三角形的内角和讲课用
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文档简介
(共35张PPT)
[1]有木条4根，长度分别为12㎝，10㎝，8㎝，4㎝，选其中三根组成三角形则选择的种数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
[2]三角形的两边长分别为2㎝和9㎝，第三边长为偶数。求第三边长。
三角形的内角和
新课
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
想一想
三角形的三个内角和是多少
有什么办法
可以验证呢
三角形的三个内角和等于 180°
结论对任意三角
形都成立吗？
想一想
问题：有什么方法可以得到１８０°
１．平角的度数是１８０°
２．两直线平行，同旁内角的和是１８０°
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗
A
B
C
A.
B.
A
B
C
A.
B.
A
B
C
A.
B.
A
B
C
A.
B.
E.
D.
A
B
C
A.
B.
A
证法1：
在△ABC的外部，以CA为一边，
CE为另一边作∠1=∠A，
E
延长BC到D，
于是CE∥BA
(内错角相等，两直线平行).
？
∴∠B=∠2
？
(两直线平行，同位角相等).
）
1
）
。
。
2
×
×
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
？
？
(等量代换)
E
）
。
。
B
C
D
A
B
C
D
过C，作CE∥BA，
）
E
1
）
。
。
于是∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
2
×
×
？
？
(两直线平行，同位角相等)
？
？
(等量代换)
证法2：
作BC的延长线CD，
图形相同，
画法不同，
证明也不同.
想一想：利用此图该如何说明“三角形的内角和等于180°”？
证法3：
A
B
C
过A作EF∥BC，
E
F
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠CAF
(两直线平行,内错角相等)
又∵∠BAE+∠CAF+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
(平角的定义)
(等量代换)
证法4：
A
B
C
过A作AE∥BC，
E
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
(等量代换)
三角形的内角和等于180°
∠EAC+∠C=180°
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
思路总结
为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
三角形内角和定理:
三角形的内角和等于1800.
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
一个三角形中最多有几个直角？
一个三角形中最多有几个钝角？
一个三角形中最少有几个锐角？
检验一下自己吧!
（口答）下列各组角是同一个
三角形的内角吗？为什么？
（1）3°， 150°， 27°
(2）60°， 40°， 90°
（3）30°， 60°， 50°
（是 ）
（ 不是）
（ 不是）
80°
X°
X°
你能求出图中X的值吗
1、 在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数。
解：在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°
∴∠B+∠C=100°
∵∠B=∠C
∴∠B=∠C=500
2、已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、
3x、5x
列出方程 x+3x+5x=180
x=20
答：三个内角度数分别为
20°,60°,100°。
如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？（图中AD∥BE）
拓展运用
北
东
西
南
F
M
N
北
.
A
D
北
.
C
B
.
E
50°
80°
40°
北
A
.
D
北
.
C
B
.
E
50°
80°
40°
解:
∵∠DAB=80°, ∠DAC=50°
∴∠CAB=30°
∵AD∥BE
∴∠DAB+∠EBA=180°
∴∠EBA=100°
∵ ∠ CBE=40°
∴ ∠ CBA=60°
∵ ∠ CBA+∠ACB+∠CBA=180°
∴ ∠ ACB=90°
(两直线平行,
同旁内角互补)
(三角形内角
和等于180)
3. 如图，一种滑翔伞是左右对称的四边形ABCD，其中∠A＝150°，∠B＝∠D＝40°。求∠C的度数。
D
40 °
40 °
150°
A
B
C
1
2
如图,若AB∥CD,
则∠1、∠2与
∠C、∠D之间
有什么数量关
系？为什么？
∠1=∠C，∠2=∠D
∠1+∠2=∠C+∠D
如图,若AB不平行
于CD,则∠1、∠2
与∠C、∠D之间
的这些关系还成
立吗？为什么？
∠1+∠2=∠C+∠D
如图,若A、B分别在
DO、CO的延长线上,
则∠1、∠2与∠C、
∠D之间的关系还
成立吗？为什么？
∠1+∠2=∠C+∠D
1
2
A
B
C
D
O
1
2
A
B
C
D
O
1
2
A
B
C
D
O
如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )
(A)带①去 (B)带②去 (C)带③去 (D)带①和②去
C
2如图,求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F 的度数.
A
B
C
D
M
E
N
F
O
1
3
分析：三个三角形9个
内角之和为5400
所以∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F
=5400-1800=3600
∠1+ ∠2+ ∠3=1800
2
拓展延伸：
5一块大型模板如图，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°角，怎样通过测量∠A、∠B、∠C、∠D的度数，来检验模板是否合格？
A
B
C
D
∠B+∠C=1500
∠D+∠C=1600
拓展延伸：
课堂小结
通过本堂课的学习，你有哪些收获？
[1]有木条4根，长度分别为12㎝，10㎝，8㎝，4㎝，选其中三根组成三角形则选择的种数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
[2]三角形的两边长分别为2㎝和9㎝，第三边长为偶数。求第三边长。
三角形的内角和
新课
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
想一想
三角形的三个内角和是多少
有什么办法
可以验证呢
三角形的三个内角和等于 180°
结论对任意三角
形都成立吗？
想一想
问题：有什么方法可以得到１８０°
１．平角的度数是１８０°
２．两直线平行，同旁内角的和是１８０°
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗
A
B
C
A.
B.
A
B
C
A.
B.
A
B
C
A.
B.
A
B
C
A.
B.
E.
D.
A
B
C
A.
B.
A
证法1：
在△ABC的外部，以CA为一边，
CE为另一边作∠1=∠A，
E
延长BC到D，
于是CE∥BA
(内错角相等，两直线平行).
？
∴∠B=∠2
？
(两直线平行，同位角相等).
）
1
）
。
。
2
×
×
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
？
？
(等量代换)
E
）
。
。
B
C
D
A
B
C
D
过C，作CE∥BA，
）
E
1
）
。
。
于是∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
2
×
×
？
？
(两直线平行，同位角相等)
？
？
(等量代换)
证法2：
作BC的延长线CD，
图形相同，
画法不同，
证明也不同.
想一想：利用此图该如何说明“三角形的内角和等于180°”？
证法3：
A
B
C
过A作EF∥BC，
E
F
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠CAF
(两直线平行,内错角相等)
又∵∠BAE+∠CAF+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
(平角的定义)
(等量代换)
证法4：
A
B
C
过A作AE∥BC，
E
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
(等量代换)
三角形的内角和等于180°
∠EAC+∠C=180°
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
思路总结
为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
三角形内角和定理:
三角形的内角和等于1800.
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
一个三角形中最多有几个直角？
一个三角形中最多有几个钝角？
一个三角形中最少有几个锐角？
检验一下自己吧!
（口答）下列各组角是同一个
三角形的内角吗？为什么？
（1）3°， 150°， 27°
(2）60°， 40°， 90°
（3）30°， 60°， 50°
（是 ）
（ 不是）
（ 不是）
80°
X°
X°
你能求出图中X的值吗
1、 在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数。
解：在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°
∴∠B+∠C=100°
∵∠B=∠C
∴∠B=∠C=500
2、已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、
3x、5x
列出方程 x+3x+5x=180
x=20
答：三个内角度数分别为
20°,60°,100°。
如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？（图中AD∥BE）
拓展运用
北
东
西
南
F
M
N
北
.
A
D
北
.
C
B
.
E
50°
80°
40°
北
A
.
D
北
.
C
B
.
E
50°
80°
40°
解:
∵∠DAB=80°, ∠DAC=50°
∴∠CAB=30°
∵AD∥BE
∴∠DAB+∠EBA=180°
∴∠EBA=100°
∵ ∠ CBE=40°
∴ ∠ CBA=60°
∵ ∠ CBA+∠ACB+∠CBA=180°
∴ ∠ ACB=90°
(两直线平行,
同旁内角互补)
(三角形内角
和等于180)
3. 如图，一种滑翔伞是左右对称的四边形ABCD，其中∠A＝150°，∠B＝∠D＝40°。求∠C的度数。
D
40 °
40 °
150°
A
B
C
1
2
如图,若AB∥CD,
则∠1、∠2与
∠C、∠D之间
有什么数量关
系？为什么？
∠1=∠C，∠2=∠D
∠1+∠2=∠C+∠D
如图,若AB不平行
于CD,则∠1、∠2
与∠C、∠D之间
的这些关系还成
立吗？为什么？
∠1+∠2=∠C+∠D
如图,若A、B分别在
DO、CO的延长线上,
则∠1、∠2与∠C、
∠D之间的关系还
成立吗？为什么？
∠1+∠2=∠C+∠D
1
2
A
B
C
D
O
1
2
A
B
C
D
O
1
2
A
B
C
D
O
如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )
(A)带①去 (B)带②去 (C)带③去 (D)带①和②去
C
2如图,求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F 的度数.
A
B
C
D
M
E
N
F
O
1
3
分析：三个三角形9个
内角之和为5400
所以∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F
=5400-1800=3600
∠1+ ∠2+ ∠3=1800
2
拓展延伸：
5一块大型模板如图，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°角，怎样通过测量∠A、∠B、∠C、∠D的度数，来检验模板是否合格？
A
B
C
D
∠B+∠C=1500
∠D+∠C=1600
拓展延伸：
课堂小结
通过本堂课的学习，你有哪些收获？