6.3.5平面向量数量积的坐标表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（46张PPT）

第六章　平面向量及其应用
6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
学习目标
素养要求
1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两平面向量的夹角
数学运算
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件
数学运算、逻辑推理
| 自学导引 |
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
它们对应坐标的乘积的和
数量积
两个向量的数量积等于_______________________，
即：a·b＝____________
向量垂直
a⊥b?________________
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0


【预习自测】
已知a＝(－1,3)，b＝(2,4)，则a·b的值是________．
【答案】10
【解析】a·b＝(－1)×2＋3×4＝10.
【提示】(1)适用．无论是零向量，还是非零向量，均可使用向量数量积的坐标公式．
(2)向量的坐标表示简化了数量积的计算．
(1)向量数量积的坐标表示适用于任何两个向量吗？
(2)向量数量积的坐标表示的作用是什么？
向量的模与两向量夹角的坐标表示
【预习自测】
(1)已知向量a＝(4，－1)，b＝(x,3)，若|a|＝|b|，则x＝________.
(2)已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为________．
| 课堂互动 |
题型1　平面向量数量积与模的坐标运算
素养点睛：本题考查了数学运算的核心素养．
【答案】(1)B　(2)2

【例题迁移】　(变换问法)若将例(1)中条件不变，则|2a－3b|的值如何？
数量积坐标运算的技巧
(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
|a|2＝a·a，(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2.
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解．
1．(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝ (　　)
A．10 B．－10
C．3 D．－3
(2)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
【答案】(1)B　(2)－2


【解析】(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
(2)由已知得a＋b＝(m＋1,3)，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2?(m＋1)2＋32＝m2＋12＋12＋22，解得m＝－2.
(1)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝ (　　)
A．－8　　 B．－6　　
C．6　　 D．8
(2)已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，若ka－b与a＋b的夹角为120°，则k＝________.
题型2　向量的垂直与夹角问题
(3)已知点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
①求证：AB⊥AD；
②要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
素养点睛：本题考查了数学运算与逻辑推理的核心素养．
利用数量积求两向量夹角的步骤
利用向量解决几何中垂直问题的步骤
(1)建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来．
(2)找到垂直关系对应的向量．
(3)利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值．
(4)还原要解决的几何问题．
2．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定系数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
题型3　平面向量数量积的综合应用
素养点睛：本题考查了数学运算与数学建模的核心素养．
解决向量与平面几何交汇问题的策略
平面向量与平面几何的结合通常涉及夹角、平行、垂直、共线等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将其推理转化为运算．
3．已知△ABC的顶点分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)．
(1)若c＝5，求sin A的值；
(2)若∠A为钝角，求c的取值范围．
已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若〈a，b〉为锐角，求x的取值范围．
错解：若〈a，b〉为锐角，则a·b>0且a，b不同向．
a·b＝x＋2>0，∴x>－2.
易错防范：利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况．
易错警示　忽视两向量夹角的范围致误
| 素养达成 |
1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝ (　　)
A．－12　　 B．－6　　
C．6　　 D．12
【答案】D
【解析】2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 (　　)
A．0　　 B．1　　
C．－2　　 D．2
【答案】D
【解析】2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，所以n2＝3，所以|a|＝2.

5．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．
解：∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，∴5a－b＝(－11，－10－k)，b－3a＝(5，k＋6)，∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55.∴(k＋10)(k＋6)＝0.∴k＝－10或k＝－6.∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．
| 课后提能训练 |