2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修二第八章立体几何初步8.6.3平面与平面垂直 （第1课时）（共22张PPT）

8.6.3　平面与平面垂直 （第1课时）
第八章　立体几何初步
在日常生活中，有很多平面与平面相交的例子．
一、探究、建构二面角及其平面角的概念
问题1　在平面几何中，我们通过引入“角”的概念来刻画两条相交直线的位置关系，你能在空间中引入类似的概念来刻画两个相交平面的位置关系吗？
l
A
B
β
α
．P
．Q
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
这条直线叫做二面角的棱．
这两个半平面叫做二面角的面．
记法：二面角α-AB-β，二面角α-l-β，二面角P-AB-Q，二面角P-l-Q．
一、探究、建构二面角及其平面角的概念
问题2　虽然都是平面与平面相交，但在直观感觉上，两平面的“开合程度”并不一样．比如日常生活中，常说“把门开大一些”，这说明门与墙面所形成的角度有不同的状态．
一、探究、建构二面角及其平面角的概念
那么该如何定量地刻画两平面的位置关系呢？根据前面研究异面直线所成的角和直线与平面所成的角的经验，我们可以用一个平面角来度量二面角的大小．这样的平面角该如何建构呢？
追问1　在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，可得一个平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？如果不能，又该如何作图呢？
P
A
B
因为角的大小会由于所作射线的位置不一样而不同，而度量一个量的基本要求是“唯一性”．
追问2　以棱上给定的一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线形成的角度是唯一确定的．若在棱上任意选取一点，用这个办法作出的平面角的大小会有所不同吗？为什么？
一、探究、建构二面角及其平面角的概念
二面角的平面角的概念
如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作
垂直于棱l的射线OA，OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
O
A
B
β
α
l
∠AOB 的大小与点O在棱l上的位置有关吗？为什么？
根据空间等角定理，∠AOB的大小与点O在棱l上的位置无关．
一、探究、建构二面角及其平面角的概念
二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量．二面角的平面角θ的取值范围为0o≤θ≤180o．其中，我们把平面角是直角的二面角叫做直二面角．
若两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直．
问题3　你能给出一些生活中给人以平面与平面垂直感觉的例子吗？你能绘制两个平面互相垂直时直观图吗？
一、探究、建构二面角及其平面角的概念
二、探究、发现平面与平面垂直的判定定理
问题4　对于两相交平面，除了根据定义，通过度量其平面角的大小来判定它们是否垂直外，是否存在其他的判定方法呢？建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面．受此启发，你能从中总结出判定两个平面垂直的方法吗？
平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
图形表示：
?
?
m
符号表示：
线面垂直
面面垂直
转 化
二、探究、发现平面与平面垂直的判定定理
追问2　你能利用平面与平面垂直的定义，对上述定理进行证明吗？
如图，设直线m与平面β相交于点O，在平面β内过点O作棱l的垂线OB，易知∠AOB 就是二面角α-l-β的平面角．
?
?
l
O
B
A
m
因为m⊥β ，故m⊥OB ，即∠AOB =90o．根据定义知α⊥β ．
二、探究、发现平面与平面垂直的判定定理
三、巩固、运用平面与平面垂直的判定定理
追问1　欲证结论，根据平面与平面垂直的判定定理，应该证明一个平面经过另外一个平面的垂线．那么具体是哪个平面内的哪条直线垂直于另一个平面呢？
例1　如图所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求证：平面 ⊥平面 ．
追问2　除了用平面与平面垂直的判定定理来加以证明外，你能找到这两个平面形成的二面角吗？你能从定义出发进行证明吗？
O
M
两个平面的交线是什么？
如何在两个半平面内找交线的垂线？
∠BOM就是所求的二面角 ．
三、巩固、运用平面与平面垂直的判定定理
欲证结论，根据平面与平面垂直的判定定理，应该证明哪个平面经过另外一个平面的垂线．
例2　如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．
求证：平面PAC⊥平面PBC．
要证线面垂直，先证线线垂直．从题设条件，我们可以得到哪些线线垂直关系？
三、巩固、运用平面与平面垂直的判定定理
GGB动画素材展示
设点B′是圆周上的一个动点，则：
（1）探究二面角A-PC-B′的大小；
（2）探究二面角A-PC-B′的大小与∠APB′，
∠APC，∠B′PC的关系．
三、巩固、运用平面与平面垂直的判定定理
四、课堂练习，及时反馈
2．已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是（ ）．
A．α⊥γ， β⊥γ
B．α∩β＝a，b⊥a，b
C．a∥β，a∥α
D．a∥α，a⊥β
四、课堂练习，及时反馈
3．在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC ⊥CD，你能在图中发现哪些平面互相垂直，为什么？
由AB⊥平面BCD可知：
平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．
易证：CD⊥平面ABC，故：平面ACD⊥平面ABC．
教科书P158例8以及练习3中出现的四面体在中国古代被称为“鳖臑”，其特点为四个面都是直角三角形．“鳖臑”是用来展示空间垂直关系的经典素材，值得我们关注．
四、课堂练习，及时反馈
4．如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D为棱AC的中点．
求证：平面BDC′⊥平面ACC′A′ ．
（1）本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学到这些知识的？
（2）平面与平面垂直的定义和前面学过的直线与平面垂直的定义有何不同？
（3）什么是二面角的平面角？对于给定的二面角，你能作出其平面角吗？
（4）我们都有哪些方法来证明两个平面互相垂直？
五、归纳小结
教科书第163页第6、7题，
第164页第21题．
六、布置作业
目标检测
1．已知四棱锥P?-ABCD的底面是边长为2的正方形，各条侧棱长为
，则侧面与底面所成的二面角的大小为__________．
2．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点．求证：平面C1BD⊥平面BDE．
目标检测
3．已知三棱锥A?BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BC＝CD，∠ADB＝60°，E，F分别位于棱AC，AD上，且EF//CD．当
为何值时，平面BEF⊥平面ACD？
再 见