8.1 第2课时旋转体与简单组合体的结构特征-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（47张PPT）

第八章　立体几何初步
8.1　基本立体图形
第2课时　旋转体与简单组合体的结构特征
学习目标
素养要求
1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，认识这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体
数学抽象
2.了解简单组合体的概念和基本形式
数学抽象
3.会根据旋转体的几何体特征进行相关运算
直观想象、数学运算
| 自学导引 |
圆柱的结构特征
矩形的一边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
【提示】圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．
1．在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？
【提示】不一定．圆柱的母线与轴是平行的．
2．圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？
圆锥
一条直角边
旋转轴
垂直于轴
斜
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． (　　)
(2)过圆锥轴的截面是全等的等边三角形． (　　)
【答案】(1)√　(2)×
【解析】(2)不一定是等边三角形，但一定是等腰三角形．
圆台
平行于圆锥底面
底面和截面
垂直于底边的腰
圆台O′O
旋转轴
垂直于轴
不垂直于轴
圆台O′O
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点． (　　)
(2)在圆台中，过任意两条母线的截面是等腰梯形． (　　)
【答案】(1)×　(2)√
【解析】(1)延长后相交于一点．
球
它的直径
半圆弧
圆心
半径
直径
【提示】半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面．
1．半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？
【提示】不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部．
2．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？
1．概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．
2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
简单组合体
【预习自测】
观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．





解：图1是由圆柱中挖去圆台形成的，图2是由球、棱柱、棱台组合而成的．
| 课堂互动 |
给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是 (　　)
A．①②　　 B．②③　　
C．①③　　 D．②④
题型1　旋转体的结构特征


素养点睛：本题考查了数学抽象和直观想象的核心素养．
【答案】D
【解析】由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．
简单旋转体判断问题的解题策略
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．
(2)解题时要注意两个明确：
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．
1．下列命题正确的是________(只填序号)．
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段．

【答案】④⑥
【解析】①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确．
如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．
题型2　简单组合体的结构特征
素养点睛：本题考查了直观想象的核心素养．
解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．
判断组合体构成的方法
(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体．
(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的，要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证．
2．如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？
解：画出形成的几何体如图所示．




由图可知，旋转得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的．
题型3　旋转体的有关计算
素养点睛：本题考查了直观想象和数学运算的核心素养
【答案】8　2 500π cm2
(1)旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．
(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．
如图，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是 (　　)
A．①②　　
B．②③　　
C．③④　　
D．①⑤
易错警示　空间想象能力不足致误

错解：A、B、C
易错防范：读题不准，上底面已挖去，截面就不会出现②的情况，另外，空间想象能力差且凭主观臆断，考虑不全面容易导致错解．
正解：当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为曲线，此时⑤符合条件，故截面图形可能是①⑤，选D．
| 素养达成 |
1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．球面、球体的区别和联系
类别
区别
联系
球面
球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面
球面是球
体的表面
球体
球体是几何体，包括球面及所围的空间部分

3.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．
4．处理组合体问题常采用分割思想．
5．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想(体现直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养)．


【答案】D
【解析】台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点；B的错误在于截面与圆锥底面不平行；C是棱锥；结合棱台和圆台的定义可知D正确．

2．(2020年温州期末)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括 (　　)
A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆台、一个圆锥
【答案】B
【解析】图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边．以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2包括一个圆柱、两个圆锥．
3．过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是 (　　)
A．有且只有一个　 B．一个或无穷多个
C．无数个　　　 D．以上均不正确
【答案】B
【解析】当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆．
5．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．




解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
| 课后提能训练 |