第五章 5.3.1　函数的单调性学案2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册 Word含解析

§5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
学习目标　1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
知识点一　函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
思考　如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
答案　f(x)是常数函数．
知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
知识点三　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　　)
2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　)
3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　　)
4．函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(　　)
一、函数图象与导函数图象的关系
例1　(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　)
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　)
反思感悟　(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．
　(1)已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给的四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)
(2)函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为__________________．
二、利用导数求函数的单调区间
例2　求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln
x；(2)f(x)＝x＋(b>0)．
反思感悟　求函数y＝f(x)的单调区间常用解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为单调递增．
跟踪训练2　(1)函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为__________________．
(2)设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
利用导数求参数的取值范围
典例　已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．
[素养提升]　(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(2)理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养．
1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　)
2．(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是(　　)
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(3,4)
D．(2，＋∞)
3．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)
A．a≤0
B．a<1
C．a<2
D．a≤
4．若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　)
A．－1≤a≤2
B．－2≤a≤1
C．a＞2或a＜－1
D．a＞1或a＜－2
5．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上单调递减，则b的取值范围是________．
1．知识清单：
(1)函数的单调性与其导数的关系．
(2)利用导数判断函数的单调性．
(3)利用导数求函数的单调区间．
2．方法归纳：方程思想、分类讨论．
3．常见误区：利用导数法解决取值范围问题时忽略等号是否满足；忽略定义域的限制．
1．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上，f(x)单调递增
B．在(1,2)上，f(x)单调递增
C．在(4,5)上，f(x)单调递增
D．在(－3，－2)上，f(x)单调递增
2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(　　)
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－∞，0)
D．(0,2)
3．函数f(x)＝ln
x－4x＋1的单调递增区间为(　　)
A.
B．(0,4)
C.
D.
4．(多选)函数f(x)＝xe－x的单调递增区间可以是(　　)
A．[－1,0]
B．[2,8]
C．[1,2]
D．[0,1]
5．函数f(x)＝xcos
x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是(　　)
6．函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的单调递减区间为________________．
7．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为______________．
8．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为______________，函数f(x)的单调递增区间是________________．
9．试求函数f(x)＝kx－ln
x的单调区间．
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间．
11．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为单调递减，函数g(x)＝x2－aln
x在(1,2)上为单调递增，则a等于(　　)
A．1
B．2
C．0
D.
12．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
13．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是________．
14．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________．
15．(多选)已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)·f′(x)>f(x)，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．3f(4)<4f(3)
B．4f(4)>5f(3)
C．3f(3)<4f(2)
D．3f(3)>4f(2)
16．已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1)．
(1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上为单调递减，求实数a的取值范围．
参考答案
×
×
√
√
例1（1）答案　D
解析　由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
（2）答案　D
解析　从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减．
即函数f(x)的图象在内越来越陡，
在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．
跟踪训练1（1）答案　C
解析　当0∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上单调递减；
当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
故y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故选C.
（2）答案　∪(2,3)
解析　因为y＝f(x)在区间和区间(2,3)上单调递减，所以在区间和区间(2,3)上f′(x)<0.
跟踪训练2　（1）答案　(－2－，－2＋)
解析　由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，
解得－2－所以f(x)＝(x2＋2x)ex的单调递减区间为
(－2－，－2＋)．
（2）解　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln
a)上单调递减，在(ln
a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln
a)，单调递增区间为(ln
a，＋∞)．
解　由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
即f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
1.答案　C
解析　∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1,4)上是单调递增，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f′(x)＞0.
2.答案　CD
解析　∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，CD符合．
3.答案　A
解析　f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，
∴a≤0.
4.答案　D
解析　若函数f(x)有3个单调区间，
则f
′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，
解得a＞1或a＜－2.
5.答案　(－∞，－1]
解析　∵f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立．
∵f′(x)＝－x＋，
∴－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.
1.答案　BC
解析　由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)是单调递增，当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)是单调递减．
2.答案　D
解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，得03.答案　A
解析　f(x)＝ln
x－4x＋1的定义域是{x|x>0}，f′(x)＝－4＝，当f′(x)>0时，解得04.答案　AD
解析　由f′(x)＝e－x－x·e－x＝(1－x)·e－x>0，
e－x>0，得x<1.
5.答案　A
解析　因为f(x)＝xcos
x，所以f′(x)＝cos
x－xsin
x.
因为f′(－x)＝f′(x)，
所以f′(x)为偶函数，
所以函数图象关于y轴对称．
由f′(0)＝1可排除C，D.
而f′(1)＝cos
1－sin
1<0，排除B.
6.答案　(－2，－1)
解析　f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，
令f′(x)<0，解得－2所以函数f(x)的单调递减区间为(－2，－1)．
7.答案　(－3，－1)∪(0,1)
解析　由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，
f′(x)<0；
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
8.答案　－　，(1，＋∞)
解析　f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，
因为f(x)的单调递减区间是，
所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1，
即解得m＝－.
由f′(x)＝ex
＝(x－1)(2x＋3)ex，
得f′(x)>0时，x<－或x>1.
9.解　函数f(x)＝kx－ln
x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k>0时，由f′(x)<0，即<0，解得0由f′(x)>0，即>0，解得x>.
∴当k>0时，f(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
当k>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
10.解　(1)∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，
∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴f′(1)＝4.又f(1)＝3，
∴切点坐标为(1,3)，∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，
即4x－y－1＝0.
(2)f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，
由f′(x)＝0得x＝－a或x＝.
又a>0，由f′(x)<0，得－a由f′(x)>0，得x<－a或x>，
故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(－∞，－a)和.
11.答案　B
解析　因为函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上单调递减，
所以≥1，解得a≥2.g′(x)＝2x－，
依题意得，g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，
即2x2≥a在(1,2)上恒成立，故a≤2.所以a＝2.
12.答案　C
解析　因为′＝.
又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．
又因为a>，
又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．
13.答案　[－1,1)
解析　令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，解得－2≤x≤2.∴f(x)的单调递减区间为[－2,2]，
由题意得(2m，m＋1)?[－2,2]，
∴解得－1≤m<1.
14.答案　(－∞，－1)∪(0,1)
解析　因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，
且f(x)在(－∞，0)上单调递减，
f(x)的草图如图所示，
所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
15.答案　BD
解析　由(x＋1)f′(x)>f(x)，
得(x＋1)f′(x)－f(x)>0，
令g(x)＝，则g′(x)＝>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(2)则<<，
即4f(2)<3f(3)，5f(3)<4f(4)，故选BD.
16.解　(1)当a＝－时，
f(x)＝－x2＋ln(x＋1)(x>－1)，
f′(x)＝－x＋＝－(x>－1)．
当f′(x)>0时，解得－1当f′(x)<0时，解得x>1.
故函数f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
所以f′(x)＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，
即a≤－对任意x∈[1，＋∞)恒成立．
令g(x)＝－，x∈[1，＋∞)，
易求得在区间[1，＋∞)上g′(x)>0，
故g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
故g(x)min＝g(1)＝－，故a≤－.
即实数a的取值范围为.