋…＋()2＋()2
＝＋＋＋…＋＋
＝
＝
＝.