北师大版（新教材）高一必修2重点题型N1
第一章
三角函数
考试范围：周期变化与任意角；弧度制；
考试时间：100分钟；命题人
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型1：用终边相同的角求给定范围的角
1．与﹣600°终边相同的最小正角的弧度数是 ．
【考点】终边相同的角．
【分析】由﹣600°＝﹣720°+120°，得到终边相同的角求出弧度，可得结果．
【解答】解：﹣600°＝﹣720°+120°，
与﹣600°终边相同的最小正角为120°，
120°＝，
故答案为：．
【点评】本题考查终边相同的角的定义和表示方法，角度与弧度的互化，是解题的关键．
2．在[0°，360°）与﹣496°终边相同的角是 224° ，它是第 三 象限角．
【考点】终边相同的角．
【分析】直接利用终边相同角的概念，把﹣496°写成﹣3×360°+224°的形式，则答案可求．
【解答】解：∵﹣496°＝﹣2×360°+224°．
∴[0°，360°）与﹣496°终边相同的角是224°．
故答案是：224°，三．
【点评】本题考查了终边相同的角的概念，是基础的计算题．
3．在﹣360°～0°范围内与角1250°终边相同的角是 ﹣190° ．
【考点】终边相同的角．
【分析】根据终边相同的角的概念，把1250°写出k?360°+α的形式，且α∈[﹣360°，0°）．
【解答】解：1250°＝360°×4﹣190°，
所以在﹣360°～0°范围内与角1250°终边相同的角是﹣190°．
故答案为：﹣190°．
【点评】本题考查了终边相同的角应用问题，是基础题．
4．大于﹣360°且终边与角75°重合的负角是 ﹣285° ．
【考点】终边相同的角．
【分析】由角终边相等的性质进行求解
【解答】解：﹣360°+75°＝﹣285°，
故答案为：﹣285°．
【点评】考查了终边相等角的性质，属于基础题．
5．与﹣2018°角终边相同的最小正角是 142°
【考点】终边相同的角．
【分析】根据终边相同角的定义进行转化求解即可．
【解答】解：﹣2018°＝﹣6×360°+142°，
即与﹣2018°角终边相同的最小正角是142°，
故答案为：142°．
【点评】本题主要考查终边相同角的求解，结合定义进行转化是解决本题的关键，比较基础．
题型2：终边落在某条直线上的角的集合
1．若角α的终边在直线y＝x上，则角α用弧度制可表示为 α＝kπ+，k∈Z ．
【考点】终边相同的角．
【分析】写出终边落在直线y＝x上且在第三象限的角的集合，即可得解．
【解答】解：∵角α的终边在直线y＝x上，
∴角α的终边在一、三象限的角平分线上，
依题意得：α＝kπ+，k∈Z．
故答案是：α＝kπ+，k∈Z．
【点评】考查了终边相同角的集合的表示，是基础题．
2．终边在直线y＝x上的角的集合为 {α|α＝60°+n?180°，n∈Z} ．
【考点】终边相同的角．
【分析】由直线方程求出直线的倾斜角，再分别写出终边落在直线向上和向下方向上的角的集合，由集合的并集运算求出终边落在直线y＝x上的角的集合．
【解答】解：∵直线y＝x的斜率为，则倾斜角为60°，
∴终边落在射线y＝x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝60°+k?360°，k∈Z}，
终边落在射线y＝x（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝240°+k?360°，k∈Z}，
∴终边落在直线y＝x上的角的集合是：
S＝{α|α＝60°+k?360°，k∈Z}∪{α|α＝240°+k?360°，k∈Z}
＝{α|α＝60°+2k?180°，k∈Z}∪{α|α＝60°+（2k+1）?180°，k∈Z}
＝{α|α＝60°+n?180°，n∈Z}．
故答案为：{α|α＝60°+n?180°，n∈Z}．
【点评】本题考查了终边相同角的集合求法，以及集合的并集的运算，需要将集合的元素化为统一的形式，属于中档题．
3．终边在x轴上的角的集合为（ ）
A．{a|a＝kπ，k∈N}
B．{a|a＝kπ，k∈Z}
C．{a|a＝2kπ，k∈N}
D．{a|a＝2kπ，k∈Z}
【考点】终边相同的角．
【分析】终边在x轴的角只有和x轴正半轴或者负半轴重合．
【解答】设终边在x轴上的角为α，
当α在x轴正半轴时，α＝2kπ，其中k∈Z；
当α在x轴负半轴时，α＝π+2kπ＝（2k+1）π，其中k∈Z，
综上所述：α的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，
故选：B．
【点评】结合角在坐标的表示就可以求解，属于基础题．
4．终边在一三象限角平分线的角的集合为 {α|α＝kπ+，k∈z} ．
【考点】任意角的概念．
【分析】当角的终边在第一象限的平分线上时，则α＝2kπ+，k∈z，当角的终边在第三象限的平分线上时，则
α＝2kπ+，k∈z．
【解答】解：设角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角为α，
当角的终边在第一象限的平分线上时，则α＝2kπ+，k∈z，
当角的终边在第三象限的平分线上时，则
α＝2kπ+，k∈z，
综上，α＝2kπ+，k∈z
或α＝2kπ+，k∈z，
即
α＝kπ+，k∈z，
故终边在一、三象限角平分线的角的集合是：{α|α＝kπ+，k∈z}．
故答案为：{α|α＝kπ+，k∈z}．
【点评】当角的终边在第一象限的平分线上时，此角的终边与的终边相同，当角的终边在第三象限的平分线上时，此角的终边与的终边相同，体现了分类讨论的数学思想．
题型3：区域角的表示
1．已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】任意角的概念．
【分析】先由图象写出角在0°～360°间的取值范围，再由终边相同的角的概念写出角的集合．
【解答】解：集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，表示第一象限的角，
故选：B．
【点评】本题考查角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的概念的合理运用
2．（1）写出与α＝﹣1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式﹣720°≤β＜360°的元素β写出来．
（2）分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
（3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合．
【考点】任意角的概念．
【分析】根据终边相同的角的定义和集合表示即可得出．
【解答】解：（1）与α＝﹣1910°终边相同的角的集合为{β|β＝﹣1910°+k?360°，k∈Z}．
取k＝4时，β＝﹣470°；取k＝5，β＝﹣110°；取k＝6，β＝250°．
（2）①S＝{α|α＝k?180°，k∈Z}；
②S＝{α|α＝135°+k?180°，k∈Z}；
③S＝{α|α＝45°+k?180°，k∈Z}∪{α|α＝135°+k?180°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝45°+2k?90°，k∈Z}∪{α|α＝45°+（2k+1）?90°，k∈Z}＝{α|α＝45°+k?90°，k∈Z}．
（3））终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为：
{α|﹣30°+k?360°≤α≤135°+k?360°，k∈z}．
【点评】本题考察了终边相同的角的定义和表示方法，求并集时要注意变形，属于基础题．
3．集合{α|kπ+≤α≤kπ+，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】象限角、轴线角．
【分析】先看当k取偶数时，角的终边所在的象限，再看当k取奇数时，角的终边所在的象限，把二者的范围取并集．
【解答】解：当k取偶数时，比如k＝0时，≤α≤，故角的终边在第一象限．
当k取奇数时，比如k＝1时，≤α≤，故角的终边在第三象限．
综上，角的终边在第一、或第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查象限角、轴线角的表示方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想．
4．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
【考点】象限角、轴线角．
【分析】先由图象写出角在0°～360°间的取值范围，再由终边相同的角的概念写出角的集合．
【解答】解：如图，终边落在阴影部分的角为：30°≤α＜105°或210°≤α＜285°，
∴终边落在阴影部分的角的集合为：
{α|30°+k?360°≤α＜105°+k?360°或210°+k?360°≤α＜285°+k?360°，k∈Z}
＝{α|30°+k?180°≤α＜105°+k?180°，k∈Z}．
【点评】本题考查角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的概念的合理运用．
5．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示）．
【考点】象限角、轴线角．
【分析】利用终边相同的角的集合定义即可得出．
【解答】解：（1）图（1）阴影部分内的角的集合为{a|2kπ﹣≤a≤2kπ+，k∈Z}
（2）图（2）阴影部分内的角的集合为{a|kπ+≤a≤kπ+，k∈Z}
【点评】本题考查了终边相同的角的集合，属于基础题．
题型4、判定给定的角的是第几象限角
1．2019°是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【考点】象限角、轴线角．
【分析】利用终边相同的角化2019°，再判断它是第三象限角．
【解答】解：2019°＝5×360°+219°，
且180°＜219°＜270°，
∴2019°是第三象限角．
故选：C．
【点评】本题考查了终边相同的角的概念与应用问题，是基础题．
2．角﹣1120°是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【考点】象限角、轴线角．
【分析】把角写成k×360°+α，0°≤α＜360°，k∈z
的形式，根据α的终边位置，做出判断．
【解答】解：∵﹣1120°＝﹣4×360°+320°，故﹣1120°与320°终边相同，故角﹣1120°在第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，象限角、象限界角的定义，属于基础题．
题型5、判定倍角分角是第几象限角
1．如果α是第三象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】象限角、轴线角．
【分析】先写出角α的范围，再除以3，从而求出角的范围，看出是第几象限角．
【解答】解：α是第三象限的角，则α∈（2kπ+π，2kπ+），k∈Z，
所以∈（kπ+，kπ+），k∈Z；
所以可以是第一、第三、或第四象限角．
故选：B．
【点评】本题考查了角的范围与象限角的判断问题，是基础题．
2．已知α的终边在第一象限，则角的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第一或第三象限
D．第一或第四象限
【考点】象限角、轴线角．
【分析】用不等式表示第一象限角α，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限
【解答】解：∵α是第一象限角，
∴2kπ＜α＜2kπ+，k∈Z，
则kπ＜＜kπ+，k∈Z，
∴的终边的位置是第一或第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限．
3．如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【考点】象限角、轴线角．
【分析】先写出角2θ的范围，再除以2，从而求出θ角的范围，看出是第几象限角．
【解答】解：由已知得2kπ﹣＜2θ＜2kπ，所以kπ﹣＜θ＜kπ，即θ在第二或第四象限．
故选：BD．
【点评】本题考查了角的范围与象限角的判断问题，是基础题．
4．已知θ为第二象限角，那么是（ ）
A．第一或第二象限角
B．第一或四象限角
C．第二或四象限角
D．第一、二或第四象限角
【考点】象限角、轴线角．
【分析】先表示出第二象限角的范围，即可求出的范围，问题得以解决．
【解答】解：∵θ为第二象限角，
∴+2kπ＜θ＜π+2kπ，k∈Z，
∴+kπ＜＜+kπ，k∈Z，
当k＝0时，＜＜，属于第一象限，
当k＝1时，＜＜π，属于第二象限
当k＝﹣1时，﹣＜＜﹣，属于第四象限，
∴第一，二或四象限角，
故选：D．
【点评】本题考查了象限角的问题，属于基础题．
题型6、角度与弧度之间的换算
1．﹣300°化为弧度是（ ）
A．﹣π
B．﹣π
C．﹣π
D．﹣π
【考点】弧度制．
【分析】利用rad即可得出．
【解答】解：﹣300°＝﹣rad＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了角度与弧度的互化，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．把﹣化成角度是（ ）
A．﹣960°
B．﹣480°
C．﹣120°
D．﹣60°
【考点】弧度制．
【分析】由π＝180°得1弧度＝，代入
弧度得答案．
【解答】解：∵π＝180°，
∴＝＝﹣480°．
故选：B．
【点评】本题考查了角度与弧度的互化，是基础的会考题型．
3．下列各式不正确的是（ ）
A．﹣210°＝
B．405°＝
C．335°＝
D．705°＝
【考点】弧度制．
【分析】根据180°与π相等的关系，写出一度对应的代数式，用所给度数乘以一度对应的代数式，求出结果即可．
【解答】解：对于A，﹣210°＝﹣210°×＝﹣，正确；
对于B，405°＝405°×＝，正确；
对于C，335°＝335°×＝，错误；
对于D，705°＝705°×＝，正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧度制的概念，以及弧度与角度的互化，同时考查了运算能力，属于基础题．
4．将下列角度化为弧度，弧度转化为角度
（1）780°，（2）﹣1560°，（3）67.5°（4），（5），（6）．
【考点】弧度制．
【分析】利用π弧度＝180°即可得出．
【解答】解：（1）780°＝弧度＝弧度，
（2）﹣1560°＝﹣弧度＝﹣π弧度，
（3）67.5°＝弧度＝弧度．
（4）弧度＝﹣＝﹣600°，
（5）弧度＝＝15°，
（6）弧度＝＝315°．
【点评】本题考查了弧度与角度的换算关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
题型7：弧长公式与扇形的面积公式
1．已知扇形的圆心角为90°，弧长为l，求此扇形内切圆的面积．
【考点】弧度制．
【分析】本题主要是利用扇形的弧长公式先求出扇形的半径，然后利用内切圆半径和扇形的半径的关系，从而求内切圆半径，即可求此扇形内切圆的面积．
【解答】解：∵扇形的圆心角为90°，弧长为l，
∴R＝，
∵R﹣r＝r，
∴3r＝，
∴r＝，∴扇形内切圆的面积为．
【点评】解决本题的难点是得到扇形的内切圆半径和扇形半径的关系．
2．已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l．
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【考点】弧度制．
【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式可以直接求值．
【解答】解：（1）扇形的弧长l＝＝cm．
（2）扇形的弧长为
L＝20﹣2r，其中r为半径，
面积S＝
＝﹣r2+10r
＝﹣（r﹣5）2+25
即当r＝5时，扇形面积最大为25，这时圆心角α＝L/r＝（20﹣10）/5＝2
rad
【点评】本题考查扇形的弧长公式和面积公式，是基础题．
3．已知扇形的圆心角为α（α＞0），半径为R．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求圆心角α所对的弧长．
（2）若扇形的周长是8cm，面积是4cm2，求α和R．
【考点】弧长公式．
【分析】（1）利用弧长公式即可得出．
（2）由题意可得：2R+Rα＝8，＝4，联立解得即可得出．
【解答】解：（1）α＝60°＝，∴弧长＝＝．
（2）由题意可得：2R+Rα＝8，＝4，联立解得α＝R＝2．
【点评】本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．已知扇形的面积为100，
（1）若扇形的周长为50，求其半径；
（2）求其周长的最小值及取得最小值时扇形圆心角的弧度数．
【考点】弧长公式；扇形面积公式．
【分析】（1）设弧长为l，半径为r，利用扇形的周长及面积公式即可得解．
（2）由已知利用扇形的面积公式可得C＝l+，利用基本不等式，弧长公式即可计算得解．
【解答】解：设弧长为l，半径为r，则lr＝100，
（1）由已知可得：，得，或者，
而时，圆心角＝8＞2π，故舍去；
所以，r＝20．
（2）由lr＝100，可得：r＝，
可得：周长C＝2r+l＝l+≥2＝40，当且仅当l＝，即当l＝20时周长取得最小值40，
此时r＝＝10，圆心角α＝＝2．
【点评】本题主要考查了扇形的周长及面积公式，基本不等式，弧长公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大；
（3）若α＝，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
【考点】扇形面积公式．
【分析】（1）利用弧长公式即可计算得解．
（2）由已知得l+2R＝20，可求S＝﹣（R﹣5）2+25，利用二次函数的图象即可得解．
（3）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积．
【解答】解：（1）l＝10×＝（cm）．
（2）由已知得：l+2R＝20，
所以S＝lR＝（20﹣2R）R＝﹣（R﹣5）2+25．
所以R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2rad．
（3）设弓形面积为S弓，由题知l＝cm，
S弓＝S扇﹣S△＝××2﹣×22×sin
＝﹣（cm2）．
【点评】本题主要考查了弧长公式，二次函数的图象和性质，扇形面积，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．北师大版（新教材）高一必修2重点题型N1
第一章
三角函数
考试范围：周期变化与任意角；弧度制；
考试时间：100分钟；命题人：LEOG
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一：用终边相同的角求给定范围的角
1．与﹣600°终边相同的最小正角的弧度数是 ．
2．在[0°，360°）与﹣496°终边相同的角是 ，它是第 象限角．
3．在﹣360°～0°范围内与角1250°终边相同的角是 ．
4．大于﹣360°且终边与角75°重合的负角是 ﹣285° ．
5．与﹣2018°角终边相同的最小正角是
题型二：终边落在某条直线上的角的集合
1．若角α的终边在直线y＝x上，则角α用弧度制可表示为 ．
2．终边在直线y＝x上的角的集合为 ．
3．终边在x轴上的角的集合为（ ）
A．{a|a＝kπ，k∈N}
B．{a|a＝kπ，k∈Z}
C．{a|a＝2kπ，k∈N}
D．{a|a＝2kπ，k∈Z}
4．终边在一三象限角平分线的角的集合为 ．
题型三：区域角的表示
1．已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（1）写出与α＝﹣1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式﹣720°≤β＜360°的元素β写出来．
（2）分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
（3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合．
3．集合{α|kπ+≤α≤kπ+，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
5．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示）．
题型四、判定给定的角的是第几象限角
1．2019°是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
2．角﹣1120°是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
题型5、判定倍角分角是第几象限角
1．如果α是第三象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知α的终边在第一象限，则角的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第一或第三象限
D．第一或第四象限
3．如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
4．已知θ为第二象限角，那么是（ ）
A．第一或第二象限角
B．第一或四象限角
C．第二或四象限角
D．第一、二或第四象限角
题型6、角度与弧度之间的换算
1．﹣300°化为弧度是（ ）
A．﹣π
B．﹣π
C．﹣π
D．﹣π
2．把﹣化成角度是（ ）
A．﹣960°
B．﹣480°
C．﹣120°
D．﹣60°
3．下列各式不正确的是（ ）
A．﹣210°＝
B．405°＝
C．335°＝
D．705°＝
4．将下列角度化为弧度，弧度转化为角度
（1）780°，（2）﹣1560°，（3）67.5°（4），（5），（6）．
题型7：弧长公式与扇形的面积公式
1．已知扇形的圆心角为90°，弧长为l，求此扇形内切圆的面积．
2．已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l．
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
3．已知扇形的圆心角为α（α＞0），半径为R．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求圆心角α所对的弧长．
（2）若扇形的周长是8cm，面积是4cm2，求α和R．
4．已知扇形的面积为100，
（1）若扇形的周长为50，求其半径；
（2）求其周长的最小值及取得最小值时扇形圆心角的弧度数．
5．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大；
（3）若α＝，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
