6.3.1平面向量基本定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（36张PPT）

第六章　平面向量及其应用
6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
学习目标
素养要求
1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义
数学抽象
2.会用基底表示平面向量
数学运算
| 自学导引 |
1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个____________；对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝___________.
2．基底：不共线的向量{e1，e2}叫做这一平面内__________的一个________．
平面向量基本定理
不共线向量
λ1e1＋λ2e2
所有向量
基底
【提示】(1)不共线性和不唯一性．
(2)若向量e1，e2共线，则λ1e1＋λ2e2与向量e1，e2共线，即向量λ1e1＋λ2e2只能表示与向量e1，e2共线的向量，无法表示平面内其他的向量．
(1)平面向量基本定理中基底的特征是什么？
(2)在平面向量基本定理中为何要求向量e1，e2不共线？
设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则________．
平面向量基本定理唯一性
【预习自测】
设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，求实数x，y的值．
| 课堂互动 |
题型1　对平面向量基本定理的理解
(2)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________(填序号)．
①λe1＋μ e2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μ e2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μ e2＝0，则λ＝μ＝0.
素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养．
【答案】(1)AC　(2)②③
【解析】(1)如图所示，A、C中的向量不共线，可以作为基底，B、D中的向量共线，不能作基底．

(2)由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．

对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．

【答案】(1)B　(2)0　0
题型2　用基底表示向量

素养点睛：本题考查了直观想象和数学运算的核心素养．
用两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法
(1)运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是 (　　)
A．λ＝0　 B．e2＝0
C．e1∥e2　 D．λ＝0或e1∥e2
错解：A、B、C
易错防范：一定要注意“不共线”这个条件在做题时容易忽略此条件而致错，同时还要注意零向量不能作为基底．
易错警示　对基底的定义理解不准确致误


正解：若e1，e2共线，即e1∥e2时，易得a与b共线；
若e1，e2不共线，要使a与b共线，则存在m，使a＝mb，即e1＋λe2＝2me1，得λ＝0.
当λ＝0或e1∥e2时，a与b共线．故选D．
| 素养达成 |
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底中的向量．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一且选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．
(3)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决(体现直观想象和逻辑推理的核心素养)．
1．(多选)下列关于基底的说法正确的是 (　　)
A．平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
B．基底中的向量可以是零向量；
C．平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
D．对于确定的向量，表示该向量的基底是唯一的


【答案】AC
【解析】零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故B错，平面内两不共线的向量都可以作为一组基底故D错，AC正确．
2．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是 (　　)
A．e1与e2　　 B．e1＋e2与2e1＋2e2
C．e1与2e2　 D．e1＋e2与e2
【答案】B
【解析】因为2e1＋2e2＝2(e1＋e2)，所以两个向量共线，不能作为基底．
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.
【答案】－15　－12
| 课后提能训练 |