科
目
数学
年
级
初三
班
级
时
间
年
月
日
课
题
第23课时直角三角形
课
时
1
课
型
复习课
教学目标
直角三角形的定义及符号表示、直角三角形的性质和判定、勾股定理及逆定理
教学重点
直角三角形的性质和判定、勾股定理及逆定理
教学难点
直角三角形的性质和判定、勾股定理及逆定理
教学内容及过程（含教学方法及手段）
二次（三次）备课
【知识梳理】（四号黑体）一、直角三角形的定义及符号表示?1．定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.2．符号表示：直角三角形ABC用符号表示为Rt△ABC.二、直角三角形的性质和判定1．性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（3）在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半.2．判定：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.三、勾股定理及逆定理1．勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2.2．勾股定理的逆定理：如果三角形a，b，c有下面的关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形.（小四号宋体）【典型例题】（四号黑体）题型1
勾股定理及其应用【例1】在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．图1解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x，则CD=14x，由勾股定理得：AD2=AB2BD2=152x2，AD2=AC2CD2=132（14x）2，故152x2=132（14x）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S△ABC=BC?AD=×14×12=84．备考笔记勾股定理的作用是已知直角三角形的任意两边，求第三边的长．我们要会灵活运用勾股定理的不同形式求解．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，勾股定理的不同形式有：(1)c2＝a2＋b2，a2＝c2－b2，b2＝c2－a2；(2)c＝，a＝，b＝.题型2
勾股定理的逆定理【例2】如图2，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（ ）图2
A．2
B．
C．
D．【解析】∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴cos∠ABC==．故选D.题型3
直角三角形性质的应用【例3】⑴一个承重架的结构如图3所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝
°．⑵如图4，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF6，BC15，则△EFM的周长为多少.⑶如图5所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5cm，求AB的长．【解析】⑴∠2∠1901559065.⑵∵CF⊥AB，∴∠BFC90，又∵BMCM，∴FMBC.同理，EMBC，∴△EFM的周长为FMEMEF621.⑶∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝30°.∴AD＝DB.又∵Rt△CBD中，CD＝5
cm，∴BD＝10
cm，∴BC＝
cm，AC＝2BC＝
cm.备考笔记在直角三角形，若有锐角等于30时，常用“30的角所对的直角边等于斜边的一半”勾通直角边与斜边的数量关系；若有斜边的中点时，常用“斜边上的中线等于斜边的一半”来证明线段的倍分关系.【中考链接】（四号黑体）（2020娄底）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积C2等于小正方形的面积(a-b)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2=c2，还可以用来证明结论：若、b>0且a2+b2为定值，则当a_______b时，ab取得最大值．（2019娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则_______．3.（2017岳阳）在中，，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为____．【当堂练习】（四号黑体）1．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为（
）A．62°
B．56°
C．28°
D．72°2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（
）A．8
B．4
C．10
D．53．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=_____．A．为等腰三角形
B．与相互垂直平分C．点A、B都在以为直径的圆上
D．为的边上的中线4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．5．如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB、AC相交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)分别延长CB、FD相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．【课堂小结】（四号黑体）
板书设计：
作业布置：
教学反思
注：二备用黑笔，三备用红笔。
图4
图5
图3(共12张PPT)
知识梳理
典型例题
中考链接
当堂练习
直角三角形
【知识梳理】
一、直角三角形的定义及符号表示?
1．定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.
2．符号表示：直角三角形ABC用符号表示为Rt△ABC.
二、直角三角形的性质和判定
1．性质：
（1）直角三角形的两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
（3）在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半.
2．判定：
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.
三、勾股定理及逆定理
1．勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.
2．勾股定理的逆定理：如果三角形a，b，c有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
【知识梳理】
【例1】
在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
图1
题型1
勾股定理及其应用
题型2
勾股定理的逆定理
【例2】如图2，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（ ）
图2
A．2
B．
C．
D．
【解析】∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴cos∠ABC==．故选D.
【例3】⑴一个承重架的结构如图3所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝
°．
⑵如图4，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=6，BC=15，则△EFM的周长为多少.
⑶如图5所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5cm，求AB的长．
题型3
直角三角形性质的应用
图3
图4
图5
备考笔记在直角三角形，若有锐角等于30°时，常用“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”勾通直角边与斜边的数量关系；若有斜边的中点时，常用“斜边上的中线等于斜边的一半”来证明线段的倍分关系.
【中考链接】
1．（2020娄底）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积C2等于小正方形的面积(a-b)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2=c2，还可以用来证明结论：若a>0、b>0且a2+b2为定值，则当a_______b时，ab取得最大值．
2．（2019娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB=2,
,则AD=_______
3.（2017岳阳）在
△ABC中，BC=2，AB=
，AC=b
且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为____．
【当堂练习】
1．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果
，那么
的度数为（
）
2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（
）
A．8
B．4
C．10
D．5
A．62°
B．56°
C．28°
D．72°
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=_____．
A．为等腰三角形
B.AB与BC与相互垂直平分
C．点A、B都在以PO为直径的圆上
D.PC为△BPA的边上的中线
4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
5.如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．
（1）求证：△EDF≌△CBF；
（2）求∠EBC．
6.在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB、AC相交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)分别延长CB、FD相交于点G，∠A＝60°，⊙O的
半径为6，求阴影部分的面积．
