2021届高考物理大二轮复习讲义：专题1第4讲万有引力与航天word版含答案

第4讲　万有引力与航天
构建网络·重温真题
1．(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
2．(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　)
A. B．
C． D．
3．(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为(　　)
A. B．
C. D．
4．(2020·江苏高考)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有(　　)
A．由v＝可知，甲的速度是乙的 倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍
5．(2017·全国卷Ⅱ)(多选) 如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　)
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
6．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
7．(2019·北京高考)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星(　　)
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
8．(2019·全国卷Ⅰ)(多选) 在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a?x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　)
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
命题特点：结合万有引力定律与牛顿运动定律，对天体的运动进行定性分析或定量计算，结合能量守恒定律，考查天体的运动及变轨问题，多以选择题形式出现。
思想方法：近似法、估算法、模型法。
高考考向1　天体质量和密度的估算
例1　(2020·江西省上饶市高三(下)第三次模拟考试)(多选)2020年1月17日中国首次公布了发射火星探测器的计划，设想因科研需要发射了一颗火星的同步卫星，如图所示，已知该同步卫星的张角为2θ(卫星信号最多覆盖火星赤道上的经度范围)，火星表面赤道上的重力加速度为g，火星半径为R，火星的自转周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确是(　　)
A．火星的质量为
B．火星的密度为
C．若由于某种原因，火星的自转周期突然变大，则该同步卫星的张角将变小
D．若由于某种原因，火星的自转周期突然变大，则该同步卫星的张角将变大
破题关键点
(1)如何计算火星的质量？
(2)如何计算火星同步卫星的轨道半径？
1．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
2．(2020·湖北省武汉市武昌区高三(下)6月调研考试(三))我国首个探月探测器“嫦娥四号”于2019年1月3日，成功降落在月球背面的艾特肯盆地内的冯·卡门撞击坑内，震惊了世界。着陆前，探测器先在很接近月面、距月面高度仅为h处悬停，之后关闭推进器，经过时间t自由下落到月球表面。已知引力常量为G，月球半径为R。则下列说法正确的是(　　)
A．月球表面重力加速度大小为
B．探测器落到月球表面时的速度大小为
C．月球的平均密度为
D．探测器自由下落过程处于超重状态
3. (2020·江苏省连云港市老六所四星高中高三(下)模拟考试)(多选)2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为＝，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知(　　)
A．该黑洞的质量M＝
B．该黑洞的质量M＝
C．该黑洞的半径R＝
D．该黑洞的半径R＝
高考考向2　行星、卫星的运动问题
例2　(2020·安徽省马鞍山市高三(下)三模)(多选)如图所示，天文学家观测到某行星和地球在同一轨道平面内绕太阳做匀速圆周运动，且行星的轨道半径比地球的轨道半径小，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫做地球对该行星的观察视角(简称视角)。已知该行星的最大视角为θ。则地球与行星绕太阳转动的(　　)
A．角速度比值为
B．线速度比值为
C．向心加速度比值为sinθ
D．向心力比值为sin2θ
破题关键点
(1)如何求该行星的轨道半径？
(2)如何求该行星的角速度、线速度等运动参数？
4．(2019·天津高考) 2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的(　　)
A．周期为 B．动能为
C．角速度为 D．向心加速度为
5. (2020·广东省潮州市高三(下)高考第二次模拟)(多选)2019年春节期间，中国科幻电影里程碑作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程可设想成如图所示过程，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ，在圆形轨道Ⅱ上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚。对于该过程，下列说法正确的是(　　)
A．沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期
B．在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程中，速度逐渐增大
C．沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度大于在B点的加速度
D．沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ
6．(2020·湖北省武汉市高三(下)六月理综)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。如图乙所示，行星绕太阳沿椭圆轨道运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，近日点B和远日点C到太阳中心的距离分别为rB和rC，已知太阳质量为M，行星质量为m，万有引力常量为G，行星通过B点处的速率为vB，则椭圆轨道在B点的曲率半径和行星通过C点处的速率分别为(　　)
A．， B．，
C．，vB D．，vB
高考考向3　双星与多星问题
例3　(2020·河南省顶尖名校高三(下)4月联考)(多选)如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星组成，质量分别是M、m(M>m)，他们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球所在处A看过去，双星运动的平面与AO垂直，AO距离恒为L。观测发现质量较大的恒星M做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为Δθ(单位是弧度)。已知引力常量为G，Δθ很小，可认为sinΔθ＝tanΔθ＝Δθ，忽略其他星体对双星系统的作用力。则(　　)
A．恒星m的角速度大小为
B．恒星m的轨道半径大小为
C．恒星m的线速度大小为
D．两颗恒星的质量m和M满足关系式＝
破题关键点
(1)双星系统中两颗星的轨道半径有什么关系？
(2)双星系统中两颗星的角速度、周期有什么关系？
7. (2020·山西省大同市(县区)高三第一次联合考试)2018年5月21日，我国发射人类首颗月球中继卫星“鹊桥”，于6月14日进入使命轨道——地月拉格朗日L2轨道，为在月球背面着陆的嫦娥四号与地球站之间提供通信链路。12月8日，我国成功发射嫦娥四号探测器，并于2019年1月3日成功着陆于月球背面，通过中继卫星“鹊桥”传回了月背影像图，解开了古老月背的神秘面纱。如图所示，“鹊桥”中继星处于L2点上时，会和月、地两个大天体保持相对静止的状态。设地球的质量为月球质量的k倍，地月间距为L，拉格朗日L2点与月球间距为d，地球、月球和“鹊桥”均视为质点，忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力。则“鹊桥”中继星处于L2点上时，下列选项正确的是(　　)
A．“鹊桥”与月球的线速度之比为v鹊∶v月＝∶
B．“鹊桥”与月球的向心加速度之比为a鹊∶a月＝L∶(L＋d)
C．k、L、d之间的关系为＋＝
D．k、L、d之间的关系为＋＝
8. (2020·河南省三市高三(下)第二次质量检测)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，其中有一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于一等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在等边三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动，如图所示。已知A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，AD为BC边的中垂线。下列说法正确的是(　　)
A．圆心O在中垂线AD的中点处
B．A星体的轨道半径最大
C．A星体的线速度最大
D．A星体的加速度最大
易错警示 赤道上物体的有关问题
例　(2020·河北省张家口市高三(下)5月全国统一模拟考试)(多选)如图所示，赤道上空的卫星A距地面高度为R，质量为m的物体B静止在地球表面的赤道上，卫星A绕行方向与地球自转方向相同。已知地球半径也为R，地球自转角速度为ω0，地球的质量为M，引力常量为G。若某时刻卫星A恰在物体B的正上方，下列说法正确的是(　　)
A．物体B受到地球的引力为mRω
B．卫星A的线速度为
C．卫星A再次到达物体B上方的时间为
D．卫星A与物体B的向心加速度之比为
专题作业
　　限时：50分钟　　　满分：96分
选择题(本题共12小题，每小题8分，共96分，其中第1～9题为单选题，第10～12题为多选题)
1. 理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则下列F随x变化的关系图象中正确的是(　　)
2. (2020·河南省六市高三(下)第二次联合调研检测)2020年1月7日23时20分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭将通信技术试验卫星五号成功发射升空，送入预定轨道。如图所示为该卫星绕地球运行示意图，测得它在时间t内沿圆周轨道从M点运动到N点，这段圆弧所对的圆心角为θ。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则该卫星在轨运行的线速度大小为(　　)
A． B．
C. D．
3．(2020·江苏省淮安市六校联盟高三下学期第三次学情调查)太阳系的第二大行星土星的卫星很多，其中土卫五和土卫六绕土星的运动可近似看做圆周运动，下表是关于土卫五和土卫六两颗卫星的资料。两卫星相比(　　)
卫星 发现者 发现年份 距土星中心的距离/km 质量/kg 直径/km
土卫五 卡西尼 1672年 527000 2.31×1021 765
土卫六 惠更斯 1655年 1222000 1.35×1023 2575
A．土卫五绕土星运动的周期较小
B．土卫五绕土星运动的线速度较小
C．土卫六绕土星运动的角速度较大
D．土卫六绕土星运动的向心加速度较大
4．(2020·浙江7月选考) 火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为 ∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
5．(2020·贵州省黔东南州高三5月模拟)2019年11月23日8时55分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第50、51颗北斗导航卫星。两颗卫星均属于中圆轨道(MEO)卫星，是我国的“北斗三号”系统的组网卫星。这两颗卫星的中圆轨道(MEO)是一种周期为12小时、轨道面与赤道平面夹角为60°的圆轨道，是经过GPS和GLONASS运行证明性能优良的全球导航卫星轨道。关于这两颗卫星，下列说法正确的是(　　)
A．这两颗卫星的动能一定相同
B．这两颗卫星绕地心运动的角速度是长城随地球自转角速度的4倍
C．这两颗卫星的轨道半径是同步卫星轨道半径的
D．其中一颗卫星每天会经过赤道正上方2次
6. (2020·江西南昌市高三三模)假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，自身球体半径分别为RA和RB。两颗行星各自周围的卫星的轨道半径的三次方(r3)与运行公转周期的平方(T2)的关系如图所示，T0为卫星环绕各自行星表面运行的周期。则(　　)
A．行星A的质量小于行星B的质量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度
D．当两行星周围的卫星的运动轨道半径相同时，行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度
7. (2020·福建泉州市普通高中高三(下)第一次质量检测)2019年12月27日，我国长征五号遥三运载火箭“胖五”在文昌航天发射场点火升空，把重为8吨的实践二十号卫星成功送入预定的椭圆轨道。如图，AB为椭圆轨道的长轴，CD为椭圆轨道的短轴，A点到地心的距离为r，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则(　　)
A．卫星在A点的速度大于
B．卫星在C点的加速度小于在B点的加速度
C．卫星从A点到C点的时间与从C点到B点的时间相等
D．卫星与火箭分离时的速度大于11.2 km/s
8. (2020·重庆高三三模)2020年7月，我国计划发射一颗火星探测卫星。假设火星可视为半径为R的均匀球体，探测卫星沿椭圆轨道绕火星运动，如图所示。椭圆轨道的“近火点”P离火星表面的距离为2R，“远火点”Q离火星表面的距离为6R。若已知探测卫星在轨道运行的周期为T，万有引力常量为G，则由以上信息可得(　　)
A．火星的质量为
B．火星的第一宇宙速度为
C．火星的密度为
D．火星表面的重力加速度为
9. (2020·山东青岛高三二模)2019年诺贝尔物理学奖授予了三位天文学家，以表彰他们在宇宙演化方面取得的成就。宇宙中星体之间不断发生着演变，某双星绕两者连线上的某点做匀速圆周运动，如图描述了此双星系统中体积较小(质量小)星体“吸食”另一颗体积较大(质量大)星体表面物质的景象，这个过程物质在转移。在最初演变的过程中可以认为两球心之间的距离保持不变，对于这个过程下列说法正确的是(　　)
A．它们之间的引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不变
C．体积较大星体圆周运动轨道半径不变
D．体积较小星体圆周运动的线速度变大
10．(2020·江苏省高三普通高等学校招生全国统一考试(三))北斗卫星导航系统第41颗和第49颗卫星已完成在轨测试、入网评估等工作，正式入网工作。第41颗卫星为地球同步轨道卫星，第49颗卫星为倾斜地球同步轨道卫星，它们的轨道半径约为4.2×107 m，运行周期都等于地球的自转周期24 h。倾斜地球同步轨道平面与地球赤道平面成一定夹角，如图所示。已知万有引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，下列说法中正确的是(　　)
A．同步轨道卫星可能经过北京上空
B．根据题目数据可估算出地球的质量
C．倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大于第一宇宙速度
D．倾斜地球同步轨道卫星一天2次经过赤道上同一位置
11. (2020·江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试)据报道，我国准备在2020年发射火星探测器，并于2021年登陆火星，如图为载着登陆舱的探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。已知火星的半径为R，OQ＝4R，探测器在轨道Ⅱ上经过O点的速度为v，下列说法正确的有(　　)
A．在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积相等
B．探测器在轨道Ⅱ运动时，经过O点的加速度等于
C．探测器在轨道Ⅰ运动时，经过O点的速度大于v
D．在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与在轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是3∶2
12. (2020·吉林省吉林市高三二模)如图，地球与月球可以看做双星系统，它们均绕连线上的C点转动。在该系统的转动平面内有两个拉格朗日点L2、L4(位于这两个点的卫星能在地球引力和月球引力的共同作用下绕C点做匀速圆周运动，并保持与地球、月球相对位置不变)，L2点在地月连线的延长线上，L4点与地球球心、月球球心的连线构成一个等边三角形。我国已发射的“鹊桥”中继卫星位于L2点附近，它为“嫦娥四号”成功登陆月球背面提供了稳定的通信支持。假设L4点有一颗监测卫星，“鹊桥”中继卫星视为在L2点。已知地球的质量为月球的81倍，则(　　)
A．地球和月球对监测卫星的引力之比为81∶1
B．地球球心和月球球心到C点的距离之比为1∶9
C．监测卫星绕C点运行的加速度比月球的大
D．监测卫星绕C点运行的周期比“鹊桥”中继卫星的大
第4讲　万有引力与航天
构建网络·重温真题
1．(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
答案　B
解析　设该物体质量为m，则在火星表面有F火＝G，在地球表面有F地＝G，由题意知＝，＝。联立以上各式可得＝·2＝×＝0.4，故B正确。
2．(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　对在该星体表面附近绕其做圆周运动的卫星有G＝mR，对该星体有V＝πR3，ρ＝，联立可得，在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期T＝，A正确。
3．(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　设地球质量为M，在地球表面处，对质量为m的物体有G＝mg。设“嫦娥四号”的质量为m1，根据万有引力提供向心力得G＝m1，解得v＝ ，故D正确。
4．(2020·江苏高考)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有(　　)
A．由v＝可知，甲的速度是乙的 倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍
答案　CD
解析　卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则F＝G＝m＝mω2r＝mr＝ma。因为在不同半径的轨道处g值不同，故不能由v＝得出甲、乙的速度关系，卫星的线速度v＝ ，可得＝ ＝，故A错误；因为在不同半径的轨道上卫星的角速度不同，故不能由a＝ω2r得出两卫星的加速度关系，卫星的加速度a＝，可得＝＝，故B错误；卫星所受的向心力F＝G，两颗人造卫星质量相等，可得＝＝，故C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，由开普勒第三定律＝k，可得＝ ＝2，故D正确。
5．(2017·全国卷Ⅱ)(多选) 如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　)
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
答案　CD
解析　由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等。从P到M扫过的面积小于椭圆面积的，故所用时间小于，A错误；从Q到N阶段，只有万有引力做功，机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。
6．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案　BC
解析　依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确；质量之积m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
7．(2019·北京高考)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星(　　)
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案　D
解析　同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确。
8．(2019·全国卷Ⅰ)(多选) 在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a?x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　)
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
答案　AC
解析　如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。当P、Q的加速度a＝0时，对P有：mPgM＝kx0，则mP＝，对Q有：mQgN＝k·2x0，则mQ＝，即mQ＝6mP，B错误；根据mg＝G得，星球质量M＝，则星球的密度ρ＝＝，所以M、N的密度之比＝·＝×＝1，A正确；当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，系统的机械能守恒，对P有：mPgMx0＝Ep弹＋EkP，即EkP＝3mPa0x0－Ep弹，对Q有：mQgN·2x0＝4Ep弹＋EkQ，即EkQ＝2mQa0x0－4Ep弹＝12mPa0x0－4Ep弹＝4×(3mPa0x0－Ep弹)＝4EkP，C正确；P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置与初位置关于加速度a＝0时的位置对称，故P下落过程中弹簧的最大压缩量为2x0，Q为4x0，D错误。
命题特点：结合万有引力定律与牛顿运动定律，对天体的运动进行定性分析或定量计算，结合能量守恒定律，考查天体的运动及变轨问题，多以选择题形式出现。
思想方法：近似法、估算法、模型法。
高考考向1　天体质量和密度的估算
例1　(2020·江西省上饶市高三(下)第三次模拟考试)(多选)2020年1月17日中国首次公布了发射火星探测器的计划，设想因科研需要发射了一颗火星的同步卫星，如图所示，已知该同步卫星的张角为2θ(卫星信号最多覆盖火星赤道上的经度范围)，火星表面赤道上的重力加速度为g，火星半径为R，火星的自转周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确是(　　)
A．火星的质量为
B．火星的密度为
C．若由于某种原因，火星的自转周期突然变大，则该同步卫星的张角将变小
D．若由于某种原因，火星的自转周期突然变大，则该同步卫星的张角将变大
破题关键点
(1)如何计算火星的质量？
提示：卫星绕火星做匀速圆周运动，向心力是由它们之间的万有引力提供的，由此可以依据万有引力定律和牛顿第二定律列出方程，从而求解出火星的质量。
(2)如何计算火星同步卫星的轨道半径？
提示：利用该同步卫星的张角、火星半径根据几何知识求解。
[解析]　对火星表面赤道上的物体有G＝mg＋m2R，可解得火星的质量为M＝＋，故A错误；同步卫星的轨道半径为r＝，对该卫星有G＝m′2r，火星密度为ρ＝＝，联立解得ρ＝，故B正确；若火星的自转周期突然变大，则该同步卫星的周期变大，由B选项中的分析可知其轨道半径变大，因此该同步卫星的张角将变大，故C错误，D正确。
[答案]　BD
估算中心天体质量和密度的两条思路和三个误区
(1)两条思路
①利用天体表面的重力加速度和天体半径估算
由G＝mg天体得M＝，再由ρ＝、V＝πR3得ρ＝。
②已知环绕天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由G＝mr得M＝，再结合ρ＝、V＝πR3得ρ＝，在中心天体表面做匀速圆周运动时，r＝R，则ρ＝。
(2)三个常见误区
①天体质量和密度的估算是指中心天体的质量和密度的估算，而非环绕天体的。
②注意区分轨道半径r和中心天体的半径R。
③在考虑自转问题时，只有两极才有G＝mg天体。
1．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案　C
解析　设脉冲星质量为M，密度为ρ，星体表面一物块质量为m，根据天体运动规律知：≥m2R，ρ＝＝，代入可得：ρ≥≈5×1015 kg/m3，故C正确。
2．(2020·湖北省武汉市武昌区高三(下)6月调研考试(三))我国首个探月探测器“嫦娥四号”于2019年1月3日，成功降落在月球背面的艾特肯盆地内的冯·卡门撞击坑内，震惊了世界。着陆前，探测器先在很接近月面、距月面高度仅为h处悬停，之后关闭推进器，经过时间t自由下落到月球表面。已知引力常量为G，月球半径为R。则下列说法正确的是(　　)
A．月球表面重力加速度大小为
B．探测器落到月球表面时的速度大小为
C．月球的平均密度为
D．探测器自由下落过程处于超重状态
答案　C
解析　根据h＝g月t2，解得g月＝，故A错误；根据h＝t，解得v＝，故B错误；根据在月球表面处重力等于万有引力，即mg月＝G，解得月球的质量M＝，则月球的平均密度ρ＝＝，故C正确；探测器自由下落过程中，加速度向下，处于失重状态，故D错误。
3. (2020·江苏省连云港市老六所四星高中高三(下)模拟考试)(多选)2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为＝，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知(　　)
A．该黑洞的质量M＝
B．该黑洞的质量M＝
C．该黑洞的半径R＝
D．该黑洞的半径R＝
答案　BC
解析　设环绕黑洞的星体的质量为m，根据万有引力提供星体做圆周运动的向心力有：G＝m，解得该黑洞的质量为M＝，故B正确，A错误；根据黑洞质量M和半径R的关系＝，可得该黑洞的半径为R＝＝＝，故C正确，D错误。
高考考向2　行星、卫星的运动问题
例2　(2020·安徽省马鞍山市高三(下)三模)(多选)如图所示，天文学家观测到某行星和地球在同一轨道平面内绕太阳做匀速圆周运动，且行星的轨道半径比地球的轨道半径小，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫做地球对该行星的观察视角(简称视角)。已知该行星的最大视角为θ。则地球与行星绕太阳转动的(　　)
A．角速度比值为
B．线速度比值为
C．向心加速度比值为sinθ
D．向心力比值为sin2θ
破题关键点
(1)如何求该行星的轨道半径？
提示：利用该行星的最大视角和日地距离根据几何知识求解。
(2)如何求该行星的角速度、线速度等运动参数？
提示：根据万有引力定律、牛顿运动第二定律及匀速圆周运动的知识求解。
[解析]　根据题意，该行星和地球都绕太阳(质量为M)做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则G＝ma＝m＝mω2r，解得a＝，v＝，ω＝。由题图可知，当该行星处于最大视角θ处时，地球和行星的连线与行星轨道相切，则由几何关系知，行星与地球的轨道半径比值为＝sinθ，故地球与行星绕太阳转动的角速度比值为＝ ＝，线速度比值为＝ ＝，向心加速度比值为＝＝sin2θ，故A、B正确，C错误；地球与行星绕太阳转动的向心力比值为＝＝sin2θ，因为地球质量m地与行星质量m行之间的关系未知，所以它们的向心力比值不能确定，故D错误。
[答案]　AB
1.环绕天体绕中心天体做圆周运动的规律
(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝m＝mrω2＝mr·2＝ma；
②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即G＝mg天体。
(3)三点提醒
①a、v、ω、T、r只要一个量发生变化，其他量也发生变化；
②a、v、ω、T与环绕天体的质量无关；
③对于人造地球卫星，当r＝R地时，v＝7.9 km/s，即第一宇宙速度。
(4)四点注意
①同步卫星绕地球做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。
②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。
③注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系。
④注意轨道半径与距天体表面高度的区别与联系。
2．求航天器变轨问题的四点注意
(1)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(或半长轴)越大，机械能越大。
(3)航天器在同一中心天体的不同圆轨道或椭圆轨道上的运行周期均满足开普勒第三定律＝k。
(4)航天器在同一椭圆轨道上的速度与到中心天体的距离成反比，即v1r1＝v2r2。
4．(2019·天津高考) 2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的(　　)
A．周期为 B．动能为
C．角速度为 D．向心加速度为
答案　A
解析　探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G＝m2r，解得周期T＝ ，A正确；由G＝m知，动能Ek＝mv2＝，B错误；由G＝mrω2得，角速度ω＝ ，C错误；由G＝ma得，向心加速度a＝，D错误。
5. (2020·广东省潮州市高三(下)高考第二次模拟)(多选)2019年春节期间，中国科幻电影里程碑作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程可设想成如图所示过程，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ，在圆形轨道Ⅱ上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚。对于该过程，下列说法正确的是(　　)
A．沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期
B．在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程中，速度逐渐增大
C．沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度大于在B点的加速度
D．沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ
答案　AC
解析　根据开普勒第三定律＝k，因椭圆轨道Ⅰ的半长轴小于圆形轨道Ⅱ的半径，则沿轨道Ⅰ运行的周期小
于沿轨道Ⅱ运行的周期，A正确；在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程中，万有引力做负功，则速度逐渐减小，B错误；沿轨道Ⅰ运行时，根据F＝G，因太阳与地球距离rA6．(2020·湖北省武汉市高三(下)六月理综)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。如图乙所示，行星绕太阳沿椭圆轨道运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，近日点B和远日点C到太阳中心的距离分别为rB和rC，已知太阳质量为M，行星质量为m，万有引力常量为G，行星通过B点处的速率为vB，则椭圆轨道在B点的曲率半径和行星通过C点处的速率分别为(　　)
A．， B．，
C．，vB D．，vB
答案　C
解析　已知行星通过B点处的速率为vB，在太阳的万有引力作用下，行星在B点的向心加速度为aB＝，由题干中曲率半径的定义可知aB＝＝，则椭圆轨道在B点的曲率半径为ρB＝；根据开普勒第二定律可知，在相同时间Δt内，有·rB＝·rC，则行星通过C点处的速率为vC＝vB。所以C正确，A、B、D错误。
高考考向3　双星与多星问题
例3　(2020·河南省顶尖名校高三(下)4月联考)(多选)如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星组成，质量分别是M、m(M>m)，他们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球所在处A看过去，双星运动的平面与AO垂直，AO距离恒为L。观测发现质量较大的恒星M做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为Δθ(单位是弧度)。已知引力常量为G，Δθ很小，可认为sinΔθ＝tanΔθ＝Δθ，忽略其他星体对双星系统的作用力。则(　　)
A．恒星m的角速度大小为
B．恒星m的轨道半径大小为
C．恒星m的线速度大小为
D．两颗恒星的质量m和M满足关系式＝
破题关键点
(1)双星系统中两颗星的轨道半径有什么关系？
提示：轨道半径之和等于两星之间的距离。
(2)双星系统中两颗星的角速度、周期有什么关系？
提示：相等。
[解析]　恒星m与M具有相同的角速度，为ω＝，A错误；恒星M的轨道半径为R＝Ltan＝LΔθ，对双星系统有：mω2r＝Mω2R，解得恒星m的轨道半径大小为r＝，B正确；恒星m的线速度大小为v1＝ωr＝·＝，C正确；对双星系统有：G＝mω2r＝Mω2R，解得GM＝ω2r(r＋R)2，Gm＝ω2R(r＋R)2，相加得：G(M＋m)＝ω2(R＋r)3，代入R＝LΔθ、r＝可得：＝，D正确。
[答案]　BCD
1.双星系统
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
(4)两颗星到环绕中心的距离r1、r2与两星体质量成反比，即＝；两星体的质量与两星体运动的线速度成反比，即＝。
(5)双星的运动周期T＝2π 。
(6)双星的总质量m1＋m2＝。
2．多星系统
(1)一般都在同一平面内绕同一圆心做匀速圆周运动，它们的周期都相等。
(2)星体所需的向心力由其他星体对它的万有引力的合力提供。
3．拉格朗日点问题
处在地月拉格朗日点处的卫星，其周期与月球公转周期相同，向心力为地球和月球对卫星的万有引力的合力；处在日地拉格朗日点处的卫星，其周期与地球公转周期相同，向心力为太阳和地球对卫星的万有引力的合力。
7. (2020·山西省大同市(县区)高三第一次联合考试)2018年5月21日，我国发射人类首颗月球中继卫星“鹊桥”，于6月14日进入使命轨道——地月拉格朗日L2轨道，为在月球背面着陆的嫦娥四号与地球站之间提供通信链路。12月8日，我国成功发射嫦娥四号探测器，并于2019年1月3日成功着陆于月球背面，通过中继卫星“鹊桥”传回了月背影像图，解开了古老月背的神秘面纱。如图所示，“鹊桥”中继星处于L2点上时，会和月、地两个大天体保持相对静止的状态。设地球的质量为月球质量的k倍，地月间距为L，拉格朗日L2点与月球间距为d，地球、月球和“鹊桥”均视为质点，忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力。则“鹊桥”中继星处于L2点上时，下列选项正确的是(　　)
A．“鹊桥”与月球的线速度之比为v鹊∶v月＝∶
B．“鹊桥”与月球的向心加速度之比为a鹊∶a月＝L∶(L＋d)
C．k、L、d之间的关系为＋＝
D．k、L、d之间的关系为＋＝
答案　C
解析　“鹊桥”中继星处于L2点上时，会和月、地两个大天体保持相对静止状态，即“鹊桥”中继星与月球绕地球运动的角速度相同，则根据v＝ωr可知，“鹊桥”与月球的线速度之比为v鹊∶v月＝(L＋d)∶L，故A错误；根据a＝ω2r可知，“鹊桥”与月球的向心加速度之比为a鹊∶a月＝(L＋d)∶L，故B错误；“鹊桥”做圆周运动的向心力等于地球和月球对它的万有引力之和，即G＋G＝ma鹊，对月球有：G＝M月a月，又a鹊∶a月＝(L＋d)∶L，联立解得＋＝，C正确，D错误。
8. (2020·河南省三市高三(下)第二次质量检测)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，其中有一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于一等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在等边三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动，如图所示。已知A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，AD为BC边的中垂线。下列说法正确的是(　　)
A．圆心O在中垂线AD的中点处
B．A星体的轨道半径最大
C．A星体的线速度最大
D．A星体的加速度最大
答案　A
解析　设等边三角形的边长为L，对B星体受力分析，如图所示，FAB＝G，FCB＝G，可知FAB＝2FBC，以两力为邻边，作平行四边形，可得合力为FB；以AB边和BD边为邻边，作平行四边形ABDE，则两平行四边形相似，则FB的方向指向AD的中点；同理，C星体所受合力FC也必然指向AD的中点；而根据受力的对称性，A星体所受合力也必然指向AD的中点，故O点在中垂线AD的中点处，A正确。根据几何关系可知，A星体的轨道半径最小，B错误。A、B、C三星体角速度相等，根据v＝ωr可知，A星体的线速度最小，根据a＝ω2r可知，A星体的加速度最小，C、D错误。
易错警示 赤道上物体的有关问题
例　(2020·河北省张家口市高三(下)5月全国统一模拟考试)(多选)如图所示，赤道上空的卫星A距地面高度为R，质量为m的物体B静止在地球表面的赤道上，卫星A绕行方向与地球自转方向相同。已知地球半径也为R，地球自转角速度为ω0，地球的质量为M，引力常量为G。若某时刻卫星A恰在物体B的正上方，下列说法正确的是(　　)
A．物体B受到地球的引力为mRω
B．卫星A的线速度为
C．卫星A再次到达物体B上方的时间为
D．卫星A与物体B的向心加速度之比为
分析与解　物体B受到地球的引力为F＝，远大于物体B做圆周运动的向心力mRω，故A错误；对卫星A，根据万有引力提供向心力可得G＝mA，解得卫星A的线速度为vA＝，故B正确；卫星A的角速度为ωA＝＝，设卫星A再次到达物体B上方的时间为t，则(ωA－ω0)t＝2π，联立解得t＝，故C错误；对卫星A，根据万有引力提供向心力可得＝mAaA，解得卫星A的向心加速度为aA＝，物体B的向心加速度为aB＝ωR，因此卫星A与物体B的向心加速度之比为＝，故D正确。
答案　BD
易错警示　地面上的物体，其所受万有引力不等于随地球自转的向心力。
专题作业
　　限时：50分钟　　　满分：96分
选择题(本题共12小题，每小题8分，共96分，其中第1～9题为单选题，第10～12题为多选题)
1. 理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则下列F随x变化的关系图象中正确的是(　　)
答案　A
解析　设地球的密度为ρ，根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，可知当x2. (2020·河南省六市高三(下)第二次联合调研检测)2020年1月7日23时20分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭将通信技术试验卫星五号成功发射升空，送入预定轨道。如图所示为该卫星绕地球运行示意图，测得它在时间t内沿圆周轨道从M点运动到N点，这段圆弧所对的圆心角为θ。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则该卫星在轨运行的线速度大小为(　　)
A． B．
C. D．
答案　D
解析　对地球表面上的物体有＝mg；设该卫星的角速度为ω，线速度为v，轨道半径为r，由题意知ω＝，由万有引力提供向心力知＝＝m2r，联立解得v＝，故选D。
3．(2020·江苏省淮安市六校联盟高三下学期第三次学情调查)太阳系的第二大行星土星的卫星很多，其中土卫五和土卫六绕土星的运动可近似看做圆周运动，下表是关于土卫五和土卫六两颗卫星的资料。两卫星相比(　　)
卫星 发现者 发现年份 距土星中心的距离/km 质量/kg 直径/km
土卫五 卡西尼 1672年 527000 2.31×1021 765
土卫六 惠更斯 1655年 1222000 1.35×1023 2575
A．土卫五绕土星运动的周期较小
B．土卫五绕土星运动的线速度较小
C．土卫六绕土星运动的角速度较大
D．土卫六绕土星运动的向心加速度较大
答案　A
解析　根据万有引力提供向心力，有G＝mr，解得T＝2π，土卫五轨道半径较小，所以土卫五绕土星运动的周期较小，故A正确；根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得v＝，土卫五轨道半径较小，所以土卫五绕土星运动的线速度较大，故B错误；根据万有引力提供向心力，有G＝mω2r，解得ω＝ ，土卫六轨道半径较大，所以土卫六绕土星运动的角速度较小，故C错误；根据万有引力提供向心力，有G＝ma，解得a＝，土卫六轨道半径较大，所以土卫六绕土星运动的向心加速度较小，故D错误。
4．(2020·浙江7月选考) 火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为 ∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
答案　C
解析　由周长公式可得C地＝2πr地，C火＝2πr火，则火星公转轨道与地球公转轨道周长之比为＝＝，A错误；行星绕太阳运动时，由万有引力提供向心力，可得G＝ma＝m＝mω2r，则有a＝，v＝，ω＝ ，故＝＝，＝＝，＝＝，B、D错误，C正确。
5．(2020·贵州省黔东南州高三5月模拟)2019年11月23日8时55分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第50、51颗北斗导航卫星。两颗卫星均属于中圆轨道(MEO)卫星，是我国的“北斗三号”系统的组网卫星。这两颗卫星的中圆轨道(MEO)是一种周期为12小时、轨道面与赤道平面夹角为60°的圆轨道，是经过GPS和GLONASS运行证明性能优良的全球导航卫星轨道。关于这两颗卫星，下列说法正确的是(　　)
A．这两颗卫星的动能一定相同
B．这两颗卫星绕地心运动的角速度是长城随地球自转角速度的4倍
C．这两颗卫星的轨道半径是同步卫星轨道半径的
D．其中一颗卫星每天会经过赤道正上方2次
答案　C
解析　两颗卫星的质量未知，无法比较动能，故A错误；中圆轨道卫星周期为12小时，长城随地球自转的周期为24小时，根据角速度与周期的关系ω＝，可得＝2，故B错误；根据开普勒第三定律可知＝，则＝ ＝，故C正确；地球中圆轨道卫星周期为12小时，所以中圆轨道卫星每天绕地球转两圈，即卫星每天会经过赤道正上方4次，故D错误。
6. (2020·江西南昌市高三三模)假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，自身球体半径分别为RA和RB。两颗行星各自周围的卫星的轨道半径的三次方(r3)与运行公转周期的平方(T2)的关系如图所示，T0为卫星环绕各自行星表面运行的周期。则(　　)
A．行星A的质量小于行星B的质量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度
D．当两行星周围的卫星的运动轨道半径相同时，行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度
答案　D
解析　根据万有引力提供向心力，有＝mr，解得T＝，对于环绕行星A表面运行的卫星，有T0＝ ，对于环绕行星B表面运行的卫星，有T0＝ ，联立以上两式得＝，由题图知，行星半径RA>RB，所以MA>MB，故A错误；行星A的质量为MA＝πRρA，行星B的质量为MB＝πRρB，与＝联立解得ρA＝ρB，故B错误；行星的近地卫星的线速度即第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，有＝m，解得v＝ ＝ ，因为RA>RB，所以vA>vB，故C错误；根据＝ma知a＝，由于MA>MB，可知当两行星周围的卫星的运动轨道半径相同时，行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度，故D正确。
7. (2020·福建泉州市普通高中高三(下)第一次质量检测)2019年12月27日，我国长征五号遥三运载火箭“胖五”在文昌航天发射场点火升空，把重为8吨的实践二十号卫星成功送入预定的椭圆轨道。如图，AB为椭圆轨道的长轴，CD为椭圆轨道的短轴，A点到地心的距离为r，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则(　　)
A．卫星在A点的速度大于
B．卫星在C点的加速度小于在B点的加速度
C．卫星从A点到C点的时间与从C点到B点的时间相等
D．卫星与火箭分离时的速度大于11.2 km/s
答案　A
解析　在地球表面附近万有引力近似等于物体所受重力，即G＝mg，若卫星在过A点的圆轨道上运行，则由万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝ ，A点为椭圆轨道上的近地点，故卫星在A点的速度大于 ，A正确；根据G＝ma，得a＝，C点到地心的距离与B点相比较小，可知卫星在C点的加速度大于在B点的加速度，故B错误；卫星从A点到C点的距离与从C点到B点的距离相等，从A点到B点卫星一直克服地球引力做功，速度越来越小，故卫星从A点到C点的时间小于从C点到B点的时间，C错误；卫星与火箭分离时的速度不会大于11.2 km/s，否则会脱离地球引力的束缚离开地球，故D错误。
8. (2020·重庆高三三模)2020年7月，我国计划发射一颗火星探测卫星。假设火星可视为半径为R的均匀球体，探测卫星沿椭圆轨道绕火星运动，如图所示。椭圆轨道的“近火点”P离火星表面的距离为2R，“远火点”Q离火星表面的距离为6R。若已知探测卫星在轨道运行的周期为T，万有引力常量为G，则由以上信息可得(　　)
A．火星的质量为
B．火星的第一宇宙速度为
C．火星的密度为
D．火星表面的重力加速度为
答案　C
解析　根据题意，易知椭圆轨道的半长轴为5R，设火星的“近火”卫星的周期为T0，由开普勒第三定律可知＝，对于“近火”卫星，有G＝m＝mR2＝mg火，可解得火星的质量M＝＝，火星的第一宇宙速度v＝＝，火星的密度ρ＝＝，火星表面的重力加速度g火＝＝，故A、B、D错误，C正确。
9. (2020·山东青岛高三二模)2019年诺贝尔物理学奖授予了三位天文学家，以表彰他们在宇宙演化方面取得的成就。宇宙中星体之间不断发生着演变，某双星绕两者连线上的某点做匀速圆周运动，如图描述了此双星系统中体积较小(质量小)星体“吸食”另一颗体积较大(质量大)星体表面物质的景象，这个过程物质在转移。在最初演变的过程中可以认为两球心之间的距离保持不变，对于这个过程下列说法正确的是(　　)
A．它们之间的引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不变
C．体积较大星体圆周运动轨道半径不变
D．体积较小星体圆周运动的线速度变大
答案　B
解析　设体积较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，体积较大的星体质量为m2，轨道半径为r2，双星间的距离为L，则它们之间的万有引力为F＝G，两个星体的总质量m1＋m2一定，当它们质量相等时，两个星体的质量的乘积最大，故它们之间的引力变大，A错误；由万有引力提供两星体做圆周运动的向心力，则对体积较小的星体有G＝m1ω2r1，对体积较大的星体有G＝m2ω2r2，联立可得ω＝ ，两星体的总质量m1＋m2不变，两者距离L不变，可知它们做圆周运动的角速度不变，故B正确；由G＝m2ω2r2可得＝ω2r2，ω、L均不变，m1增大，则r2增大，即体积较大星体圆周运动轨道半径变大，故C错误；由G＝m1ω2r1可得＝ω2r1，ω、L均不变，m2减小，则r1减小，由v1＝ωr1得v1减小，即体积较小星体圆周运动的线速度变小，故D错误。
10．(2020·江苏省高三普通高等学校招生全国统一考试(三))北斗卫星导航系统第41颗和第49颗卫星已完成在轨测试、入网评估等工作，正式入网工作。第41颗卫星为地球同步轨道卫星，第49颗卫星为倾斜地球同步轨道卫星，它们的轨道半径约为4.2×107 m，运行周期都等于地球的自转周期24 h。倾斜地球同步轨道平面与地球赤道平面成一定夹角，如图所示。已知万有引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，下列说法中正确的是(　　)
A．同步轨道卫星可能经过北京上空
B．根据题目数据可估算出地球的质量
C．倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大于第一宇宙速度
D．倾斜地球同步轨道卫星一天2次经过赤道上同一位置
答案　BD
解析　同步轨道卫星处于赤道平面内，不可能经过北京上空，A错误；根据G＝m2r，得M＝，由题目数据可知r、T、G，则可估算出地球的质量M，B正确；第一宇宙速度是最大的绕行速度，任何地球卫星的运行速度均小于第一宇宙速度，C错误；由于倾斜地球同步轨道卫星周期与地球自转周期相同，故一天2次经过赤道上同一位置，D正确。
11. (2020·江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试)据报道，我国准备在2020年发射火星探测器，并于2021年登陆火星，如图为载着登陆舱的探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。已知火星的半径为R，OQ＝4R，探测器在轨道Ⅱ上经过O点的速度为v，下列说法正确的有(　　)
A．在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积相等
B．探测器在轨道Ⅱ运动时，经过O点的加速度等于
C．探测器在轨道Ⅰ运动时，经过O点的速度大于v
D．在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与在轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是3∶2
答案　BC
解析　因轨道Ⅰ和轨道Ⅱ是探测器的两个不同轨道，则在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积不相等，A错误；轨道Ⅱ为圆，且已知火星的半径为R，OQ＝4R，则可知探测器在轨道Ⅱ运动时，轨道半径为3R，又知探测器在轨道Ⅱ上经过O点的速度为v，则经过O点的加速度a＝，B正确；探测器从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ要在O点减速，可知在轨道Ⅰ运动时，经过O点的速度大于v，C正确；根据开普勒第三定律可知，探测器在轨道Ⅱ与轨道Ⅲ上的周期之比为＝＝，则在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与在轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是＝＝，D错误。
12. (2020·吉林省吉林市高三二模)如图，地球与月球可以看做双星系统，它们均绕连线上的C点转动。在该系统的转动平面内有两个拉格朗日点L2、L4(位于这两个点的卫星能在地球引力和月球引力的共同作用下绕C点做匀速圆周运动，并保持与地球、月球相对位置不变)，L2点在地月连线的延长线上，L4点与地球球心、月球球心的连线构成一个等边三角形。我国已发射的“鹊桥”中继卫星位于L2点附近，它为“嫦娥四号”成功登陆月球背面提供了稳定的通信支持。假设L4点有一颗监测卫星，“鹊桥”中继卫星视为在L2点。已知地球的质量为月球的81倍，则(　　)
A．地球和月球对监测卫星的引力之比为81∶1
B．地球球心和月球球心到C点的距离之比为1∶9
C．监测卫星绕C点运行的加速度比月球的大
D．监测卫星绕C点运行的周期比“鹊桥”中继卫星的大
答案　AC
解析　由公式F＝G可知，地球和月球对监测卫星的引力之比等于地球的质量与月球的质量之比，即为81∶1，故A正确；设地球球心到月球球心的距离为L，地球球心到C点的距离为r1，月球球心到C点的距离为r2，对地球有：G＝M地ω2r1，对月球有：G＝M月ω2r2，联立解得：＝＝，故B错误；对月球有：＝M月a月，可得a月＝，对监测卫星有：地球对监测卫星的引力F地卫＝，月球对监测卫星的引力F月卫＝，由于两引力的夹角小于90°，所以两引力的合力F合>，由a卫＝可知a卫>＝a月，故C正确；由题意知，监测卫星绕C点运行的周期与“鹊桥”中继卫星绕C点运行的周期相等，故D错误。