科
目
数学
年
级
初三
班
级
时
间
年
月
日
课
题
第22课时等腰三角形
课
时
1
课
型
复习课
教学目标
等腰三角形的概念、等腰三角形性质与判定、等边三角形性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定
教学重点
等腰三角形的概念、等腰三角形性质与判定、等边三角形性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定
教学难点
等腰三角形性质与判定、等边三角形性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定
教学内容及过程（含教学方法及手段）
二次（三次）备课
【知识梳理】（四号黑体）一、等腰三角形的概念有两条边相等的三角形是等腰三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形.二、等腰三角形1．性质：⑴等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).⑶等腰三角形是轴对称图形.2．判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).三、等边三角形1．性质：等边三角形的三个内角都相等，且等于60；等边三角形是轴对称图形.2．判定：⑴三个角都相等的三角形是等边三角形；⑵有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.四、线段垂直平分线1．性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.2．判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.（小四号宋体）【典型例题】（四号黑体）题型1
等腰三角形的边与角【例1】⑴已知一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(
)A.
7
B.
9
C.
12
D.
9或12⑵已知等腰三角形的一个内角为50，则这个等腰三角形的顶角为（）A．80
B.50
C.80或50
D.
40或130【解析】⑴题中并没有给出哪一条是等腰三角形的腰长，哪一条是底边长，所以要分类讨论.若腰长为2，底边长为5，此时不能构成三角形（两边之和小于第三边）；若腰长为5，底边长为2，此时三角形存在，周长为12.故选C.
⑵（1）已知等腰三角形的一个内角为50，没有明确这个角是顶角还是底角所以要分情况讨论.若已知角是底角，则顶角为18050280；若已知角是顶角，则顶角为50.因此，顶角是80或50.故选C.
备考笔记
在解关于等腰三角形的边或角的题目时，一定要先看题中是否已知底边和腰或顶角和底角，没有具体给出时，要注意分类研究．题型2
等腰三角形的性质与判定【例2】如图，ABAE，∠ABC∠AED，BCED，CFDF.⑴求证：AF⊥CD；⑵再连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个(不要求证明).【解析】⑴连接AC，AD.在△ABC和△AED中，∵ABAE，∠ABC∠AED，BCED，∴△ABC≌△AED（SSS）.∴ACAD，∴△ACD是等腰三角形.又∵F是CD的中点，∴AF⊥CD.⑵∠ABE∠AEB，∠BAF∠EAF，AF⊥BE，BE∥CD等.备考笔记等腰三角形“三线合一”的性质可以使图形中位置关系与线段或角的数量关系联系起来，实现二者之间的转化.题型3
等边三角形的性质和判定【例3】如图2，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．图2证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE=DC=2，在Rt△DEC中，∵∠DEC=90°，DE=2，∴DF=2DE=4，∴EF===2．备考笔记等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的条件，解题时，要灵活运用这些条件进行角度或线段的计算．题型4线段的垂直平分线【例4】如图3，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（ ）图3A．3cm
B．6cm
C．12cm
D．16cm【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，AE=CE=AC，∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，【中考链接】（四号黑体）1．（2019娄底）下列命题是假命题的是(
)A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．n边形的内角和是D．旋转不改变图形的形状和大小2．（2016娄底）如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为_____．【当堂练习】（四号黑体）1．如图，在矩形中，是上的一点，是等边三角形，交于点，则下列结论不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．2．如图，已知PA,PB是的两条切线，A，B为切点，线段OP交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（
）A．1
B．2
C．3
D．43．如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（
）A．为等腰三角形
B．与相互垂直平分C．点A、B都在以为直径的圆上
D．为的边上的中线4．如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=，则BC的长是_____．5．如图，为的直径，C为上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分．（1）求证：DC为的切线；（2）若，求的半径．【课堂小结】（四号黑体）
板书设计：
作业布置：
教学反思
注：二备用黑笔，三备用红笔。
图1(共11张PPT)
知识梳理
典型例题
中考链接
当堂练习
等腰三角形
【知识梳理】
一、等腰三角形的概念?
有两条边相等的三角形是等腰三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形.
二、等腰三角形
1．性质：
⑴等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相
重合(通常称作“三线合一”).
⑶等腰三角形是轴对称图形.
2．判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等(简写成“等角对等边”).
三、等边三角形
1．性质：等边三角形的三个内角都相等，且等于60°；等边三角形是轴对称图形.
2．判定：⑴三个角都相等的三角形是等边三角形；
⑵有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.
四、线段垂直平分线
1．性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
2．判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
【知识梳理】
【例1】
⑴已知一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(
)
A.
7
B.
9
C.
12
D.
9或12
⑵已知等腰三角形的一个内角为50，则这个等腰三角形的顶角为（
）
A．80°
B.50°
C.80°或50°
D.
40°或130°
题型1
等腰三角形的边与角
备考笔记
在解关于等腰三角形的边或角的题目时，一定要先看题中是否已知底边和腰或顶角和底角，没有具体给出时，要注意分类研究．
C
C
题型2
等腰三角形的性质与判定
【例2】如图，AB=AE，∠ABC∠AED，BC=ED，CF=DF.
⑴求证：AF⊥CD；
⑵再连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个(不要求证明).
【解析】⑴连接AC，AD.在△ABC和△AED中，
∵ABAE，∠ABC∠AED，BCED，
∴△ABC≌△AED（SSS）.∴ACAD，∴△ACD是等腰三角形.
又∵F是CD的中点，∴AF⊥CD.
⑵∠ABE∠AEB，∠BAF∠EAF，AF⊥BE，BE∥CD等.
图1
备考笔记等腰三角形“三线合一”的性质可以使图形中位置关系与线段或角的数量关系联系起来，实现二者之间的转化.
【例3】如图2，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
题型3
等边三角形的性质和判定
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE=DC=2，
在Rt△DEC中，∵∠DEC=90°，DE=2，
∴DF=2DE=4，
∴EF=
=
=2．
备考笔记等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的条件，解题时，要灵活运用这些条件进行角度或线段的计算．
题型4
线段的垂直平分线
【例4】如图3，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（ ）
A．3cm
B．6cm
C．12cm
D．16cm
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，AE=CE=AC，
∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，
∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
【中考链接】
1．下列命题是假命题的是(
)
A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．n边形
的内角和是
D．旋转不改变图形的形状和大小
2．（2016娄底）如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为_____．
【当堂练习】
1．如图，在矩形中，E是CD上的一点，
是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（
）
A．△BPA为等腰三角形
B．AB与PD相互垂直平分
C．点A、B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线
4．如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=√3，则BC的长是_____．
5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若AD=3,DC=√3，求⊙O的半径．
