6.4.3 第1课时余弦定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（35张PPT）

第六章　平面向量及其应用
6.4　平面向量的应用
6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
学习目标
素养要求
1.借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系
逻辑推理
2.掌握余弦定理及几种变形公式的应用
数学运算
| 自学导引 |
余弦定理
其他两边的平方的和
夹角的余弦的积
b2＋c2－2bccos A
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
【提示】不一定．因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形．
在△ABC中，若a2 (1)解三角形
一般地，把三角形的________________和它们的____________叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求________的过程叫做解三角形．
(2)利用余弦定理的变形判定角
在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为______；c2>a2＋b2?C为______；c2 (3)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．
①已知三边，求______．
②已知______和它们的______，求第三边和其他两个角．
余弦定理及其变形的应用
三个角A，B，C
对边a，b，c
其他元素
直角
钝角
锐角
三角
两边
夹角
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形． (　　)
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形． (　　)
(3)在△ABC中，已知两边及其夹角时，△ABC不唯一． (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×
| 课堂互动 |
素养点睛：本题考查了数学运算的核心素养．
【答案】(1)60　(2)4或5
题型1　已知两边与一角解三角形
已知两边及其夹角解三角形的方法
直接用余弦定理的公式求出第三边．
已知两边及其中一条边的对角解三角形的方法
用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦．
素养点睛：本题考查了数学运算的核心素养．
题型2　已知三角形的三边解三角形
【例题迁移】　(变换问法)若例2(1)条件不变，如何求最大角的余弦值呢？
已知三边解三角形的方法
(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角．
(2)若已知三角形的三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．
2．在△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则C＝ (　　)
A．60°　　　　　 B．45°
C．135°　　　 D．45°或135°
【答案】D
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
素养点睛：本题考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
题型3　利用余弦定理判断三角形形状
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件进行判断．
(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，再通过三角变换得出关系进行判断．
3．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状．
在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2易错警示　解题漏条件致误

易错防范：错因是审题不细，解题漏条件．题设是a为最大边，而错解中只把a看作是三角形的普通一条边，造成解题错误．
| 素养达成 |
1．余弦定理的特点
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
2．要掌握的解题方法
(1)已知三角形的两边与一角解三角形．
(2)已知三边解三角形．
(3)利用余弦定理判断三角形的形状．
利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件(体现数学运算的核心素养)．
3．已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为 (　　)
A．60°　　　 B．90°　　　
C．120°　　　 D．150°
【答案】C

5．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
| 课后提能训练 |