2021届高考物理大二轮复习讲义：专题1第3讲力与曲线运动
文档属性
| 名称 | 2021届高考物理大二轮复习讲义：专题1第3讲力与曲线运动 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2021-03-12 20:57:22 | ||
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文档简介
第3讲 力与曲线运动
构建网络·重温真题
1．(2020·全国卷Ⅰ) 如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长约为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
2．(2020·全国卷Ⅱ)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于( )
A．20 B．18
C．9.0 D．3.0
3. (2020·浙江7月选考)如图所示，底部均有4个轮子的行李箱a竖立、b平卧放置在公交车上，箱子四周有一定空间。当公交车( )
A．缓慢起动时，两只行李箱一定相对车子向后运动
B．急刹车时，行李箱a一定相对车子向前运动
C．缓慢转弯时，两只行李箱一定相对车子向外侧运动
D．急转弯时，行李箱b一定相对车子向内侧运动
4．(2020·江苏高考)(多选)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的大
5．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)如图a，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v?t图象如图b所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则( )
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
6. (2019·江苏高考)(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
7．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
8．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
9．(2020·江苏高考)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h。
10．(2020·山东高考)单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin72.8°＝0.96，cos72.8°＝0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
11．(2018·全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα＝，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：
(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
(2)小球到达A点时动量的大小；
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。
命题特点：高考中单独考查曲线运动的知识点时，题型多为选择题，将曲线运动与功和能、动量、电场和磁场综合考查时，题型多为计算题或选择题。
思想方法：运动的合成与分解、模型法、假设法。
高考考向1 运动的合成与分解
例1 (2018·北京高考)根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤道上方200 m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6 cm处，这一现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球( )
A．到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零
B．到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零
C．落地点在抛出点东侧
D．落地点在抛出点西侧
破题关键点
(1)小球到最高点时，有什么特点？
(2)小球在水平方向做什么运动？
1.应用运动的合成与分解解题的一般思路
(1)明确合运动和分运动的运动性质。
(2)明确是在哪两个方向上的合成或分解。
(3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度)。
(4)运用动力学规律或矢量的运算法则进行分析求解。
2．关联速度问题的解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
1. (2020·广西省柳州高级中学高三下学期4月线上模拟)(多选)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地面上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平(转过了90°角)。下列有关此过程的说法中正确的是( )
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωL
D．重物M的最大速度是2ωL
2．(2020·河北省衡水中学高三年级下第五次调研)(多选)2019年央视春晚加入了非常多的科技元素，在舞台表演中还出现了无人机。现通过传感器将某台无人机上升向前追踪拍摄的飞行过程转化为竖直向上的速度vy及水平方向速度vx与飞行时间t的关系图象，如图所示。则下列说法正确的是( )
A．无人机在t1时刻处于超重状态
B．无人机在0～t2时间内沿直线飞行
C．无人机在t2时刻上升至最高点
D．无人机在t2～t3时间内做匀变速运动
高考考向2 平抛运动规律的应用
例2 (2020·福建省泉州市高三第二次质量检测)如图，一质量为m的质点做平抛运动，依次经过A、B、C三点，A到B和B到C的时间相等。A、C两点距水平地面高度分别为h1、h2，质点经过A、C两点时速度与水平方向的夹角分别为30°、60°，重力加速度大小为g，则( )
A．质点经过C点时动能为mg(h1－h2)
B．质点经过B点时速度与水平方向的夹角为45°
C．B、C间的高度差是A、B间的3倍
D．质点的水平速度大小为
破题关键点
(1)平抛运动的时间如何计算？
(2)平抛运动的水平速度如何计算？
3．(2018·江苏高考)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
4. (2020·贵州省贵阳市高三下学期3月份调研考试)2019年5月3日，CBA总决赛第四战实力强大的广东男篮再次击败新疆队，时隔6年再度夺得CBA总冠军。比赛中一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中篮板上A点，如图所示。若该运动员后撤到C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，运动员需( )
A．减小抛射速度v0，同时增大抛射角θ
B．增大抛射速度v0，同时增大抛射角θ
C．减小抛射角θ，同时减小抛射速度v0
D．减小抛射角θ，同时增大抛射速度v0
5．(2020·浙江省高三模拟)2022年冬奥会将在北京举行，滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示，某运动员(可视为质点)从雪坡上先后以初速度之比v1∶v2＝3∶4沿水平方向飞出，均落在雪坡上，不计空气阻力，则运动员从飞出到落到雪坡上的整个过程中( )
A．运动员先后落在雪坡上的速度方向不相同
B．运动员先后在空中飞行的时间之比为9∶16
C．运动员先后落到雪坡上的速度之比为3∶4
D．运动员先后下落的高度之比为3∶4
高考考向3 圆周运动问题
例3 (2020·湖北省武汉市高三(下)五月质量检测)飞球调速器是英国工程师詹姆斯·瓦特于1788年为蒸汽机速度控制而设计，如图a所示，这是人造的第一个自动控制系统。如图b所示是飞球调速器模型，它由两个质量为m的小球通过4根长为l的轻杆与竖直轴的上、下两个套筒铰接。上面套筒固定，下面套筒质量为M，可沿轴上下滑动。不计一切摩擦，重力加速度为g，当整个装置绕竖直轴以恒定的角速度ω匀速转动时(飞球调速器的旋转速度和蒸汽机相同)：
(1)求此时轻杆与竖直轴之间的夹角θ的余弦值；
(2)为实现对蒸汽机的自动控制(即将蒸汽机的转速控制在一定范围内)，由于扰动，当套筒下移时，传动机构应使蒸汽机的转速升高还是降低？请简述其控制原理。
破题关键点
(1)小球和套筒分别做什么运动？
(2)套筒下移后小球和套筒的受力有何变化？
6．(2020·广东省汕头市高三第一次模拟考试)(多选)如图甲，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处M装有力传感器，可测出球经过M点时对管道的作用力F(竖直向上为正)，用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与v的关系图象如图乙，c为图线与横轴交点的横坐标，b为图线延长线与纵轴交点的纵坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是( )
A．若小球经过N点时满足v＝c，则经过M点时对管道无压力
B．若小球经过N点时满足v＝c，则经过M点时对内管道壁有压力
C．小球做圆周运动的半径为
D．F＝b表示小球经过N点时速度等于0
7. (2020·山西省大同市(县区)高三第一次联合考试)(多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块A到OO′轴的距离为物块B到OO′轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( )
A．B受到的静摩擦力一直增大
B．B受到的静摩擦力先增大后减小再增大
C．A受到的静摩擦力先增大后减小
D．A受到的合外力一直在增大
8. (2020·福建省漳州市高考模拟(一))如图所示，天花板上有一可自由转动的光滑小环Q，一轻绳穿过Q，两端分别连接质量为m1、m2的A、B小球。两小球分别在各自的水平面内做圆周运动，它们周期相等。则A、B小球到Q的距离l1、l2的比值为( )
A． B．
C． D．
易错警示 立体空间中平抛运动问题的分析
例 (2020·浙江省教育绿色评价联盟高三(下)6月适应性考试)如图所示，在圆柱形房屋天花板中心O点悬挂一根长为L的细绳，绳的下端挂一个质量为m的小球，重力加速度为g，已知细绳能承受的最大拉力为2mg，小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球恰好以v＝的速度落在墙角边，以下选项正确的是( )
A．悬点到轨迹圆的高度h与小球做圆周运动角速度的平方ω2成正比
B．绳断裂瞬间的速度v0＝
C．圆柱形房顶的高度H＝3.25L
D．半径R＝L
专题作业
限时：50分钟 满分：100分
一、选择题(本题共11小题，每小题8分，共88分，其中第1～8题为单选题，第9～11题为多选题)
1. (2020·河北省六市高三下学期第二次联合调研)如图所示，水平传送带以速度v0匀速运动，从传送带边缘垂直传送带弹入一底面涂有墨汁的棋子，棋子弹入的速度为v棋，且v棋>v0，棋子在传送带表面滑行一段时间后随传送带一起运动。以传送带的运动方向为x轴正方向，棋子初速度方向为y轴正方向，棋子出发点为坐标原点，在下列各图中，最接近棋子在传送带上留下的墨迹形状的是( )
2. (2020·山西省高三一模)曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件。如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度大于v0
3．(2020·江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研)国庆70周年阅兵展出了我国高超音速乘波体导弹——东风－17，东风－17突防能力强，难以拦截，是维护祖国和平发展的有力武器。如图所示，设弹道上处于大气层外的a点和处于大气层内的b点的曲率半径之比为2∶1，导弹在a、b两点的速度大小分别为3倍音速和12倍音速，方向均平行于其正下方的水平地面，导弹在a点所受重力为G，在b点受到空气的升力为F。则( )
A．F＝33G B．F>33G
C．F＝32G D．F<32G
4. (2020·江苏省高三普通高等学校招生全国统一考试(三))如图所示，某同学疫情期间在家锻炼时，对着墙壁练习打乒乓球，球拍每次击球后，球都从同一位置斜向上飞出，其中有两次球在不同高度分别垂直撞在竖直墙壁上，不计空气阻力，则球在这两次从飞出到撞击墙壁前( )
A．在空中飞行的时间可能相等
B．飞出时的初速度竖直分量可能相等
C．撞击墙壁的速度大小可能相等
D．飞出时的初速度大小可能相等
5. (2020·江苏省南京市六校联合体高三(下)5月联考)如图所示，曲线1和2分别为甲、乙两小球的运动轨迹，甲球从P点水平抛出的同时乙球从M点斜向上抛出，经过一段时间后两球在N点相遇，若M点在P点正下方，M点与N点在同一水平线上，不计空气阻力，可将球视为质点，则( )
A．两球相遇时甲的速度大小为乙的两倍
B．甲球在P点的速度与乙球在最高点的速度相等
C．乙球相对于M点上升的最大高度为PM长度的一半
D．两球相遇时甲的速度与水平方向的夹角为乙的两倍
6．(2020·江苏省七市高三(下)6月第三次调研)拨浪鼓最早出现在战国时期，宋代时小型拨浪鼓已成为儿童玩具。四个拨浪鼓上分别系有长度不等的两根细绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上，现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动，两小球在水平面内做周期相同的圆周运动。下列各图中两球的位置关系可能正确的是(图中细绳与竖直方向的夹角α<θ<β)( )
7．(2020·浙江省名校联盟新高考创新卷四)如图a是研究小球在斜面上平抛运动的实验装置，每次将小球从弧型轨道同一位置静止释放，并逐渐改变斜面与水平地面之间的夹角θ，获得不同的射程x，最后作出了如图b所示的x?tanθ图象，g取10 m/s2，则( )
A．由图b可知，小球在斜面顶端水平抛出时的初速度v0＝5 m/s
B．由题中所给条件无法求出小球在斜面顶端平抛时的初速度大小
C．若最后得到的图象如图c所示，可能是由于小球释放位置降低造成的
D．若实验中发现当θ＝60°时，小球恰好落在斜面底端，则斜面的长度L＝ m
8. (2020·东北三省三校高三下学期第三次联合模拟考试)如图所示，金属环M、N用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环始终相对杆不动，下列判断正确的是( )
A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大
B．转动的角速度越大，环N与竖直杆之间的弹力越大
C．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的弹力相等
D．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的摩擦力大小不可能相等
9．(2018·江苏高考)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车( )
A．运动路程为600 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D．转弯半径约为3.4 km
10．(2020·江苏省宿迁市沭阳县高三(下)5月联考)如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．A与B间的摩擦力大于C与转台间的摩擦力
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
11．(2020·江苏省启东中学高三上学期百校联考)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT?v2图象如图乙所示，则( )
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为am
C．若v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a
D．当v2＝c时，小球在最高点时绳的拉力大小为＋a
二、计算题(本题共1小题，共12分，须写出规范的解题步骤)
12．(12分)如图甲所示，一倾角为37°、长L＝3.75 m的斜面AB上端和一个竖直圆弧形光滑轨道BC相连，斜面与圆弧轨道相切于B处，C为圆弧轨道的最高点。t＝0时刻有一质量m＝1 kg的物块沿斜面上滑，其在斜面上运动的v?t图象如图乙所示。已知圆轨道的半径R＝0.5 m。(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)则：
(1)求物块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)求物块到达C点时对轨道的压力FN的大小；
(3)试通过计算分析物块是否可能以一定的初速度从A点滑上轨道，通过C点后恰好能落在A点？如果能，请计算出物块从A点滑出的初速度大小；如果不能，请说明理由。
第3讲 力与曲线运动
构建网络·重温真题
1．(2020·全国卷Ⅰ) 如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长约为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
答案 B
解析 当该同学荡到秋千支架的正下方时，根据牛顿第二定律，有2T－mg＝，解得T＝410 N，即此时每根绳子平均承受的拉力约为400 N，故B正确。
2．(2020·全国卷Ⅱ)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于( )
A．20 B．18
C．9.0 D．3.0
答案 B
解析 摩托车经过a点的动能为E1时，有E1＝mv，根据平抛运动规律有h＝gt，h＝v1t1；摩托车经过a点的动能为E2时，有E2＝mv，根据平抛运动规律有h＝gt，3h＝v2t2。联立以上各式可解得＝18，故B正确。
3. (2020·浙江7月选考)如图所示，底部均有4个轮子的行李箱a竖立、b平卧放置在公交车上，箱子四周有一定空间。当公交车( )
A．缓慢起动时，两只行李箱一定相对车子向后运动
B．急刹车时，行李箱a一定相对车子向前运动
C．缓慢转弯时，两只行李箱一定相对车子向外侧运动
D．急转弯时，行李箱b一定相对车子向内侧运动
答案 B
解析 由题意可知，当公交车缓慢起动时，两只行李箱与公交车之间有可能存在静摩擦力使行李箱与公交车一起运动，故A错误；当公交车急刹车时，由于惯性，行李箱a一定相对公交车向前运动，故B正确；当公交车缓慢转弯时，两只行李箱与公交车之间的静摩擦力可能提供向心力，使行李箱与公交车保持相对静止，故C错误；当公交车急转弯时，如果静摩擦力不足以提供向心力使行李箱b与公交车保持相对静止，则行李箱b相对公交车向外侧运动，故D错误。
4．(2020·江苏高考)(多选)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的大
答案 AD
解析 位移为由初位置到末位置的有向线段，由图可得A、B的位移大小分别为sA＝＝l，sB＝＝l，故A和B的位移大小相等，A正确；小球A、B在竖直方向上做自由落体运动，则A、B的运动时间分别为tA＝ ＝2，tB＝，故A的运动时间是B的倍，B错误；小球A、B在水平方向上做匀速直线运动，则A、B的初速度分别为 vxA＝＝，vxB＝＝，故A的初速度是B的，C错误；小球A、B在竖直方向上的末速度分别为vyA＝＝2，vyB＝，所以A、B的末速度分别为vA＝＝，vB＝＝2＝，故A的末速度比B的大，D正确。
5．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)如图a，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v?t图象如图b所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则( )
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
答案 BD
解析 v?t图象中图线与t轴包围的面积表示位移的大小，第二次滑翔过程中v?t图线与t轴所围面积比第一次的大表示在竖直方向上的位移比第一次的大，A错误；由图a知落在雪道上时的水平位移与竖直位移成正比，再由A项分析知，B正确；从起跳到落到雪道上，第一次滑翔过程中竖直方向的速度变化比第二次的大，时间比第二次的短，由a＝，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，C错误；v?t图象的斜率表示加速度，竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上的加速度比第一次的小，设在竖直方向上所受阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔在竖直方向上受到的阻力比第一次的大，D正确。
6. (2019·江苏高考)(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
答案 BD
解析 座舱的运动周期T＝＝，A错误；根据线速度与角速度的关系，可知座舱的线速度大小为v＝ωR，B正确；座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与座舱的重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小为F合＝mω2R，C错误，D正确。
7．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
答案 C
解析 在竖直方向，球做自由落体运动，由h＝gt2知，选项A、D错误。由v2＝2gh知，选项B错误。在水平方向，球做匀速直线运动，通过相同水平距离，速度大的球用时少，选项C正确。
8．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
答案 A
解析 设甲球落至斜面时的速率为v1，乙球落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x＝vt，y＝gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tanθ＝，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，mv2＋mgy＝mv，联立解得：v1＝ ·v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比。同理可得，v2＝ ·，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，A正确。
9．(2020·江苏高考)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h。
答案 (1)2Rω (2)m
(3)
解析 (1)由题意可知，重物落地后，鼓形轮转动的角速度为ω，则根据线速度与角速度的关系可知，小球线速度的大小v＝2Rω。
(2)小球匀速转动，合力提供向心力，对转到水平位置A的小球分析受力，如图所示，
根据牛顿第二定律得＝m，
解得F＝m。
(3)设重物落地时的速度为v1，重物下落过程中，对重物、鼓形轮和小球组成的系统，根据机械能守恒定律得
Mgh＝Mv＋×4mv2，
重物落地时的速度等于鼓形轮匀速转动时边缘的线速度，
即v1＝Rω，
联立解得h＝。
10．(2020·山东高考)单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin72.8°＝0.96，cos72.8°＝0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
答案 (1)4.8 m (2)12 m
解析 (1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得
v1＝vMsin72.8°①
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得mgcos17.2°＝ma1②
由运动学公式得d＝③
联立①②③式，代入数据得d＝4.8 m。④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得
v2＝vMcos72.8°⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得mgsin17.2°＝ma2⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得t＝⑦
L＝v2t＋a2t2⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m。⑨
11．(2018·全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα＝，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：
(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
(2)小球到达A点时动量的大小；
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。
答案 (1)mg (2) (3)
解析 (1)设水平恒力的大小为F0，小球到达C点时所受合力的大小为F。
由力的合成法则有＝tanα①
F2＝(mg)2＋F②
设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得F＝m③
由①②③式和题给数据得F0＝mg④
v＝⑤
(2)设小球到达A点的速度大小为v1，如图作CD⊥PA，交PA于D点，由几何关系得
DA＝Rsinα⑥
CD＝R(1＋cosα)⑦
由动能定理有－mg·CD－F0·DA＝mv2－mv⑧
由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A点的动量大小为p＝mv1＝⑨
(3)小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g。设小球在竖直方向的初速度为v⊥，从C点落至水平轨道上所用时间为t。由运动学公式有
v⊥t＋gt2＝CD⑩
v⊥＝vsinα?
由⑤⑦⑩?式和题给数据得t＝。
命题特点：高考中单独考查曲线运动的知识点时，题型多为选择题，将曲线运动与功和能、动量、电场和磁场综合考查时，题型多为计算题或选择题。
思想方法：运动的合成与分解、模型法、假设法。
高考考向1 运动的合成与分解
例1 (2018·北京高考)根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤道上方200 m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6 cm处，这一现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球( )
A．到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零
B．到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零
C．落地点在抛出点东侧
D．落地点在抛出点西侧
破题关键点
(1)小球到最高点时，有什么特点？
提示：竖直方向速度为零，加速度不为零；水平方向加速度为零，速度不为零。
(2)小球在水平方向做什么运动？
提示：先向西做加速度减小的加速运动，后向西做加速度增大的减速运动，末速度为零。
[解析] 上升过程水平方向向西加速运动，在最高点竖直方向上速度为零，水平方向的“力”为零，所以水平方向的加速度为零，但水平方向上有向西的水平速度，且有竖直向下的加速度，故A、B错误；下降过程水平方向受到一个向东的“力”而向西减速运动，按照对称性落至地面时水平速度为零，整个过程都在向西运动，所以落点在抛出点的西侧，故C错误，D正确。
[答案] D
1.应用运动的合成与分解解题的一般思路
(1)明确合运动和分运动的运动性质。
(2)明确是在哪两个方向上的合成或分解。
(3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度)。
(4)运用动力学规律或矢量的运算法则进行分析求解。
2．关联速度问题的解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
1. (2020·广西省柳州高级中学高三下学期4月线上模拟)(多选)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地面上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平(转过了90°角)。下列有关此过程的说法中正确的是( )
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωL
D．重物M的最大速度是2ωL
答案 BC
解析 设C点线速度方向与细绳的夹角为θ(锐角)，由题知C点的线速度大小为ωL，该线速度在细绳方向上的分速度大小为ωLcosθ，等于重物M运动的速度大小，θ的变化规律是长杆竖直时最大(90°)，然后逐渐变小，直至细绳和杆垂直，θ变为零度，然后θ又逐渐增大，所以重物做变速运动，B正确，A错误；θ角先减小后增大，所以ωLcosθ先增大后减小(细绳和杆垂直时最大)，即重物的速度先增大后减小，最大速度为ωL，故C正确，D错误。
2．(2020·河北省衡水中学高三年级下第五次调研)(多选)2019年央视春晚加入了非常多的科技元素，在舞台表演中还出现了无人机。现通过传感器将某台无人机上升向前追踪拍摄的飞行过程转化为竖直向上的速度vy及水平方向速度vx与飞行时间t的关系图象，如图所示。则下列说法正确的是( )
A．无人机在t1时刻处于超重状态
B．无人机在0～t2时间内沿直线飞行
C．无人机在t2时刻上升至最高点
D．无人机在t2～t3时间内做匀变速运动
答案 AD
解析 根据图象可知，无人机在t1时刻，在竖直方向上向上做匀加速直线运动，有竖直向上的加速度，处于超重状态，故A正确；由图象可知，无人机在t＝0时刻，vy＝0，合初速度沿水平方向，在0～t2时间内水平与竖直方向均有加速度，则合加速度与合初速度不共线，所以无人机做曲线运动，即无人机沿曲线上升，故B错误；无人机在竖直方向上，先向上做匀加速直线运动，后向上做匀减速直线运动，在t3时刻上升至最高点，故C错误；无人机在t2～t3时间内，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上向上做匀减速直线运动，因此无人机做匀变速运动，故D正确。
高考考向2 平抛运动规律的应用
例2 (2020·福建省泉州市高三第二次质量检测)如图，一质量为m的质点做平抛运动，依次经过A、B、C三点，A到B和B到C的时间相等。A、C两点距水平地面高度分别为h1、h2，质点经过A、C两点时速度与水平方向的夹角分别为30°、60°，重力加速度大小为g，则( )
A．质点经过C点时动能为mg(h1－h2)
B．质点经过B点时速度与水平方向的夹角为45°
C．B、C间的高度差是A、B间的3倍
D．质点的水平速度大小为
破题关键点
(1)平抛运动的时间如何计算？
提示：根据竖直方向做自由落体运动计算，时间由高度决定。
(2)平抛运动的水平速度如何计算？
提示：根据水平方向做匀速直线运动计算，水平速度由时间和水平位移共同决定。
[解析] 质点从A到C过程中，由动能定理可知mg(h1－h2)＝EkC－EkA，即质点经过C点时动能大于mg(h1－h2)，故A错误；设A到B和B到C的时间均为t，平抛运动的初速度为v0，则有v0tan60°＝v0tan30°＋2gt，则质点经过B点时竖直方向的分速度为vBy＝v0tan30°＋gt，解得vBy＝v0，则质点经过B点时速度与水平方向的夹角的正切值为tanθ＝＝≠tan45°，故B错误；平抛运动中，竖直方向为初速度为0的匀加速度直线运动，相同时间间隔内的位移之比y1∶y2∶y3∶…∶yn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，虽然A到B和B到C的时间相等，但A点不是抛出点，则hBC∶hAB≠1∶3，故C错误；由vBy＝v0tan30°＋gt可得t＝，在竖直方向有vBy＝＝v0，解得v0＝，故D正确。
[答案] D
抓住“六点”破解平抛运动问题
(1)建立坐标系，分解运动
将平抛运动分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，而类平抛运动分解的方向不一定在竖直方向和水平方向上。
(2)各自独立，分别分析
(3)平抛运动是匀变速曲线运动，在任意相等的时间内速度的变化量Δv相等，Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下。
(4)两个分运动与合运动具有等时性，且t＝，由下落高度h决定，与初速度v0无关。
(5)任意时刻的速度与水平方向的夹角θ的正切值总等于该时刻的位移与水平方向的夹角φ的正切值的2倍，即tanθ＝2tanφ。或者说，任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(6)建好“两个模型”
①常规的平抛运动及类平抛模型。
②与斜面相结合的平抛运动模型。
a．从斜面上水平抛出又落回到斜面上：位移方向恒定，落点速度方向与斜面间的夹角恒定，此时往往分解位移，构建位移三角形。
b．从斜面外水平抛出垂直落在斜面上：速度方向确定，此时往往分解速度，构建速度三角形。
3．(2018·江苏高考)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
答案 B
解析 弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，且弹出小球的水平初速度相同，所以小球在水平方向运动的时间不等，因小球在水平方向做匀速运动，所以水平位移不相等，因此落点不相同，故B正确。
4. (2020·贵州省贵阳市高三下学期3月份调研考试)2019年5月3日，CBA总决赛第四战实力强大的广东男篮再次击败新疆队，时隔6年再度夺得CBA总冠军。比赛中一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中篮板上A点，如图所示。若该运动员后撤到C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，运动员需( )
A．减小抛射速度v0，同时增大抛射角θ
B．增大抛射速度v0，同时增大抛射角θ
C．减小抛射角θ，同时减小抛射速度v0
D．减小抛射角θ，同时增大抛射速度v0
答案 D
解析 根据题可知，篮球垂直击中A点，其逆过程是平抛运动。当平抛运动的竖直高度一定时，水平速度越大，则水平位移越大，抛出后落地速度越大，与水平面的夹角越小。因此该运动员后撤到C点投篮时，需要增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ，才能仍垂直击中篮板上A点。故D正确，A、B、C错误。
5．(2020·浙江省高三模拟)2022年冬奥会将在北京举行，滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示，某运动员(可视为质点)从雪坡上先后以初速度之比v1∶v2＝3∶4沿水平方向飞出，均落在雪坡上，不计空气阻力，则运动员从飞出到落到雪坡上的整个过程中( )
A．运动员先后落在雪坡上的速度方向不相同
B．运动员先后在空中飞行的时间之比为9∶16
C．运动员先后落到雪坡上的速度之比为3∶4
D．运动员先后下落的高度之比为3∶4
答案 C
解析 设运动员的初速度为v，落在雪坡上的速度方向与水平方向的夹角为α，则tanα＝＝，而运动员落在雪坡上时位移方向与水平方向的夹角为θ，tanθ＝＝，因此可得tanα＝2tanθ，运动员先后落在雪坡上时位移的方向相同，则运动员落到雪坡上的速度方向相同，A错误；根据tanθ＝＝，可得t＝，由于v1∶v2＝3∶4，可知t1∶t2＝3∶4，因运动员落到雪坡上的速度方向相同，则落到雪坡上的速度之比为v1′∶v2′＝3∶4，根据h＝gt2可知运动员先后下落的高度之比为h1∶h2＝t∶t＝9∶16，则C正确，B、D错误。
高考考向3 圆周运动问题
例3 (2020·湖北省武汉市高三(下)五月质量检测)飞球调速器是英国工程师詹姆斯·瓦特于1788年为蒸汽机速度控制而设计，如图a所示，这是人造的第一个自动控制系统。如图b所示是飞球调速器模型，它由两个质量为m的小球通过4根长为l的轻杆与竖直轴的上、下两个套筒铰接。上面套筒固定，下面套筒质量为M，可沿轴上下滑动。不计一切摩擦，重力加速度为g，当整个装置绕竖直轴以恒定的角速度ω匀速转动时(飞球调速器的旋转速度和蒸汽机相同)：
(1)求此时轻杆与竖直轴之间的夹角θ的余弦值；
(2)为实现对蒸汽机的自动控制(即将蒸汽机的转速控制在一定范围内)，由于扰动，当套筒下移时，传动机构应使蒸汽机的转速升高还是降低？请简述其控制原理。
破题关键点
(1)小球和套筒分别做什么运动？
提示：小球做匀速圆周运动，合外力充当向心力，套筒静止，合力为零。
(2)套筒下移后小球和套筒的受力有何变化？
提示：套筒的合力仍然为零，小球的合力减小。
[解析] (1)当整个装置绕竖直轴以恒定的角速度ω匀速转动时，小球做匀速圆周运动，套筒静止。对小球和套筒受力分析如图所示，小球受到重力mg、上下两根轻杆的拉力F1、F2，竖直方向上，由平衡条件有F1cosθ＝F2cosθ＋mg①
水平方向上，由牛顿第二定律有
F1sinθ＋F2sinθ＝mrω2②
且r＝lsinθ③
此时，下面套筒受到重力Mg、左右两根轻杆的拉力F3、F4(根据对称性，F3、F4大小相等)，由套筒处于静止状态，可知
2F3cosθ＝Mg④
而F3＝F2⑤
联立解得cosθ＝。⑥
(2)由于扰动，当套筒下移时，轻杆与竖直轴之间的夹角θ减小，由⑥式可知，飞球调速器的转速降低，即蒸汽机的转速降低。为保持原来的转速，传动机构应使蒸汽机转速升高，由此实现对蒸汽机的自动控制。
[答案] (1)
(2)升高。由于扰动，蒸汽机的转速降低，套筒才会下移。为保持原来的转速，传动机构应使蒸汽机转速升高。
1.圆周运动问题的求解步骤
(1)审清题意，确定研究对象，明确物体做圆周运动的平面。
(2)分析物体的受力情况，明确哪些力充当向心力。
(3)分析物体的运动状态，如线速度、角速度、周期、轨迹半径等。
(4)根据牛顿第二定律列方程求解。
2．圆周运动的一些典型模型的处理方法
6．(2020·广东省汕头市高三第一次模拟考试)(多选)如图甲，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处M装有力传感器，可测出球经过M点时对管道的作用力F(竖直向上为正)，用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与v的关系图象如图乙，c为图线与横轴交点的横坐标，b为图线延长线与纵轴交点的纵坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是( )
A．若小球经过N点时满足v＝c，则经过M点时对管道无压力
B．若小球经过N点时满足v＝c，则经过M点时对内管道壁有压力
C．小球做圆周运动的半径为
D．F＝b表示小球经过N点时速度等于0
答案 AC
解析 由图乙可知，若小球经过N点时满足v＝c，则经过M点时对管道无压力，A正确；由图乙可知，若小球经过N点时满足v＝c>c，则经过M点时对管道的压力为正值，作用力F方向竖直向上，可知此时小球对外管道壁有压力，B错误；若小球经过N点时满足v＝c，则在M点时有mg＝m，由机械能守恒定律可得mv＝mg·2R＋mv，联立解得R＝，C正确；图乙中虚线部分是对实验数据处理得到的，实际上F＝b没有实际意义，D错误。
7. (2020·山西省大同市(县区)高三第一次联合考试)(多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块A到OO′轴的距离为物块B到OO′轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( )
A．B受到的静摩擦力一直增大
B．B受到的静摩擦力先增大后减小再增大
C．A受到的静摩擦力先增大后减小
D．A受到的合外力一直在增大
答案 BD
解析 开始角速度较小时，两物块均靠静摩擦力提供向心力，角速度增大，静摩擦力增大，根据f＝mrω2知，随着角速度的增大，物块A受到的摩擦力先达到最大静摩擦力，之后绳子产生拉力，A受到的静摩擦力不变，对A有T＋fm＝mω2rA，对B有T＋fB＝mω2rB，又rA＝2rB，联立得fB＝fm－mω2rB，所以之后随角速度增大，B受到的静摩擦力减小，减小到0后反向增大，A、C错误，B正确。根据向心力公式F＝mω2r，在发生相对滑动前两物块做圆周运动的半径不变，质量不变，随着转速的增大，向心力增大，而向心力就是物块受到的合外力，故D正确。
8. (2020·福建省漳州市高考模拟(一))如图所示，天花板上有一可自由转动的光滑小环Q，一轻绳穿过Q，两端分别连接质量为m1、m2的A、B小球。两小球分别在各自的水平面内做圆周运动，它们周期相等。则A、B小球到Q的距离l1、l2的比值为( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 由两小球做圆周运动的周期相等，可知它们的角速度相等，设连接A、B两球的轻绳与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，轻绳拉力为T，两小球做圆周运动的角速度为ω，在水平方向，对A小球：Tsinθ1＝m1ω2l1sinθ1，对B小球：Tsinθ2＝m2ω2l2sinθ2，联立得＝，故D正确。
易错警示 立体空间中平抛运动问题的分析
例 (2020·浙江省教育绿色评价联盟高三(下)6月适应性考试)如图所示，在圆柱形房屋天花板中心O点悬挂一根长为L的细绳，绳的下端挂一个质量为m的小球，重力加速度为g，已知细绳能承受的最大拉力为2mg，小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球恰好以v＝的速度落在墙角边，以下选项正确的是( )
A．悬点到轨迹圆的高度h与小球做圆周运动角速度的平方ω2成正比
B．绳断裂瞬间的速度v0＝
C．圆柱形房顶的高度H＝3.25L
D．半径R＝L
分析与解 设小球做圆周运动时，细绳与竖直方向的夹角为θ，分析小球的受力情况可知Tcosθ＝mg，Tsinθ＝mω2htanθ，解得h＝，则悬点到轨迹圆的高度h与小球做圆周运动角速度的平方ω2成反比，A错误；当绳断裂时，分析小球的受力情况有T0cosθ0＝mg，T0sinθ0＝m，其中T0＝2mg，解得θ0＝60°，v0＝ ，之后由动能定理有mgh′＝mv2－mv，解得h′＝L，所以H＝h′＋Lcosθ0＝L＝3.25L，由平抛运动的规律，有h′＝gt2，由几何知识得R＝＝3L，C正确，B、D错误。
答案 C
易错警示 对于立体空间背景下平抛运动的分析，可以借助实物模拟，或者将立体空间中的运动问题转换为运动轨迹所在平面的运动问题。
专题作业
限时：50分钟 满分：100分
一、选择题(本题共11小题，每小题8分，共88分，其中第1～8题为单选题，第9～11题为多选题)
1. (2020·河北省六市高三下学期第二次联合调研)如图所示，水平传送带以速度v0匀速运动，从传送带边缘垂直传送带弹入一底面涂有墨汁的棋子，棋子弹入的速度为v棋，且v棋>v0，棋子在传送带表面滑行一段时间后随传送带一起运动。以传送带的运动方向为x轴正方向，棋子初速度方向为y轴正方向，棋子出发点为坐标原点，在下列各图中，最接近棋子在传送带上留下的墨迹形状的是( )
答案 C
解析 开始时，棋子相对于传送带有沿y轴正方向的速度v棋和沿x轴负方向的速度v0，又所受摩擦力始终与棋子相对传送带的速度方向相反，所以棋子相对传送带沿直线运动，运动轨迹在y轴正半轴与x轴负半轴之间，故C正确，A、B、D错误。
2. (2020·山西省高三一模)曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件。如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度大于v0
答案 A
解析 当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度v0分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，将活塞的速度v分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，则有v0cosθ＝vcosθ，即v＝v0，A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线上时，P点沿杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，C、D错误。
3．(2020·江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研)国庆70周年阅兵展出了我国高超音速乘波体导弹——东风－17，东风－17突防能力强，难以拦截，是维护祖国和平发展的有力武器。如图所示，设弹道上处于大气层外的a点和处于大气层内的b点的曲率半径之比为2∶1，导弹在a、b两点的速度大小分别为3倍音速和12倍音速，方向均平行于其正下方的水平地面，导弹在a点所受重力为G，在b点受到空气的升力为F。则( )
A．F＝33G B．F>33G
C．F＝32G D．F<32G
答案 B
解析 设音速为v，导弹在a处时有G＝m，在b处时有F－G′＝m，又RA∶RB＝2∶1，G33G，故A、C、D错误，B正确。
4. (2020·江苏省高三普通高等学校招生全国统一考试(三))如图所示，某同学疫情期间在家锻炼时，对着墙壁练习打乒乓球，球拍每次击球后，球都从同一位置斜向上飞出，其中有两次球在不同高度分别垂直撞在竖直墙壁上，不计空气阻力，则球在这两次从飞出到撞击墙壁前( )
A．在空中飞行的时间可能相等
B．飞出时的初速度竖直分量可能相等
C．撞击墙壁的速度大小可能相等
D．飞出时的初速度大小可能相等
答案 D
解析 乒乓球运动的逆过程为平抛运动，由h＝gt2可知，球两次撞在竖直墙壁上的高度不同，则球两次在空中飞行的时间不相等，A错误；因两次运动的时间不同，故两次球飞出时的初速度竖直分量不同，B错误；两次水平射程相等，但两次运动的时间不同，则球两次撞击墙壁的速度大小不同，C错误；撞击墙壁位置越高，初速度的竖直分量越大，运动时间越长，初速度的水平分量越小，根据速度的合成可知球飞出时的初速度大小可能相等，D正确。
5. (2020·江苏省南京市六校联合体高三(下)5月联考)如图所示，曲线1和2分别为甲、乙两小球的运动轨迹，甲球从P点水平抛出的同时乙球从M点斜向上抛出，经过一段时间后两球在N点相遇，若M点在P点正下方，M点与N点在同一水平线上，不计空气阻力，可将球视为质点，则( )
A．两球相遇时甲的速度大小为乙的两倍
B．甲球在P点的速度与乙球在最高点的速度相等
C．乙球相对于M点上升的最大高度为PM长度的一半
D．两球相遇时甲的速度与水平方向的夹角为乙的两倍
答案 B
解析 由题意可知，甲球做平抛运动，乙球做斜抛运动，设甲球初速度为v0，相遇时甲的速度为v1，乙的速度为v2，从抛出到相遇二者所用时间相等，均为t，且水平位移x甲＝x乙，则甲、乙两球水平方向速度相等，乙球在最高点只在水平方向有速度，竖直方向速度为0，则甲球在P点的速度v0与乙球在最高点的速度相等，由题意得v1＝，v2＝，则＝，可知两球相遇时甲的速度大小不是乙的两倍，故A错误，B正确；乙球相对于M点上升的最大高度为h＝g2，PM的长度为h1＝gt2，则＝，可知乙球相对于M点上升的最大高度为PM长度的，故C错误；设两球相遇时甲的速度与水平方向的夹角为θ1，乙的速度与水平方向的夹角为θ2，则有tanθ1＝，tanθ2＝，则＝2，故相遇时甲的速度与水平方向的夹角不是乙的两倍，D错误。
6．(2020·江苏省七市高三(下)6月第三次调研)拨浪鼓最早出现在战国时期，宋代时小型拨浪鼓已成为儿童玩具。四个拨浪鼓上分别系有长度不等的两根细绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上，现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动，两小球在水平面内做周期相同的圆周运动。下列各图中两球的位置关系可能正确的是(图中细绳与竖直方向的夹角α<θ<β)( )
答案 C
解析 根据题意，两小球做匀速圆周运动，角速度相同，受力分析如图所示，令绳长为L′，反向延长线与拨浪鼓转轴交点为O，小球到O点的距离为L，小球与O点的高度差为h，鼓面半径为r。根据牛顿第二定律得mgtanθ＝mω2Lsinθ，则h＝Lcosθ＝＝L′cosθ＋rcotθ，可知当角速度一定时，h一定，绳子长度L′越长时，角θ越大，则绳子与拨浪鼓连接点A离小球圆周运动平面的距离h′＝L′cosθ＝h－rcotθ，h′越大。C正确，A、B、D错误。
7．(2020·浙江省名校联盟新高考创新卷四)如图a是研究小球在斜面上平抛运动的实验装置，每次将小球从弧型轨道同一位置静止释放，并逐渐改变斜面与水平地面之间的夹角θ，获得不同的射程x，最后作出了如图b所示的x?tanθ图象，g取10 m/s2，则( )
A．由图b可知，小球在斜面顶端水平抛出时的初速度v0＝5 m/s
B．由题中所给条件无法求出小球在斜面顶端平抛时的初速度大小
C．若最后得到的图象如图c所示，可能是由于小球释放位置降低造成的
D．若实验中发现当θ＝60°时，小球恰好落在斜面底端，则斜面的长度L＝ m
答案 D
解析 小球做平抛运动，在竖直方向有y＝gt2，在水平方向有x＝v0t，又＝tanθ，联立解得x＝tanθ，由图b可知＝0.2，解得v0＝1 m/s，故A、B错误；由图c可知，图象的斜率增大，说明增大，因重力加速度g不变，则水平抛出时的初速度增大，其原因可能是小球释放位置升高或小球释放时有初速度，故C错误；若斜面倾角θ＝60°时，小球恰好落在斜面底端，则在竖直方向有Lsin60°＝gt2，在水平方向有Lcos60°＝v0t，联立解得L＝ m，故D正确。
8. (2020·东北三省三校高三下学期第三次联合模拟考试)如图所示，金属环M、N用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环始终相对杆不动，下列判断正确的是( )
A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大
B．转动的角速度越大，环N与竖直杆之间的弹力越大
C．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的弹力相等
D．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的摩擦力大小不可能相等
答案 C
解析 设细线与竖直方向的夹角为θ，对N受力分析，如图所示，由平衡条件有Tcosθ＝GN，N1＝Tsinθ，因为两环始终相对杆不动，所以角θ不变，转动的角速度越大，细线中的拉力T不变，环N与竖直杆之间的弹力N2不变，A、B错误；对M，在竖直方向，由平衡条件有N2＝GM＋Tcosθ＝GM＋GN，所以转动的角速度不同时，环M与水平杆之间的弹力N2相等，C正确；当以较小角速度转动时，M所受摩擦力方向向右，Tsinθ－f＝mω2r，f＝Tsinθ－mω2r，随着角速度的增大，M所受摩擦力方向可能变成向左，可知转动的角速度不同，环M与水平杆之间的摩擦力可能等大反向，D错误。
9．(2018·江苏高考)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车( )
A．运动路程为600 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D．转弯半径约为3.4 km
答案 AD
解析 圆周运动的弧长s＝vt＝60×10 m＝600 m，A正确；火车转弯是圆周运动，圆周运动是变速运动，所以合力不为零，加速度不为零，故B错误；由题意得圆周运动的角速度ω＝＝×3.14 rad/s＝ rad/s，又v＝ωr，所以r＝＝×180 m＝3439 m，故C错误，D正确。
10．(2020·江苏省宿迁市沭阳县高三(下)5月联考)如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．A与B间的摩擦力大于C与转台间的摩擦力
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
答案 BC
解析 A、B之间相对静止，则A、B间的摩擦力为静摩擦力，小于等于3μmg，故A错误；三个小物体保持相对静止，随转台一起做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，则fA＝3mω2r，fC＝1.5mω2r，可知A与B间的摩擦力大于C与转台间的摩擦力，故B正确；根据μmg＝mRω2，可得临界角速度ω＝，C的运动半径最大，则C的临界角速度最小，要使A、B、C都不发生相对滑动，转台的角速度应满足ω≤ ＝，故C正确，D错误。
11．(2020·江苏省启东中学高三上学期百校联考)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT?v2图象如图乙所示，则( )
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为am
C．若v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a
D．当v2＝c时，小球在最高点时绳的拉力大小为＋a
答案 AC
解析 小球在最高点时，根据牛顿第二定律得：FT＋mg＝m，则FT＝m－mg，可知图线的斜率＝，纵轴截距－mg＝－a，则当地的重力加速度g＝，轻绳的长度L＝，故A正确，B错误；若小球运动到最高点时v2＝b，即v2＝gL，则从最高点到最低点，由机械能守恒定律有：mv2＋2mgL＝mv，在最低点时有：FT′－mg＝m，解得FT′＝6mg＝6a，故C正确；当v2＝c时，FT＝m－mg＝－a，故D错误。
二、计算题(本题共1小题，共12分，须写出规范的解题步骤)
12．(12分)如图甲所示，一倾角为37°、长L＝3.75 m的斜面AB上端和一个竖直圆弧形光滑轨道BC相连，斜面与圆弧轨道相切于B处，C为圆弧轨道的最高点。t＝0时刻有一质量m＝1 kg的物块沿斜面上滑，其在斜面上运动的v?t图象如图乙所示。已知圆轨道的半径R＝0.5 m。(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)则：
(1)求物块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)求物块到达C点时对轨道的压力FN的大小；
(3)试通过计算分析物块是否可能以一定的初速度从A点滑上轨道，通过C点后恰好能落在A点？如果能，请计算出物块从A点滑出的初速度大小；如果不能，请说明理由。
答案 (1)0.5 (2)4 N (3)能 m/s
解析 (1)由题图乙可知，物块沿斜面上滑时的加速度大小为a＝10 m/s2
根据牛顿第二定律有：mgsin37°＋μmgcos37°＝ma
解得：μ＝0.5。
(2)设物块到达C点时的速度大小为vC，从A到C，由动能定理得：
－mg(Lsin37°＋R＋Rcos37°)－μmgLcos37°＝mv－mv
在最高点C，根据牛顿第二定律有：mg＋FN′＝m
解得：FN′＝4 N
根据牛顿第三定律得：FN＝FN′＝4 N
即物块到达C点时对轨道的压力大小为4 N。
(3)假设物块以初速度v1从A点滑上轨道时，能通过C点后恰好落到A点，物块从C到A做平抛运动，
在竖直方向有：Lsin37°＋R(1＋cos37°)＝gt2
在水平方向有：Lcos37°－Rsin37°＝vC′t
解得：vC′＝ m/s＞＝ m/s，所以物块能通过C点落到A点
物块从A到C，由动能定律可得：
－mg(Lsin37°＋R＋Rcos37°)－μmgLcos37°＝mvC′2－mv
解得：v1＝ m/s。
构建网络·重温真题
1．(2020·全国卷Ⅰ) 如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长约为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
2．(2020·全国卷Ⅱ)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于( )
A．20 B．18
C．9.0 D．3.0
3. (2020·浙江7月选考)如图所示，底部均有4个轮子的行李箱a竖立、b平卧放置在公交车上，箱子四周有一定空间。当公交车( )
A．缓慢起动时，两只行李箱一定相对车子向后运动
B．急刹车时，行李箱a一定相对车子向前运动
C．缓慢转弯时，两只行李箱一定相对车子向外侧运动
D．急转弯时，行李箱b一定相对车子向内侧运动
4．(2020·江苏高考)(多选)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的大
5．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)如图a，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v?t图象如图b所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则( )
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
6. (2019·江苏高考)(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
7．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
8．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
9．(2020·江苏高考)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h。
10．(2020·山东高考)单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin72.8°＝0.96，cos72.8°＝0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
11．(2018·全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα＝，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：
(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
(2)小球到达A点时动量的大小；
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。
命题特点：高考中单独考查曲线运动的知识点时，题型多为选择题，将曲线运动与功和能、动量、电场和磁场综合考查时，题型多为计算题或选择题。
思想方法：运动的合成与分解、模型法、假设法。
高考考向1 运动的合成与分解
例1 (2018·北京高考)根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤道上方200 m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6 cm处，这一现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球( )
A．到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零
B．到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零
C．落地点在抛出点东侧
D．落地点在抛出点西侧
破题关键点
(1)小球到最高点时，有什么特点？
(2)小球在水平方向做什么运动？
1.应用运动的合成与分解解题的一般思路
(1)明确合运动和分运动的运动性质。
(2)明确是在哪两个方向上的合成或分解。
(3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度)。
(4)运用动力学规律或矢量的运算法则进行分析求解。
2．关联速度问题的解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
1. (2020·广西省柳州高级中学高三下学期4月线上模拟)(多选)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地面上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平(转过了90°角)。下列有关此过程的说法中正确的是( )
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωL
D．重物M的最大速度是2ωL
2．(2020·河北省衡水中学高三年级下第五次调研)(多选)2019年央视春晚加入了非常多的科技元素，在舞台表演中还出现了无人机。现通过传感器将某台无人机上升向前追踪拍摄的飞行过程转化为竖直向上的速度vy及水平方向速度vx与飞行时间t的关系图象，如图所示。则下列说法正确的是( )
A．无人机在t1时刻处于超重状态
B．无人机在0～t2时间内沿直线飞行
C．无人机在t2时刻上升至最高点
D．无人机在t2～t3时间内做匀变速运动
高考考向2 平抛运动规律的应用
例2 (2020·福建省泉州市高三第二次质量检测)如图，一质量为m的质点做平抛运动，依次经过A、B、C三点，A到B和B到C的时间相等。A、C两点距水平地面高度分别为h1、h2，质点经过A、C两点时速度与水平方向的夹角分别为30°、60°，重力加速度大小为g，则( )
A．质点经过C点时动能为mg(h1－h2)
B．质点经过B点时速度与水平方向的夹角为45°
C．B、C间的高度差是A、B间的3倍
D．质点的水平速度大小为
破题关键点
(1)平抛运动的时间如何计算？
(2)平抛运动的水平速度如何计算？
3．(2018·江苏高考)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
4. (2020·贵州省贵阳市高三下学期3月份调研考试)2019年5月3日，CBA总决赛第四战实力强大的广东男篮再次击败新疆队，时隔6年再度夺得CBA总冠军。比赛中一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中篮板上A点，如图所示。若该运动员后撤到C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，运动员需( )
A．减小抛射速度v0，同时增大抛射角θ
B．增大抛射速度v0，同时增大抛射角θ
C．减小抛射角θ，同时减小抛射速度v0
D．减小抛射角θ，同时增大抛射速度v0
5．(2020·浙江省高三模拟)2022年冬奥会将在北京举行，滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示，某运动员(可视为质点)从雪坡上先后以初速度之比v1∶v2＝3∶4沿水平方向飞出，均落在雪坡上，不计空气阻力，则运动员从飞出到落到雪坡上的整个过程中( )
A．运动员先后落在雪坡上的速度方向不相同
B．运动员先后在空中飞行的时间之比为9∶16
C．运动员先后落到雪坡上的速度之比为3∶4
D．运动员先后下落的高度之比为3∶4
高考考向3 圆周运动问题
例3 (2020·湖北省武汉市高三(下)五月质量检测)飞球调速器是英国工程师詹姆斯·瓦特于1788年为蒸汽机速度控制而设计，如图a所示，这是人造的第一个自动控制系统。如图b所示是飞球调速器模型，它由两个质量为m的小球通过4根长为l的轻杆与竖直轴的上、下两个套筒铰接。上面套筒固定，下面套筒质量为M，可沿轴上下滑动。不计一切摩擦，重力加速度为g，当整个装置绕竖直轴以恒定的角速度ω匀速转动时(飞球调速器的旋转速度和蒸汽机相同)：
(1)求此时轻杆与竖直轴之间的夹角θ的余弦值；
(2)为实现对蒸汽机的自动控制(即将蒸汽机的转速控制在一定范围内)，由于扰动，当套筒下移时，传动机构应使蒸汽机的转速升高还是降低？请简述其控制原理。
破题关键点
(1)小球和套筒分别做什么运动？
(2)套筒下移后小球和套筒的受力有何变化？
6．(2020·广东省汕头市高三第一次模拟考试)(多选)如图甲，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处M装有力传感器，可测出球经过M点时对管道的作用力F(竖直向上为正)，用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与v的关系图象如图乙，c为图线与横轴交点的横坐标，b为图线延长线与纵轴交点的纵坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是( )
A．若小球经过N点时满足v＝c，则经过M点时对管道无压力
B．若小球经过N点时满足v＝c，则经过M点时对内管道壁有压力
C．小球做圆周运动的半径为
D．F＝b表示小球经过N点时速度等于0
7. (2020·山西省大同市(县区)高三第一次联合考试)(多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块A到OO′轴的距离为物块B到OO′轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( )
A．B受到的静摩擦力一直增大
B．B受到的静摩擦力先增大后减小再增大
C．A受到的静摩擦力先增大后减小
D．A受到的合外力一直在增大
8. (2020·福建省漳州市高考模拟(一))如图所示，天花板上有一可自由转动的光滑小环Q，一轻绳穿过Q，两端分别连接质量为m1、m2的A、B小球。两小球分别在各自的水平面内做圆周运动，它们周期相等。则A、B小球到Q的距离l1、l2的比值为( )
A． B．
C． D．
易错警示 立体空间中平抛运动问题的分析
例 (2020·浙江省教育绿色评价联盟高三(下)6月适应性考试)如图所示，在圆柱形房屋天花板中心O点悬挂一根长为L的细绳，绳的下端挂一个质量为m的小球，重力加速度为g，已知细绳能承受的最大拉力为2mg，小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球恰好以v＝的速度落在墙角边，以下选项正确的是( )
A．悬点到轨迹圆的高度h与小球做圆周运动角速度的平方ω2成正比
B．绳断裂瞬间的速度v0＝
C．圆柱形房顶的高度H＝3.25L
D．半径R＝L
专题作业
限时：50分钟 满分：100分
一、选择题(本题共11小题，每小题8分，共88分，其中第1～8题为单选题，第9～11题为多选题)
1. (2020·河北省六市高三下学期第二次联合调研)如图所示，水平传送带以速度v0匀速运动，从传送带边缘垂直传送带弹入一底面涂有墨汁的棋子，棋子弹入的速度为v棋，且v棋>v0，棋子在传送带表面滑行一段时间后随传送带一起运动。以传送带的运动方向为x轴正方向，棋子初速度方向为y轴正方向，棋子出发点为坐标原点，在下列各图中，最接近棋子在传送带上留下的墨迹形状的是( )
2. (2020·山西省高三一模)曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件。如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度大于v0
3．(2020·江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研)国庆70周年阅兵展出了我国高超音速乘波体导弹——东风－17，东风－17突防能力强，难以拦截，是维护祖国和平发展的有力武器。如图所示，设弹道上处于大气层外的a点和处于大气层内的b点的曲率半径之比为2∶1，导弹在a、b两点的速度大小分别为3倍音速和12倍音速，方向均平行于其正下方的水平地面，导弹在a点所受重力为G，在b点受到空气的升力为F。则( )
A．F＝33G B．F>33G
C．F＝32G D．F<32G
4. (2020·江苏省高三普通高等学校招生全国统一考试(三))如图所示，某同学疫情期间在家锻炼时，对着墙壁练习打乒乓球，球拍每次击球后，球都从同一位置斜向上飞出，其中有两次球在不同高度分别垂直撞在竖直墙壁上，不计空气阻力，则球在这两次从飞出到撞击墙壁前( )
A．在空中飞行的时间可能相等
B．飞出时的初速度竖直分量可能相等
C．撞击墙壁的速度大小可能相等
D．飞出时的初速度大小可能相等
5. (2020·江苏省南京市六校联合体高三(下)5月联考)如图所示，曲线1和2分别为甲、乙两小球的运动轨迹，甲球从P点水平抛出的同时乙球从M点斜向上抛出，经过一段时间后两球在N点相遇，若M点在P点正下方，M点与N点在同一水平线上，不计空气阻力，可将球视为质点，则( )
A．两球相遇时甲的速度大小为乙的两倍
B．甲球在P点的速度与乙球在最高点的速度相等
C．乙球相对于M点上升的最大高度为PM长度的一半
D．两球相遇时甲的速度与水平方向的夹角为乙的两倍
6．(2020·江苏省七市高三(下)6月第三次调研)拨浪鼓最早出现在战国时期，宋代时小型拨浪鼓已成为儿童玩具。四个拨浪鼓上分别系有长度不等的两根细绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上，现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动，两小球在水平面内做周期相同的圆周运动。下列各图中两球的位置关系可能正确的是(图中细绳与竖直方向的夹角α<θ<β)( )
7．(2020·浙江省名校联盟新高考创新卷四)如图a是研究小球在斜面上平抛运动的实验装置，每次将小球从弧型轨道同一位置静止释放，并逐渐改变斜面与水平地面之间的夹角θ，获得不同的射程x，最后作出了如图b所示的x?tanθ图象，g取10 m/s2，则( )
A．由图b可知，小球在斜面顶端水平抛出时的初速度v0＝5 m/s
B．由题中所给条件无法求出小球在斜面顶端平抛时的初速度大小
C．若最后得到的图象如图c所示，可能是由于小球释放位置降低造成的
D．若实验中发现当θ＝60°时，小球恰好落在斜面底端，则斜面的长度L＝ m
8. (2020·东北三省三校高三下学期第三次联合模拟考试)如图所示，金属环M、N用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环始终相对杆不动，下列判断正确的是( )
A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大
B．转动的角速度越大，环N与竖直杆之间的弹力越大
C．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的弹力相等
D．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的摩擦力大小不可能相等
9．(2018·江苏高考)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车( )
A．运动路程为600 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D．转弯半径约为3.4 km
10．(2020·江苏省宿迁市沭阳县高三(下)5月联考)如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．A与B间的摩擦力大于C与转台间的摩擦力
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
11．(2020·江苏省启东中学高三上学期百校联考)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT?v2图象如图乙所示，则( )
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为am
C．若v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a
D．当v2＝c时，小球在最高点时绳的拉力大小为＋a
二、计算题(本题共1小题，共12分，须写出规范的解题步骤)
12．(12分)如图甲所示，一倾角为37°、长L＝3.75 m的斜面AB上端和一个竖直圆弧形光滑轨道BC相连，斜面与圆弧轨道相切于B处，C为圆弧轨道的最高点。t＝0时刻有一质量m＝1 kg的物块沿斜面上滑，其在斜面上运动的v?t图象如图乙所示。已知圆轨道的半径R＝0.5 m。(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)则：
(1)求物块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)求物块到达C点时对轨道的压力FN的大小；
(3)试通过计算分析物块是否可能以一定的初速度从A点滑上轨道，通过C点后恰好能落在A点？如果能，请计算出物块从A点滑出的初速度大小；如果不能，请说明理由。
第3讲 力与曲线运动
构建网络·重温真题
1．(2020·全国卷Ⅰ) 如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长约为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
答案 B
解析 当该同学荡到秋千支架的正下方时，根据牛顿第二定律，有2T－mg＝，解得T＝410 N，即此时每根绳子平均承受的拉力约为400 N，故B正确。
2．(2020·全国卷Ⅱ)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于( )
A．20 B．18
C．9.0 D．3.0
答案 B
解析 摩托车经过a点的动能为E1时，有E1＝mv，根据平抛运动规律有h＝gt，h＝v1t1；摩托车经过a点的动能为E2时，有E2＝mv，根据平抛运动规律有h＝gt，3h＝v2t2。联立以上各式可解得＝18，故B正确。
3. (2020·浙江7月选考)如图所示，底部均有4个轮子的行李箱a竖立、b平卧放置在公交车上，箱子四周有一定空间。当公交车( )
A．缓慢起动时，两只行李箱一定相对车子向后运动
B．急刹车时，行李箱a一定相对车子向前运动
C．缓慢转弯时，两只行李箱一定相对车子向外侧运动
D．急转弯时，行李箱b一定相对车子向内侧运动
答案 B
解析 由题意可知，当公交车缓慢起动时，两只行李箱与公交车之间有可能存在静摩擦力使行李箱与公交车一起运动，故A错误；当公交车急刹车时，由于惯性，行李箱a一定相对公交车向前运动，故B正确；当公交车缓慢转弯时，两只行李箱与公交车之间的静摩擦力可能提供向心力，使行李箱与公交车保持相对静止，故C错误；当公交车急转弯时，如果静摩擦力不足以提供向心力使行李箱b与公交车保持相对静止，则行李箱b相对公交车向外侧运动，故D错误。
4．(2020·江苏高考)(多选)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的大
答案 AD
解析 位移为由初位置到末位置的有向线段，由图可得A、B的位移大小分别为sA＝＝l，sB＝＝l，故A和B的位移大小相等，A正确；小球A、B在竖直方向上做自由落体运动，则A、B的运动时间分别为tA＝ ＝2，tB＝，故A的运动时间是B的倍，B错误；小球A、B在水平方向上做匀速直线运动，则A、B的初速度分别为 vxA＝＝，vxB＝＝，故A的初速度是B的，C错误；小球A、B在竖直方向上的末速度分别为vyA＝＝2，vyB＝，所以A、B的末速度分别为vA＝＝，vB＝＝2＝，故A的末速度比B的大，D正确。
5．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)如图a，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v?t图象如图b所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则( )
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
答案 BD
解析 v?t图象中图线与t轴包围的面积表示位移的大小，第二次滑翔过程中v?t图线与t轴所围面积比第一次的大表示在竖直方向上的位移比第一次的大，A错误；由图a知落在雪道上时的水平位移与竖直位移成正比，再由A项分析知，B正确；从起跳到落到雪道上，第一次滑翔过程中竖直方向的速度变化比第二次的大，时间比第二次的短，由a＝，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，C错误；v?t图象的斜率表示加速度，竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上的加速度比第一次的小，设在竖直方向上所受阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔在竖直方向上受到的阻力比第一次的大，D正确。
6. (2019·江苏高考)(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
答案 BD
解析 座舱的运动周期T＝＝，A错误；根据线速度与角速度的关系，可知座舱的线速度大小为v＝ωR，B正确；座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与座舱的重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小为F合＝mω2R，C错误，D正确。
7．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
答案 C
解析 在竖直方向，球做自由落体运动，由h＝gt2知，选项A、D错误。由v2＝2gh知，选项B错误。在水平方向，球做匀速直线运动，通过相同水平距离，速度大的球用时少，选项C正确。
8．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
答案 A
解析 设甲球落至斜面时的速率为v1，乙球落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x＝vt，y＝gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tanθ＝，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，mv2＋mgy＝mv，联立解得：v1＝ ·v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比。同理可得，v2＝ ·，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，A正确。
9．(2020·江苏高考)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h。
答案 (1)2Rω (2)m
(3)
解析 (1)由题意可知，重物落地后，鼓形轮转动的角速度为ω，则根据线速度与角速度的关系可知，小球线速度的大小v＝2Rω。
(2)小球匀速转动，合力提供向心力，对转到水平位置A的小球分析受力，如图所示，
根据牛顿第二定律得＝m，
解得F＝m。
(3)设重物落地时的速度为v1，重物下落过程中，对重物、鼓形轮和小球组成的系统，根据机械能守恒定律得
Mgh＝Mv＋×4mv2，
重物落地时的速度等于鼓形轮匀速转动时边缘的线速度，
即v1＝Rω，
联立解得h＝。
10．(2020·山东高考)单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin72.8°＝0.96，cos72.8°＝0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
答案 (1)4.8 m (2)12 m
解析 (1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得
v1＝vMsin72.8°①
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得mgcos17.2°＝ma1②
由运动学公式得d＝③
联立①②③式，代入数据得d＝4.8 m。④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得
v2＝vMcos72.8°⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得mgsin17.2°＝ma2⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得t＝⑦
L＝v2t＋a2t2⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m。⑨
11．(2018·全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα＝，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：
(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
(2)小球到达A点时动量的大小；
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。
答案 (1)mg (2) (3)
解析 (1)设水平恒力的大小为F0，小球到达C点时所受合力的大小为F。
由力的合成法则有＝tanα①
F2＝(mg)2＋F②
设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得F＝m③
由①②③式和题给数据得F0＝mg④
v＝⑤
(2)设小球到达A点的速度大小为v1，如图作CD⊥PA，交PA于D点，由几何关系得
DA＝Rsinα⑥
CD＝R(1＋cosα)⑦
由动能定理有－mg·CD－F0·DA＝mv2－mv⑧
由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A点的动量大小为p＝mv1＝⑨
(3)小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g。设小球在竖直方向的初速度为v⊥，从C点落至水平轨道上所用时间为t。由运动学公式有
v⊥t＋gt2＝CD⑩
v⊥＝vsinα?
由⑤⑦⑩?式和题给数据得t＝。
命题特点：高考中单独考查曲线运动的知识点时，题型多为选择题，将曲线运动与功和能、动量、电场和磁场综合考查时，题型多为计算题或选择题。
思想方法：运动的合成与分解、模型法、假设法。
高考考向1 运动的合成与分解
例1 (2018·北京高考)根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤道上方200 m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6 cm处，这一现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球( )
A．到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零
B．到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零
C．落地点在抛出点东侧
D．落地点在抛出点西侧
破题关键点
(1)小球到最高点时，有什么特点？
提示：竖直方向速度为零，加速度不为零；水平方向加速度为零，速度不为零。
(2)小球在水平方向做什么运动？
提示：先向西做加速度减小的加速运动，后向西做加速度增大的减速运动，末速度为零。
[解析] 上升过程水平方向向西加速运动，在最高点竖直方向上速度为零，水平方向的“力”为零，所以水平方向的加速度为零，但水平方向上有向西的水平速度，且有竖直向下的加速度，故A、B错误；下降过程水平方向受到一个向东的“力”而向西减速运动，按照对称性落至地面时水平速度为零，整个过程都在向西运动，所以落点在抛出点的西侧，故C错误，D正确。
[答案] D
1.应用运动的合成与分解解题的一般思路
(1)明确合运动和分运动的运动性质。
(2)明确是在哪两个方向上的合成或分解。
(3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度)。
(4)运用动力学规律或矢量的运算法则进行分析求解。
2．关联速度问题的解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
1. (2020·广西省柳州高级中学高三下学期4月线上模拟)(多选)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地面上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平(转过了90°角)。下列有关此过程的说法中正确的是( )
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωL
D．重物M的最大速度是2ωL
答案 BC
解析 设C点线速度方向与细绳的夹角为θ(锐角)，由题知C点的线速度大小为ωL，该线速度在细绳方向上的分速度大小为ωLcosθ，等于重物M运动的速度大小，θ的变化规律是长杆竖直时最大(90°)，然后逐渐变小，直至细绳和杆垂直，θ变为零度，然后θ又逐渐增大，所以重物做变速运动，B正确，A错误；θ角先减小后增大，所以ωLcosθ先增大后减小(细绳和杆垂直时最大)，即重物的速度先增大后减小，最大速度为ωL，故C正确，D错误。
2．(2020·河北省衡水中学高三年级下第五次调研)(多选)2019年央视春晚加入了非常多的科技元素，在舞台表演中还出现了无人机。现通过传感器将某台无人机上升向前追踪拍摄的飞行过程转化为竖直向上的速度vy及水平方向速度vx与飞行时间t的关系图象，如图所示。则下列说法正确的是( )
A．无人机在t1时刻处于超重状态
B．无人机在0～t2时间内沿直线飞行
C．无人机在t2时刻上升至最高点
D．无人机在t2～t3时间内做匀变速运动
答案 AD
解析 根据图象可知，无人机在t1时刻，在竖直方向上向上做匀加速直线运动，有竖直向上的加速度，处于超重状态，故A正确；由图象可知，无人机在t＝0时刻，vy＝0，合初速度沿水平方向，在0～t2时间内水平与竖直方向均有加速度，则合加速度与合初速度不共线，所以无人机做曲线运动，即无人机沿曲线上升，故B错误；无人机在竖直方向上，先向上做匀加速直线运动，后向上做匀减速直线运动，在t3时刻上升至最高点，故C错误；无人机在t2～t3时间内，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上向上做匀减速直线运动，因此无人机做匀变速运动，故D正确。
高考考向2 平抛运动规律的应用
例2 (2020·福建省泉州市高三第二次质量检测)如图，一质量为m的质点做平抛运动，依次经过A、B、C三点，A到B和B到C的时间相等。A、C两点距水平地面高度分别为h1、h2，质点经过A、C两点时速度与水平方向的夹角分别为30°、60°，重力加速度大小为g，则( )
A．质点经过C点时动能为mg(h1－h2)
B．质点经过B点时速度与水平方向的夹角为45°
C．B、C间的高度差是A、B间的3倍
D．质点的水平速度大小为
破题关键点
(1)平抛运动的时间如何计算？
提示：根据竖直方向做自由落体运动计算，时间由高度决定。
(2)平抛运动的水平速度如何计算？
提示：根据水平方向做匀速直线运动计算，水平速度由时间和水平位移共同决定。
[解析] 质点从A到C过程中，由动能定理可知mg(h1－h2)＝EkC－EkA，即质点经过C点时动能大于mg(h1－h2)，故A错误；设A到B和B到C的时间均为t，平抛运动的初速度为v0，则有v0tan60°＝v0tan30°＋2gt，则质点经过B点时竖直方向的分速度为vBy＝v0tan30°＋gt，解得vBy＝v0，则质点经过B点时速度与水平方向的夹角的正切值为tanθ＝＝≠tan45°，故B错误；平抛运动中，竖直方向为初速度为0的匀加速度直线运动，相同时间间隔内的位移之比y1∶y2∶y3∶…∶yn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，虽然A到B和B到C的时间相等，但A点不是抛出点，则hBC∶hAB≠1∶3，故C错误；由vBy＝v0tan30°＋gt可得t＝，在竖直方向有vBy＝＝v0，解得v0＝，故D正确。
[答案] D
抓住“六点”破解平抛运动问题
(1)建立坐标系，分解运动
将平抛运动分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，而类平抛运动分解的方向不一定在竖直方向和水平方向上。
(2)各自独立，分别分析
(3)平抛运动是匀变速曲线运动，在任意相等的时间内速度的变化量Δv相等，Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下。
(4)两个分运动与合运动具有等时性，且t＝，由下落高度h决定，与初速度v0无关。
(5)任意时刻的速度与水平方向的夹角θ的正切值总等于该时刻的位移与水平方向的夹角φ的正切值的2倍，即tanθ＝2tanφ。或者说，任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(6)建好“两个模型”
①常规的平抛运动及类平抛模型。
②与斜面相结合的平抛运动模型。
a．从斜面上水平抛出又落回到斜面上：位移方向恒定，落点速度方向与斜面间的夹角恒定，此时往往分解位移，构建位移三角形。
b．从斜面外水平抛出垂直落在斜面上：速度方向确定，此时往往分解速度，构建速度三角形。
3．(2018·江苏高考)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
答案 B
解析 弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，且弹出小球的水平初速度相同，所以小球在水平方向运动的时间不等，因小球在水平方向做匀速运动，所以水平位移不相等，因此落点不相同，故B正确。
4. (2020·贵州省贵阳市高三下学期3月份调研考试)2019年5月3日，CBA总决赛第四战实力强大的广东男篮再次击败新疆队，时隔6年再度夺得CBA总冠军。比赛中一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中篮板上A点，如图所示。若该运动员后撤到C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，运动员需( )
A．减小抛射速度v0，同时增大抛射角θ
B．增大抛射速度v0，同时增大抛射角θ
C．减小抛射角θ，同时减小抛射速度v0
D．减小抛射角θ，同时增大抛射速度v0
答案 D
解析 根据题可知，篮球垂直击中A点，其逆过程是平抛运动。当平抛运动的竖直高度一定时，水平速度越大，则水平位移越大，抛出后落地速度越大，与水平面的夹角越小。因此该运动员后撤到C点投篮时，需要增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ，才能仍垂直击中篮板上A点。故D正确，A、B、C错误。
5．(2020·浙江省高三模拟)2022年冬奥会将在北京举行，滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示，某运动员(可视为质点)从雪坡上先后以初速度之比v1∶v2＝3∶4沿水平方向飞出，均落在雪坡上，不计空气阻力，则运动员从飞出到落到雪坡上的整个过程中( )
A．运动员先后落在雪坡上的速度方向不相同
B．运动员先后在空中飞行的时间之比为9∶16
C．运动员先后落到雪坡上的速度之比为3∶4
D．运动员先后下落的高度之比为3∶4
答案 C
解析 设运动员的初速度为v，落在雪坡上的速度方向与水平方向的夹角为α，则tanα＝＝，而运动员落在雪坡上时位移方向与水平方向的夹角为θ，tanθ＝＝，因此可得tanα＝2tanθ，运动员先后落在雪坡上时位移的方向相同，则运动员落到雪坡上的速度方向相同，A错误；根据tanθ＝＝，可得t＝，由于v1∶v2＝3∶4，可知t1∶t2＝3∶4，因运动员落到雪坡上的速度方向相同，则落到雪坡上的速度之比为v1′∶v2′＝3∶4，根据h＝gt2可知运动员先后下落的高度之比为h1∶h2＝t∶t＝9∶16，则C正确，B、D错误。
高考考向3 圆周运动问题
例3 (2020·湖北省武汉市高三(下)五月质量检测)飞球调速器是英国工程师詹姆斯·瓦特于1788年为蒸汽机速度控制而设计，如图a所示，这是人造的第一个自动控制系统。如图b所示是飞球调速器模型，它由两个质量为m的小球通过4根长为l的轻杆与竖直轴的上、下两个套筒铰接。上面套筒固定，下面套筒质量为M，可沿轴上下滑动。不计一切摩擦，重力加速度为g，当整个装置绕竖直轴以恒定的角速度ω匀速转动时(飞球调速器的旋转速度和蒸汽机相同)：
(1)求此时轻杆与竖直轴之间的夹角θ的余弦值；
(2)为实现对蒸汽机的自动控制(即将蒸汽机的转速控制在一定范围内)，由于扰动，当套筒下移时，传动机构应使蒸汽机的转速升高还是降低？请简述其控制原理。
破题关键点
(1)小球和套筒分别做什么运动？
提示：小球做匀速圆周运动，合外力充当向心力，套筒静止，合力为零。
(2)套筒下移后小球和套筒的受力有何变化？
提示：套筒的合力仍然为零，小球的合力减小。
[解析] (1)当整个装置绕竖直轴以恒定的角速度ω匀速转动时，小球做匀速圆周运动，套筒静止。对小球和套筒受力分析如图所示，小球受到重力mg、上下两根轻杆的拉力F1、F2，竖直方向上，由平衡条件有F1cosθ＝F2cosθ＋mg①
水平方向上，由牛顿第二定律有
F1sinθ＋F2sinθ＝mrω2②
且r＝lsinθ③
此时，下面套筒受到重力Mg、左右两根轻杆的拉力F3、F4(根据对称性，F3、F4大小相等)，由套筒处于静止状态，可知
2F3cosθ＝Mg④
而F3＝F2⑤
联立解得cosθ＝。⑥
(2)由于扰动，当套筒下移时，轻杆与竖直轴之间的夹角θ减小，由⑥式可知，飞球调速器的转速降低，即蒸汽机的转速降低。为保持原来的转速，传动机构应使蒸汽机转速升高，由此实现对蒸汽机的自动控制。
[答案] (1)
(2)升高。由于扰动，蒸汽机的转速降低，套筒才会下移。为保持原来的转速，传动机构应使蒸汽机转速升高。
1.圆周运动问题的求解步骤
(1)审清题意，确定研究对象，明确物体做圆周运动的平面。
(2)分析物体的受力情况，明确哪些力充当向心力。
(3)分析物体的运动状态，如线速度、角速度、周期、轨迹半径等。
(4)根据牛顿第二定律列方程求解。
2．圆周运动的一些典型模型的处理方法
6．(2020·广东省汕头市高三第一次模拟考试)(多选)如图甲，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处M装有力传感器，可测出球经过M点时对管道的作用力F(竖直向上为正)，用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与v的关系图象如图乙，c为图线与横轴交点的横坐标，b为图线延长线与纵轴交点的纵坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是( )
A．若小球经过N点时满足v＝c，则经过M点时对管道无压力
B．若小球经过N点时满足v＝c，则经过M点时对内管道壁有压力
C．小球做圆周运动的半径为
D．F＝b表示小球经过N点时速度等于0
答案 AC
解析 由图乙可知，若小球经过N点时满足v＝c，则经过M点时对管道无压力，A正确；由图乙可知，若小球经过N点时满足v＝c>c，则经过M点时对管道的压力为正值，作用力F方向竖直向上，可知此时小球对外管道壁有压力，B错误；若小球经过N点时满足v＝c，则在M点时有mg＝m，由机械能守恒定律可得mv＝mg·2R＋mv，联立解得R＝，C正确；图乙中虚线部分是对实验数据处理得到的，实际上F＝b没有实际意义，D错误。
7. (2020·山西省大同市(县区)高三第一次联合考试)(多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块A到OO′轴的距离为物块B到OO′轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( )
A．B受到的静摩擦力一直增大
B．B受到的静摩擦力先增大后减小再增大
C．A受到的静摩擦力先增大后减小
D．A受到的合外力一直在增大
答案 BD
解析 开始角速度较小时，两物块均靠静摩擦力提供向心力，角速度增大，静摩擦力增大，根据f＝mrω2知，随着角速度的增大，物块A受到的摩擦力先达到最大静摩擦力，之后绳子产生拉力，A受到的静摩擦力不变，对A有T＋fm＝mω2rA，对B有T＋fB＝mω2rB，又rA＝2rB，联立得fB＝fm－mω2rB，所以之后随角速度增大，B受到的静摩擦力减小，减小到0后反向增大，A、C错误，B正确。根据向心力公式F＝mω2r，在发生相对滑动前两物块做圆周运动的半径不变，质量不变，随着转速的增大，向心力增大，而向心力就是物块受到的合外力，故D正确。
8. (2020·福建省漳州市高考模拟(一))如图所示，天花板上有一可自由转动的光滑小环Q，一轻绳穿过Q，两端分别连接质量为m1、m2的A、B小球。两小球分别在各自的水平面内做圆周运动，它们周期相等。则A、B小球到Q的距离l1、l2的比值为( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 由两小球做圆周运动的周期相等，可知它们的角速度相等，设连接A、B两球的轻绳与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，轻绳拉力为T，两小球做圆周运动的角速度为ω，在水平方向，对A小球：Tsinθ1＝m1ω2l1sinθ1，对B小球：Tsinθ2＝m2ω2l2sinθ2，联立得＝，故D正确。
易错警示 立体空间中平抛运动问题的分析
例 (2020·浙江省教育绿色评价联盟高三(下)6月适应性考试)如图所示，在圆柱形房屋天花板中心O点悬挂一根长为L的细绳，绳的下端挂一个质量为m的小球，重力加速度为g，已知细绳能承受的最大拉力为2mg，小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球恰好以v＝的速度落在墙角边，以下选项正确的是( )
A．悬点到轨迹圆的高度h与小球做圆周运动角速度的平方ω2成正比
B．绳断裂瞬间的速度v0＝
C．圆柱形房顶的高度H＝3.25L
D．半径R＝L
分析与解 设小球做圆周运动时，细绳与竖直方向的夹角为θ，分析小球的受力情况可知Tcosθ＝mg，Tsinθ＝mω2htanθ，解得h＝，则悬点到轨迹圆的高度h与小球做圆周运动角速度的平方ω2成反比，A错误；当绳断裂时，分析小球的受力情况有T0cosθ0＝mg，T0sinθ0＝m，其中T0＝2mg，解得θ0＝60°，v0＝ ，之后由动能定理有mgh′＝mv2－mv，解得h′＝L，所以H＝h′＋Lcosθ0＝L＝3.25L，由平抛运动的规律，有h′＝gt2，由几何知识得R＝＝3L，C正确，B、D错误。
答案 C
易错警示 对于立体空间背景下平抛运动的分析，可以借助实物模拟，或者将立体空间中的运动问题转换为运动轨迹所在平面的运动问题。
专题作业
限时：50分钟 满分：100分
一、选择题(本题共11小题，每小题8分，共88分，其中第1～8题为单选题，第9～11题为多选题)
1. (2020·河北省六市高三下学期第二次联合调研)如图所示，水平传送带以速度v0匀速运动，从传送带边缘垂直传送带弹入一底面涂有墨汁的棋子，棋子弹入的速度为v棋，且v棋>v0，棋子在传送带表面滑行一段时间后随传送带一起运动。以传送带的运动方向为x轴正方向，棋子初速度方向为y轴正方向，棋子出发点为坐标原点，在下列各图中，最接近棋子在传送带上留下的墨迹形状的是( )
答案 C
解析 开始时，棋子相对于传送带有沿y轴正方向的速度v棋和沿x轴负方向的速度v0，又所受摩擦力始终与棋子相对传送带的速度方向相反，所以棋子相对传送带沿直线运动，运动轨迹在y轴正半轴与x轴负半轴之间，故C正确，A、B、D错误。
2. (2020·山西省高三一模)曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件。如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度大于v0
答案 A
解析 当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度v0分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，将活塞的速度v分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，则有v0cosθ＝vcosθ，即v＝v0，A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线上时，P点沿杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，C、D错误。
3．(2020·江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研)国庆70周年阅兵展出了我国高超音速乘波体导弹——东风－17，东风－17突防能力强，难以拦截，是维护祖国和平发展的有力武器。如图所示，设弹道上处于大气层外的a点和处于大气层内的b点的曲率半径之比为2∶1，导弹在a、b两点的速度大小分别为3倍音速和12倍音速，方向均平行于其正下方的水平地面，导弹在a点所受重力为G，在b点受到空气的升力为F。则( )
A．F＝33G B．F>33G
C．F＝32G D．F<32G
答案 B
解析 设音速为v，导弹在a处时有G＝m，在b处时有F－G′＝m，又RA∶RB＝2∶1，G
4. (2020·江苏省高三普通高等学校招生全国统一考试(三))如图所示，某同学疫情期间在家锻炼时，对着墙壁练习打乒乓球，球拍每次击球后，球都从同一位置斜向上飞出，其中有两次球在不同高度分别垂直撞在竖直墙壁上，不计空气阻力，则球在这两次从飞出到撞击墙壁前( )
A．在空中飞行的时间可能相等
B．飞出时的初速度竖直分量可能相等
C．撞击墙壁的速度大小可能相等
D．飞出时的初速度大小可能相等
答案 D
解析 乒乓球运动的逆过程为平抛运动，由h＝gt2可知，球两次撞在竖直墙壁上的高度不同，则球两次在空中飞行的时间不相等，A错误；因两次运动的时间不同，故两次球飞出时的初速度竖直分量不同，B错误；两次水平射程相等，但两次运动的时间不同，则球两次撞击墙壁的速度大小不同，C错误；撞击墙壁位置越高，初速度的竖直分量越大，运动时间越长，初速度的水平分量越小，根据速度的合成可知球飞出时的初速度大小可能相等，D正确。
5. (2020·江苏省南京市六校联合体高三(下)5月联考)如图所示，曲线1和2分别为甲、乙两小球的运动轨迹，甲球从P点水平抛出的同时乙球从M点斜向上抛出，经过一段时间后两球在N点相遇，若M点在P点正下方，M点与N点在同一水平线上，不计空气阻力，可将球视为质点，则( )
A．两球相遇时甲的速度大小为乙的两倍
B．甲球在P点的速度与乙球在最高点的速度相等
C．乙球相对于M点上升的最大高度为PM长度的一半
D．两球相遇时甲的速度与水平方向的夹角为乙的两倍
答案 B
解析 由题意可知，甲球做平抛运动，乙球做斜抛运动，设甲球初速度为v0，相遇时甲的速度为v1，乙的速度为v2，从抛出到相遇二者所用时间相等，均为t，且水平位移x甲＝x乙，则甲、乙两球水平方向速度相等，乙球在最高点只在水平方向有速度，竖直方向速度为0，则甲球在P点的速度v0与乙球在最高点的速度相等，由题意得v1＝，v2＝，则＝，可知两球相遇时甲的速度大小不是乙的两倍，故A错误，B正确；乙球相对于M点上升的最大高度为h＝g2，PM的长度为h1＝gt2，则＝，可知乙球相对于M点上升的最大高度为PM长度的，故C错误；设两球相遇时甲的速度与水平方向的夹角为θ1，乙的速度与水平方向的夹角为θ2，则有tanθ1＝，tanθ2＝，则＝2，故相遇时甲的速度与水平方向的夹角不是乙的两倍，D错误。
6．(2020·江苏省七市高三(下)6月第三次调研)拨浪鼓最早出现在战国时期，宋代时小型拨浪鼓已成为儿童玩具。四个拨浪鼓上分别系有长度不等的两根细绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上，现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动，两小球在水平面内做周期相同的圆周运动。下列各图中两球的位置关系可能正确的是(图中细绳与竖直方向的夹角α<θ<β)( )
答案 C
解析 根据题意，两小球做匀速圆周运动，角速度相同，受力分析如图所示，令绳长为L′，反向延长线与拨浪鼓转轴交点为O，小球到O点的距离为L，小球与O点的高度差为h，鼓面半径为r。根据牛顿第二定律得mgtanθ＝mω2Lsinθ，则h＝Lcosθ＝＝L′cosθ＋rcotθ，可知当角速度一定时，h一定，绳子长度L′越长时，角θ越大，则绳子与拨浪鼓连接点A离小球圆周运动平面的距离h′＝L′cosθ＝h－rcotθ，h′越大。C正确，A、B、D错误。
7．(2020·浙江省名校联盟新高考创新卷四)如图a是研究小球在斜面上平抛运动的实验装置，每次将小球从弧型轨道同一位置静止释放，并逐渐改变斜面与水平地面之间的夹角θ，获得不同的射程x，最后作出了如图b所示的x?tanθ图象，g取10 m/s2，则( )
A．由图b可知，小球在斜面顶端水平抛出时的初速度v0＝5 m/s
B．由题中所给条件无法求出小球在斜面顶端平抛时的初速度大小
C．若最后得到的图象如图c所示，可能是由于小球释放位置降低造成的
D．若实验中发现当θ＝60°时，小球恰好落在斜面底端，则斜面的长度L＝ m
答案 D
解析 小球做平抛运动，在竖直方向有y＝gt2，在水平方向有x＝v0t，又＝tanθ，联立解得x＝tanθ，由图b可知＝0.2，解得v0＝1 m/s，故A、B错误；由图c可知，图象的斜率增大，说明增大，因重力加速度g不变，则水平抛出时的初速度增大，其原因可能是小球释放位置升高或小球释放时有初速度，故C错误；若斜面倾角θ＝60°时，小球恰好落在斜面底端，则在竖直方向有Lsin60°＝gt2，在水平方向有Lcos60°＝v0t，联立解得L＝ m，故D正确。
8. (2020·东北三省三校高三下学期第三次联合模拟考试)如图所示，金属环M、N用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环始终相对杆不动，下列判断正确的是( )
A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大
B．转动的角速度越大，环N与竖直杆之间的弹力越大
C．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的弹力相等
D．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的摩擦力大小不可能相等
答案 C
解析 设细线与竖直方向的夹角为θ，对N受力分析，如图所示，由平衡条件有Tcosθ＝GN，N1＝Tsinθ，因为两环始终相对杆不动，所以角θ不变，转动的角速度越大，细线中的拉力T不变，环N与竖直杆之间的弹力N2不变，A、B错误；对M，在竖直方向，由平衡条件有N2＝GM＋Tcosθ＝GM＋GN，所以转动的角速度不同时，环M与水平杆之间的弹力N2相等，C正确；当以较小角速度转动时，M所受摩擦力方向向右，Tsinθ－f＝mω2r，f＝Tsinθ－mω2r，随着角速度的增大，M所受摩擦力方向可能变成向左，可知转动的角速度不同，环M与水平杆之间的摩擦力可能等大反向，D错误。
9．(2018·江苏高考)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车( )
A．运动路程为600 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D．转弯半径约为3.4 km
答案 AD
解析 圆周运动的弧长s＝vt＝60×10 m＝600 m，A正确；火车转弯是圆周运动，圆周运动是变速运动，所以合力不为零，加速度不为零，故B错误；由题意得圆周运动的角速度ω＝＝×3.14 rad/s＝ rad/s，又v＝ωr，所以r＝＝×180 m＝3439 m，故C错误，D正确。
10．(2020·江苏省宿迁市沭阳县高三(下)5月联考)如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．A与B间的摩擦力大于C与转台间的摩擦力
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
答案 BC
解析 A、B之间相对静止，则A、B间的摩擦力为静摩擦力，小于等于3μmg，故A错误；三个小物体保持相对静止，随转台一起做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，则fA＝3mω2r，fC＝1.5mω2r，可知A与B间的摩擦力大于C与转台间的摩擦力，故B正确；根据μmg＝mRω2，可得临界角速度ω＝，C的运动半径最大，则C的临界角速度最小，要使A、B、C都不发生相对滑动，转台的角速度应满足ω≤ ＝，故C正确，D错误。
11．(2020·江苏省启东中学高三上学期百校联考)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT?v2图象如图乙所示，则( )
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为am
C．若v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a
D．当v2＝c时，小球在最高点时绳的拉力大小为＋a
答案 AC
解析 小球在最高点时，根据牛顿第二定律得：FT＋mg＝m，则FT＝m－mg，可知图线的斜率＝，纵轴截距－mg＝－a，则当地的重力加速度g＝，轻绳的长度L＝，故A正确，B错误；若小球运动到最高点时v2＝b，即v2＝gL，则从最高点到最低点，由机械能守恒定律有：mv2＋2mgL＝mv，在最低点时有：FT′－mg＝m，解得FT′＝6mg＝6a，故C正确；当v2＝c时，FT＝m－mg＝－a，故D错误。
二、计算题(本题共1小题，共12分，须写出规范的解题步骤)
12．(12分)如图甲所示，一倾角为37°、长L＝3.75 m的斜面AB上端和一个竖直圆弧形光滑轨道BC相连，斜面与圆弧轨道相切于B处，C为圆弧轨道的最高点。t＝0时刻有一质量m＝1 kg的物块沿斜面上滑，其在斜面上运动的v?t图象如图乙所示。已知圆轨道的半径R＝0.5 m。(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)则：
(1)求物块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)求物块到达C点时对轨道的压力FN的大小；
(3)试通过计算分析物块是否可能以一定的初速度从A点滑上轨道，通过C点后恰好能落在A点？如果能，请计算出物块从A点滑出的初速度大小；如果不能，请说明理由。
答案 (1)0.5 (2)4 N (3)能 m/s
解析 (1)由题图乙可知，物块沿斜面上滑时的加速度大小为a＝10 m/s2
根据牛顿第二定律有：mgsin37°＋μmgcos37°＝ma
解得：μ＝0.5。
(2)设物块到达C点时的速度大小为vC，从A到C，由动能定理得：
－mg(Lsin37°＋R＋Rcos37°)－μmgLcos37°＝mv－mv
在最高点C，根据牛顿第二定律有：mg＋FN′＝m
解得：FN′＝4 N
根据牛顿第三定律得：FN＝FN′＝4 N
即物块到达C点时对轨道的压力大小为4 N。
(3)假设物块以初速度v1从A点滑上轨道时，能通过C点后恰好落到A点，物块从C到A做平抛运动，
在竖直方向有：Lsin37°＋R(1＋cos37°)＝gt2
在水平方向有：Lcos37°－Rsin37°＝vC′t
解得：vC′＝ m/s＞＝ m/s，所以物块能通过C点落到A点
物块从A到C，由动能定律可得：
－mg(Lsin37°＋R＋Rcos37°)－μmgLcos37°＝mvC′2－mv
解得：v1＝ m/s。
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