6.4.3 第3课时 习题课-余弦定理和正弦定理的综合应用课件（共42张PPT）2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第二册

6.4.3　余弦定理、正弦定理
第3课时　习题课
——余弦定理和正弦定理的综合应用
课标定位
素养阐释
1.掌握三角形的面积公式及其应用.
2.熟练掌握利用正、余弦定理判断三角形形状的方法.
3.能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题.
4.增强逻辑推理和数学运算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、三角形的面积公式
【问题思考】
1.如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.你能用三角形的边和角的正弦表示△ABC的边AC上的高以及△ABC的面积吗?
提示:如图,过点B作BD⊥AC于点D,则BD为△ABC的边AC上的高,



在Rt△BCD中,BD=BC×sin C=asin C.
在Rt△ABD中,BD=AB×sin A=csin A.
即△ABC的边AC上的高BD=asin C=csin A.
答案:B
二、三角形中有关边和角的常用性质
【问题思考】
1.填空:
(1)三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C= π ;
(2)在△ABC中,a>b? A>B ? sin A>sin B ;?
(3)在△ABC中,a+b > c,b+c > a,c+a > b;
(4)在△ABC中,A为锐角?cos A>0?a2 < b2+c2;A为直角?cos A=0?a2 = b2+c2;A为钝角?cos A<0?a2 > b2+c2.
2.做一做:已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,则实数x的取值范围为　　　　　.?
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在△ABC中,若A=2B,则a=2b.( × )
(2)在△ABC中,若cos 2A=cos 2B,则A=B.( √ )
(3)三角形的面积等于其中两边以及它们所夹内角的正弦值的乘积.( × )
(4)若△ABC的面积 ,则C=45°或135°.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 三角形中的面积问题
分析:对于(1),已知△ABC的两角及其中一角的对边,可通过解三角形求出另外的量再求面积;对于(2),首先可通过面积公式求出AC,然后可利用余弦定理求AB,也可以利用三角形的性质求AB.
【变式训练1】 设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且cos B= ,b=2.
(1)当A=30°时,求a的值;
(2)当△ABC的面积为3时,求a+c的值.
探究二 三角形中的计算问题
分析:可设CD=DB=x,则a=2x,在△ACD和△ACB中,∠ACB是公共角,使用两次余弦定理,便可求出x.
1.有关长度问题,要有方程意识.设未知数,列方程求解是经常用到的方法.列方程时,要注意一些隐含关系的应用.
2.要灵活运用正、余弦定理及三角形面积公式.
【变式训练2】 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,AC=9, ∠BCA=30°,∠ADB=45°,求BD的长.
探究三 三角形的综合问题
解决三角形的综合问题,除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外,一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识.因此,掌握正弦定理、余弦定理、三角函数的公式和性质是解题的关键.
【变式训练3】 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为
(1)求sin Bsin C;
(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.
易 错 辨 析
忽视三角形中角的取值范围致误
【典例】 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,△ABC的面积为S,若a=4,b=5,S= ,求c的长.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
已知正弦值求角时,要根据题目条件分类求解,防止漏解.
答案:D
随 堂 练 习
答案:A
2.已知锐角三角形ABC的面积为 ,BC=4,CA=3,则角C的大小为(　　)
A.75° B.60° C.45° D.30°
答案:B
答案:D
答案:2
(1)证明:由已知得sin(2A+B)=2sin A+2cos(A+B)sin A.
即sin(A+π-C)=2sin A-2sin Acos C.
∴sin(C-A)=2sin A-2sin Acos C.
∴sin Ccos A+sin Acos C=2sin A.
∴sin(A+C)=2sin A,∴sin B=2sin A.
由正弦定理得b=2a.