科
目
数学
年
级
初三
班
级
时
间
年
月
日
课
题
第12课时一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
课
时
1
课
型
复习课
教学目标
一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系
教学重点
一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系
教学难点
一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系
教学内容及过程（含教学方法及手段）
二次（三次）备课
【知识梳理】一、一元二次方程的根的判别式1．判别方法：对于一元二次方程ax2bxc0
(a0)，b24ac称为一元二次方程的根的判别式.⑴b24ac>0
方程有两个不相等的实数根；⑵b24ac0
方程有两个相等的实数根；⑶b24ac<0
方程没有实数根.在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件.二、一元二次方程的根与系数的关系设x1，x2是一元二次方程ax2bxc0
(a0)的两根，则有x1x2，x1·x2.【典型例题】
题型1
一元二次方程根的判别式【例1】（1）若关于x的一元二次方程方程（k1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5
B．k＜5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1
D．k＞5（2）已知关于x的方程x2+mx+m2=0．①若此方程的一个根为1，求m的值；②求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．点拨：像第⑴小题一样，在运用根的判别式求字母系数的取值范围时，一定要注意二次项系数不为0的隐含条件.题型2
一元二次方程根与系数的关系【例2】关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1·x2，求k的值点拨：在运用根与系数的关系解题时，常见的恒等变形有：x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2，＋＝，|x1－x2|＝等．值得注意的是，利用根与系数的关系解题，同样要注意≥0的前提条件.【中考链接】1.（2017
娄底中考
3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k=4
B．k＞4
C．k≤4且k≠0
D．k≤42.（2018?娄底）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（ ）A．有两不相等实数根
B．有两相等实数根C．无实数根
D．不能确定3.（2019
娄底3分）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为
4.（2016?长沙）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m＞﹣4 5.(2019·衡阳）（8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．【当堂练习】下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1=0
B．x2+x+1=0
C．（x﹣1）（x+2）=0
D．（x﹣1）2+1=02.若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）A．k>
B．k≥
C．k＞且k≠1
D．k＞且k≠13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围.（2）是否存在实数k，使得x1·x2x12x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【课堂小结】
板书设计：
作业布置：
教学反思
注：二备用黑笔，三备用红笔。(共6张PPT)
知识梳理
典型例题
中考链接
当堂练习
一元二次方程根的判别式
及根与系数的关系
【知识梳理】
2.注意：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件.
一．一元二次方程的根的判别式
1．判别方法：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（
)，
=b2-4ac称为一元二次方程的根的判别式.
⑴b2-4ac>0
方程有两个不相等的实数根；
⑵b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根；
⑶b2-4ac<0
方程没有实数根.
二．一元二次方程的根与系数的关系
设
，
是一元二次方程
的两根，则有
【典型例题】
题型1
一元二次方程根的判别式
【例1】（1）若关于x的一元二次方程方程（k-1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5
B．k＜5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1
D．k＞5
（2）已知关于x的方程x2+mx+m-2=0．
①若此方程的一个根为1，求m的值；
②求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
点拨：像第⑴小题一样，在运用根的判别式求字母系数的取值范围时，一定要注意二次项系数不为0的隐含条件.
题型2
一元二次方程根与系数的关系
【例2】关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1·x2，求k的值
点拨：在运用根与系数的关系解题时，常见的恒等变形有：
，
，
等．值得注意的是，利用根与系数的关系解题，同样要注意
【中考链接】
1.（2017.娄底若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根,则k的取值范围是（ ）
A．k=4
B．k＞4
C．k≤4且k≠0
D．k≤4
2.（2018.娄底）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（ ）
A．有两不相等实数根
B．有两相等实数根
C．无实数根
D．不能确定
3.（2019
.娄底）已知方程x2+bx+3＝0的一根为
,则方程的另一根为_____
4.（2016?长沙）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围
是
m＞﹣4
5.(2019·衡阳）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【当堂练习】
1．下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1=0
B．x2+x+1=0
C．（x﹣1）（x+2）=0
D．（x﹣1）2+1=0
2.若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A
B
C
D
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围.
（2）是否存在实数k，使得x1·x2-x12-x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
2.若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A
B
C
D
