第五章 5.1 第1课时　变化率问题和导数的概念学案2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

§5.1　导数的概念及其意义
第1课时　变化率问题和导数的概念
学习目标　1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
知识点一　瞬时速度
瞬时速度的定义
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝
＝
.
知识点二　函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
知识点三　函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝
＝
.
1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　　)
2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　)
3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．(　　)
4．设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，当Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，f′(x0)＝
＝
.(　　)
一、函数的平均变化率
例1　(1)函数y＝从x＝1到x＝2的平均变化率为(　　)
A．－1
B．－
C．－2
D．2
(2)已知函数y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为(　　)
A．－0.11
B．－1.1
C．3.89
D．0.29
(3)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为__________________．
反思感悟　求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1　已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
二、求瞬时速度
例2　
一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
反思感悟　求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝
.
跟踪训练2　(1)一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________.
(2)一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，求常数a的值．
三、求函数在某点处的导数
例3　求函数y＝x－在x＝1处的导数．
反思感悟　用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝.
(3)求极限
.
跟踪训练3　(1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为(　　)
A．2x
B．2
C．2＋Δx
D．1
(2)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　)
A．－4
B．2
C．－2
D．±2
1．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．Δx
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为(　　)
A．4
B．4x
C．4.2
D．4.02
3．物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝
＝18
m/s，则下列说法中正确的是(　　)
A．18
m/s是物体从开始到3
s这段时间内的平均速度
B．18
m/s是物体从3
s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C．18
m/s是物体在3
s这一时刻的瞬时速度
D．18
m/s是物体从3
s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
4．一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为(　　)
A．－2
B．－1
C．0
D．2
5．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________.
1．知识清单：
(1)平均变化率．
(2)瞬时速度．
(3)函数在某点处的导数．
2．方法归纳：极限法、定义法．
3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．
1．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数的增量Δy等于(　　)
A.
B．－
C．1
D．－1
2．函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
3．一质点的运动方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3
B．3
C．6
D．－6
4．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)等于(　　)
A．Δx－3
B．(Δx)2－3Δx
C．－3
D．0
5．(多选)设f(x)＝t2x，若f′(1)＝4，则t的值是(　　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
6．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
7．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是________．
8．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足
＝－1，则f′(0)＝__________.
9．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．
10．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4
s时物体的运动的平均速度和4
s时的瞬时速度．
11．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是(　　)
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
12．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　)
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
13．设函数f(x)可导，则
等于(　　)
A．f′(1)
B．3f′(1)
C.?f′(1)
D．f′(3)
14．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
15．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________．
16．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体在t＝1时的瞬时速度．
参考答案
××√√
例1.（1）答案　B
解析　平均变化率为＝＝－.
（2）答案　B
解析　∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，
∴＝＝－1.1.
（3）答案　1<2<3
解析　由平均变化率的几何意义知：1＝kOA，2＝kAB，
3＝kBC，由图象知：kOA跟踪训练1　解　(1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)
＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝6x0＋3Δx.
例2解　(1)当t＝0时的速度为初速度．
在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
＝＝3－Δt，
＝
(3－Δt)＝3.
∴物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2,2＋Δt]，
∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，
＝＝－1－Δt，
＝
(－1－Δt)＝－1，
∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.
跟踪训练2（1）答案　1
解析　因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，
所以
＝(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，
所以t0＝1.
（2）解　质点M在t＝2
s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
＝＝＝4a＋aΔt，
∴
＝4a＝8，即a＝2.
例3解　∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，∴
＝＝2.
从而y′|x＝1＝2.
跟踪训练3（1）答案　B
解析　
＝
＝
＝
(2＋Δx)＝2.
（2）答案　D
解析　因为＝＝＝，
所以f′(m)＝
＝－，
所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
1.答案　A
解析　＝＝0.
2.答案　C
解析　＝＝＝4.2.
3.答案　C
4.答案　D
解析　因为
＝
＝
(－2t＋2－Δt)＝－2t＋2，
所以当t＝0时，其速度为2.
5.答案　3
解析　因为f′(1)＝
＝
＝a.
又因为f′(1)＝3，所以a＝3.
1.答案　B
解析　Δy＝－(2＋1)＝－.
2.答案　C
解析　平均变化率为＝＝5.
3.答案　D
解　由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为(－3Δt－6)＝－6.
4.答案　C
解析　f′(0)＝
＝
＝
(Δx－3)＝－3.
5.答案　AD
解析　因为f′(1)＝
＝t2＝4，所以t＝±2.
6.答案　5
解析　因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，
所以＝＝2，即t2－t－6＝2t＋4，
从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．
7.答案　2
解析　由题意知，
＝
＝
＝2－6t.
当t＝0时，v＝2－6×0＝2，
即物体的初速度是2.
8.答案　－1
解析　∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝
＝
＝－1.
9.解　∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx，
∴f′(1)＝
＝
＝(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，
∴a＝1.
10.解　自运动开始到t
s时，物体运动的平均速度
(t)＝＝3t＋2＋，故前4
s物体的平均速度为(4)＝3×4＋2＋＝15(m/s)．
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.＝2＋6t＋3·Δt，
＝2＋6t，
当t＝4时，
＝2＋6×4＝26，
所以4
s时物体的瞬时速度为26m/s.
11.答案　BC
解析　在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确，D错误．
12.答案　B
解析　由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．
13.答案　C
解析　
＝
＝?f′(1)．
14.答案　[x3，x4]
解析　由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，，，
结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
15.答案　2
解析　体积的增加量ΔV＝m3－＝(m3－1)，所以＝＝，
所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)．
16.解　(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为＝＝24
m/s.
即物体在t∈[3,5]内的平均速度为24
m/s.
(2)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率，
因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为
＝＝＝3Δt－12，
所以物体在t＝1处位移的瞬时变化率为
＝
(3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12
m/s.