单元素养评价(二)(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,已知b=3,c=3,A=30°,则C等于( )
A.30°
B.60°或120°
C.60°
D.120°
2.(2020·重庆高一检测)已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,
cos
C=,△ABC的面积为3,则c=( )
A.
B.2
C.
D.
3.(2020·天水高一检测)在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为( )
A.5
B.4
C.5
D.6
4.(2020·贺州高一检测)若在△ABC中,acos(B+C)=bcos(A+C),则△ABC一定是
( )
A.等边三角形
B.等腰或直角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
5.已知锐角三角形ABC中,||=4,||=1,△ABC的面积为,则·的值为
( )
A.2
B.-2
C.4
D.-4
6.(2020·南昌高一检测)在△ABC中,a=,b=,A=30°,则c等于( )
A.2
B.
C.2或
D.以上都不对
7.在△ABC中,若b=2,A=120°,其面积S=,则△ABC外接圆的面积为( )
A.3π
B.4π
C.12π
D.16π
8.(2020·新余高一检测)如图,一栋建筑物AB的高为(30-10)
m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD,在它们之间的地面点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为( )
A.30
m
B.60
m
C.30
m
D.40
m
9.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cos
C=,AC=4,BC=3,则tan
B=( )
A.
B.2
C.4
D.8
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sin
A),则A等于( )
A.
B.
C.
D.
11.△ABC中各角的对应边分别为a,b,c,满足+≥1,则角A的范围是( )
A.
B.
C.
D.
12.(2020·亳州高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若bc=1,b+2ccos
A=0,则当角B取得最大值时,△ABC的周长为( )
A.2+
B.2+
C.3
D.3+
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.在锐角△ABC中,若a=2,b=3,则c的取值范围是 .?
14.已知在△ABC中,3a2-2ab+3b2-3c2=0,则cos
C的值为 .?
15.在四边形ABCD中,AB=7,AC=6,cos∠BAC=,CD=6sin
∠DAC,则BD的最大值为 .?
16.(2020·咸阳高一检测)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题,今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示),不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开),树干与地面成75°角,折断部分与地面成45°角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是 米(结果保留根号).?
三、解答题(共70分)
17.(10分)(2020·九江高一检测)已知函数f(x)=2sin
xcos
x+(2cos2x-1).
(1)若△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,锐角A满足f=,求锐角A的大小;
(2)在(1)的条件下,若△ABC的外接圆半径为1,求△ABC的面积S的最大值.
18.(12分)(2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2+cos
A=.
(1)求A;
(2)若b-c=a,证明:△ABC是直角三角形.
19.(12分)(2020·绵阳高一检测)△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcos
C-c=2a.
(1)求B的大小;
(2)若a=3,且AC边上的中线长为,求c的值.
20.(12分)(2020·上饶高一检测)如图,一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100
km的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在A市南偏东方向距A市500
km且与海岸距离为300
km的海上B处有一快艇与汽车同时出发,要把一份稿件交给这汽车的司机.
(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中?
(2)在(1)的条件下,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.
21.(12分)(2020·天津高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,b=5,c=.
(1)求角C的大小;
(2)求sin
A的值;
(3)求sin的值.
22.(12分)如图,在△ABC中,已知B=,AC=4,D为BC边上一点.
(1)若AD=2,S△DAC=2,求DC的长;
(2)若AB=AD,试求△ADC的周长的最大值.
PAGE单元素养评价(二)(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,已知b=3,c=3,A=30°,则C等于( )
A.30°
B.60°或120°
C.60°
D.120°
【解析】选D.由余弦定理可得a=3,根据正弦定理有=,故sin
C=,故C=60°或120°.若C=60°,则B=90°>C,而b
2.(2020·重庆高一检测)已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,
cos
C=,△ABC的面积为3,则c=( )
A.
B.2
C.
D.
【解析】选C.因为cos
C=,
所以sin
C=,
由S=absin
C,可得b=2,
根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos
C
=29-20×=13,
所以c=.
3.(2020·天水高一检测)在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为( )
A.5
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.根据三角形面积公式得×1×c×sin
45°=2,得c=4,
则b2=a2+c2-2accos
B=25,即b=5,
所以2R==5.
4.(2020·贺州高一检测)若在△ABC中,acos(B+C)=bcos(A+C),则△ABC一定是
( )
A.等边三角形
B.等腰或直角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
【解析】选B.因为A+B+C=π,acos(B+C)
=bcos(A+C),
所以acos(π-A)=bcos(π-B),
即acos
A=bcos
B,
由正弦定理可得sin
Acos
A=sin
Bcos
B,
即sin
2A=sin
2B,由于A,B为三角形内角,
所以2A=2B或2A+2B=π,
即A=B或A+B=,
所以△ABC是等腰或直角三角形.
5.已知锐角三角形ABC中,||=4,||=1,△ABC的面积为,则·的值为
( )
A.2
B.-2
C.4
D.-4
【解析】选A.S△ABC=|AB|·|AC|sin
A
=×4×1·sin
A=,所以sin
A=.
又A为锐角,所以A=,所以cos
A=,
所以·=||·||cos
A=4×1×=2.
6.(2020·南昌高一检测)在△ABC中,a=,b=,A=30°,则c等于( )
A.2
B.
C.2或
D.以上都不对
【解析】选C.在△ABC中由正弦定理=可知sin
B===,
所以B=或,所以C=或,
由正弦定理=可知c=,
解得c=2或.
7.在△ABC中,若b=2,A=120°,其面积S=,则△ABC外接圆的面积为( )
A.3π
B.4π
C.12π
D.16π
【解析】选B.因为S=bcsin
A,
所以=×2csin
120°,所以c=2,
所以a=
==2,
设△ABC外接圆的半径为R,
所以2R===4,
所以R=2,面积S1=πR2=4π.
8.(2020·新余高一检测)如图,一栋建筑物AB的高为(30-10)
m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD,在它们之间的地面点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为( )
A.30
m
B.60
m
C.30
m
D.40
m
【解析】选B.作AE⊥CD,垂足为E,
则在△AMC中AM==20
m,∠AMC=105°,∠ACM=30°,
所以=,所以AC=(60+20)m,
所以CD=30-10+ACsin
30°=60(m).
9.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cos
C=,AC=4,BC=3,则tan
B=( )
A.
B.2
C.4
D.8
【解析】选C.设AB=c,BC=a,CA=b,c2=a2+b2-2abcos
C=9+16-2×3×4×=9,
所以c=3,cos
B==,所以sin
B==,所以tan
B=4.
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sin
A),则A等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为b=c,所以B=C,
又B=π-(A+C),所以2B=π-A.
由已知及正弦定理得sin2A=2sin2B(1-sin
A),
sin2A=(1-cos
2B)(1-sin
A),
所以sin2A=[1-cos(π-A)](1-sin
A)
=(1+cos
A)(1-sin
A),
1-cos2A=(1+cos
A)(1-sin
A),
因为A∈(0,π),所以1+cos
A≠0,
所以1-cos
A=1-sin
A,
所以sin
A=cos
A,A=.
11.△ABC中各角的对应边分别为a,b,c,满足+≥1,则角A的范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由+≥1可得:
b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),
整理可得b2+c2-a2≥bc,
将不等式两边同除以2bc可得:≥,
即cos
A≥且0所以012.(2020·亳州高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若bc=1,b+2ccos
A=0,则当角B取得最大值时,△ABC的周长为( )
A.2+
B.2+
C.3
D.3+
【解析】选A.在△ABC中,由正弦定理得:sin
B+2sin
Ccos
A=0,
因为cos
A=-<0,所以A为钝角,
所以cos
Asin
C≠0,
由sin
Acos
C+cos
Asin
C=-2cos
Asin
C,
可得tan
A=-3tan
C,tan
C>0,
tan
B=-=
=≤=,
当且仅当tan
C=时取等号,
此时B取得最大值,
所以c=b=1,C=B=,A=.
所以a=2×1×cos
=.
所以a+b+c=2+.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.在锐角△ABC中,若a=2,b=3,则c的取值范围是 .?
【解析】因为△ABC为锐角三角形,
则cos
A>0,cos
B>0,cos
C>0,
即>0,>0,>0,将a=2,b=3代入,解得答案:(,)
14.已知在△ABC中,3a2-2ab+3b2-3c2=0,则cos
C的值为 .?
【解析】由3a2-2ab+3b2-3c2=0,
得c2=a2+b2-ab.
根据余弦定理得,cos
C=
==,
所以cos
C=.
答案:
15.在四边形ABCD中,AB=7,AC=6,cos∠BAC=,CD=6sin
∠DAC,则BD的最大值为 .?
【解析】由正弦定理可知,sin∠ADC=AC·=6×=1.
又∠ADC为三角形内角,
所以∠ADC=90°,所以D点在以AC为直径的圆上,
所以当BD过AC的中点M时,BD最大.
此时BM=
==5,
MD=AC=3,所以BD的最大值为8.
答案:8
16.(2020·咸阳高一检测)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题,今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示),不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开),树干与地面成75°角,折断部分与地面成45°角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是 米(结果保留根号).?
【解析】如图所示,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,
则∠AOB=75°,∠ABO=45°,
所以∠OAB=60°.
由正弦定理知==,
所以OA=(米),AB=(米),
所以OA+AB=(5+5)(米).
答案:(5+5)
三、解答题(共70分)
17.(10分)(2020·九江高一检测)已知函数f(x)=2sin
xcos
x+(2cos2x-1).
(1)若△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,锐角A满足f=,求锐角A的大小;
(2)在(1)的条件下,若△ABC的外接圆半径为1,求△ABC的面积S的最大值.
【解析】(1)f(x)=2sin
xcos
x+(2cos2x-1)
=sin
2x+cos
2x=2sin.
因为f=2sin
=2sin
A=,
又A为锐角,所以A=.
(2)因为△ABC的外接圆半径为1,由正弦定理得:=2R=2,
所以a=2sin
A=2sin=2×=.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
得3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,
即bc≤3(当且仅当b=c时取等号),
则三角形的面积S=bcsin
A≤×3×=(当且仅当b=c时取等号).
故三角形面积S的最大值为.
18.(12分)(2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2+cos
A=.
(1)求A;
(2)若b-c=a,证明:△ABC是直角三角形.
【解析】(1)因为cos2+cos
A=,
所以sin2A+cos
A=,
即1-cos2A+cos
A=,
解得cos
A=,
又0(2)因为A=,所以cos
A==,
即b2+c2-a2=bc①,
又b-c=a②,
将②代入①得,
b2+c2-3=bc,
即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,
解得b=2c,所以a=c,
故b2=a2+c2,即△ABC是直角三角形.
19.(12分)(2020·绵阳高一检测)△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcos
C-c=2a.
(1)求B的大小;
(2)若a=3,且AC边上的中线长为,求c的值.
【解析】(1)因为2bcos
C-c=2a,
所以由余弦定理可得2b·-c=2a,
化简得a2+c2-b2=-ac,
所以cos
B==-,
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)如图,
由(1)得b2=a2+c2+ac=c2+3c+9,①
又因为在△ABC中,cos
C=,
取AC中点D,连接BD.
因为a=3,BD=,
在△CBD中,cos
C==,
所以9+b2-c2=2,②
把①代入②,化简得c2-3c-10=0,
解得c=5或c=-2(舍去),所以c=5.
20.(12分)(2020·上饶高一检测)如图,一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100
km的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在A市南偏东方向距A市500
km且与海岸距离为300
km的海上B处有一快艇与汽车同时出发,要把一份稿件交给这汽车的司机.
(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中?
(2)在(1)的条件下,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.
【解析】(1)如图,设快艇以v
km/h的速度从B处出发,沿BC方向行驶,t
h后与汽车在C处相遇,在△ABC中,AB=500,AC=100t,BC=vt,BD为AC边上的高,BD=300.
设∠BAC=α,则sin
α=,cos
α=.
由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos
α,
所以v2t2=(100t)2+5002-2×500×100t·,
整理,得v2=-+10
000
=250
000+10
000-=250
000+3
600,
当=,即t=时,=3
600,vmin=60(km/h),
即快艇至少以60
km/h的速度行驶才能把稿件送到司机手中.
(2)当v=60
km/h时,在△ABC中,AB=500,AC=100×=625,BC=60×=375,
由余弦定理,得cos∠ABC==0,
所以∠ABC=90°,
故快艇应向垂直于AB的方向向北偏东方向行驶.
21.(12分)(2020·天津高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,b=5,c=.
(1)求角C的大小;
(2)求sin
A的值;
(3)求sin的值.
【解析】(1)在△ABC中,由a=2,b=5,c=及余弦定理得cos
C===,
又因为C∈(0,π),所以C=.
(2)在△ABC中,由C=,a=2,c=及正弦定理,可得sin
A===.
(3)由aA=,
可得cos
A==,
进而sin
2A=2sin
Acos
A=,
cos
2A=2cos2A-1=,
所以sin=sin
2Acos
+cos
2Asin
=×+×=.
22.(12分)如图,在△ABC中,已知B=,AC=4,D为BC边上一点.
(1)若AD=2,S△DAC=2,求DC的长;
(2)若AB=AD,试求△ADC的周长的最大值.
【解析】(1)因为S△DAC=2,
所以·AD·AC·sin
∠DAC=2,
所以sin
∠DAC=.
因为∠DAC<∠BAC<π-=,
所以∠DAC=.
在△ADC中,由余弦定理,得
DC2=AD2+AC2-2AD·ACcos
,
所以DC2=4+48-2×2×4×=28,
所以DC=2.
(2)因为AB=AD,B=,
所以△ABD为正三角形.
在△ADC中,根据正弦定理,可得
==,
所以AD=8sin
C,DC=8sin,
所以△ADC的周长为AD+DC+AC=8sin
C+
8sin
+4
=8+4
=8+4
=8sin+4,
因为∠ADC=,所以0所以所以当C+=,
即C=时,△ADC的周长取得最大值,且最大值为8+4.
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