2020-2021学年七年级数学北师大版下册《2.3平行线的性质》培优训练（Word版 附答案）

2020-2021年度北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》培优训练（附答案）
1．如图，直线MN∥PQ，点A是MN上一点，∠MAC的角平分线交PQ于点B，若∠1＝20°，∠2＝116°，则∠3的大小为（　　）
A．136° B．138° C．146° D．148°
2．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（　　）
A．114° B．142° C．147° D．156°
3．如图，AB∥DE，那么∠BCD＝（　　）
A．180°+∠1﹣∠2 B．∠1+∠2
C．∠2﹣∠1 D．180°+∠2﹣2∠1
4．如图，AB∥CD，则下列等式正确的是（　　）
A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1﹣∠2＝180°﹣∠3
C．∠1﹣∠3＝180°﹣∠2 D．∠1+∠2+∠3＝180°
5．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝130°，∠CDE＝110°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（　　）
A．42° B．43° C．44° D．45°
7．如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
8．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，若∠a＝40°，则∠β的大小为（　　）
A．40° B．50 C．130° D．140°
9．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是（　　）
A．20° B．22° C．28° D．38°
10．两个角的两边两两互相平行，且一个角的等于另一个角的，则这两个角中较小角的度数为　 　°．
11．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，DG⊥BF于点G，若∠1＝130°，则∠2的度数为　 　．
12．如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝　 　．
13．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为　 　°．
14．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝135°，∠CDE＝70°，则∠BCD＝　 　．
15．如图，已知直线l1∥l2，∠1＝30°，则∠2+∠3＝　 　．
16．如图，已知AB∥CF，CF∥DE，∠BCD＝90°，则∠D﹣∠B＝　 　．
17．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝115°，∠ACF＝25°，则∠FEC＝　 　度．
18．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝38°，则∠2＝　 　．
19．如图，直线AB∥直线CD，线段EF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；
（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；
（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度数．
20．已知：如图，EF平分∠DEB，AC∥DE，CD∥EF，请证明：CD平分∠ACB．
21．如图，EF∥AD，∠1＝∠2．
（1）若∠B＝55°，求∠BDG的度数；
（2）若AD平分∠BAC，直接写出∠DGC与∠FEA的数量关系．
22．直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．
（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α＝50°，则∠2＝　 　°．
（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；
（3）若点P在直线CD的下方，如图③，（2）中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．
23．已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．
（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB＝36°，求∠MCD的度数；
（2）如图2，点G在CH上时，试说明2∠MCD+∠GAB＝90°．
24．（1）如图①，AB∥CD，∠A＝43°，∠C＝33°，求∠APC的度数；
（2）如图②，AB∥CD，当点P在线段BD上移动时，设∠BAP＝α，∠DCP＝β，写出∠APC与α，β之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在射线DM上运动，请你直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．
参考答案
1．解：延长QC交AB于D，
∵MN∥PQ，
∴∠2+∠MAB＝180°，
∵∠2＝116°，
∴∠MAB＝180°﹣116°＝64°，
∵AB平分∠MAC，
∴∠MAB＝∠BAC＝64°，
△BDQ中，∠BDQ＝∠2﹣∠1＝116°﹣20°＝96°，
∴∠ADC＝180°﹣96°＝84°，
△ADC中，∠3＝∠BAC+∠ADC＝64°+84°＝148°．
故选：D．
2．解：∵∠1＝24°，CE⊥直线c于点E，
∴∠EAC＝90°﹣∠1＝90°﹣24°＝66°，
∵a∥b，
∴∠EAC＝∠ABD＝66°，
∵∠ABD的平分线交直线a于点C，
∴∠CBD＝，
∴∠2＝180°﹣∠CBD＝180°﹣33°＝147°，
故选：C．
3．解：过点C作CF∥AB，如图：
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠BCF＝∠1①，∠2+∠DCF＝180°②，
∴①+②得，∠BCF+∠DCF+∠2＝∠1+180°，即∠BCD＝180°+∠1﹣∠2．
故选：A．
4．解：如右图所示，
∵CD∥AB，
∴∠4＝∠3，
∵∠4＝∠2+（180°﹣∠1），
∴∠3＝∠2+（180°﹣∠1），
∴∠1﹣∠2＝180°﹣∠3，
故选：B．
5．解：作DE的反向延长线交BC于M，
∵AB∥DE，∠ABC＝130°，
∴∠BMD＝∠ABC＝130°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝50°，
∵∠CDE＝110°，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝110°﹣50°＝60°，
故选：B．
6．解：过点C作CN∥AB，过点E作EM∥AB，
∵FD∥AB，CN∥AB，EM∥AB，
∴AB∥CN∥EM∥FD
∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．
∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，
∠ACD＝∠BAC+∠FDC．
又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，
∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC
∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，
46°＝∠FDE+2∠BAC②．
①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，
∴∠BAC+∠FDE＝34°③．
①﹣③，得∠FDE＝22°．
∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．
故选：C．
7．解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．
∵AB∥CD，
∴∠KSM＝∠CNP＝30°．
∵∠EFA＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，
∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°，
∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF＝25°+90°＝115°．
∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，
∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30°＝60°．
故选：D．
8．解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠1＝∠α＝40°，∠2＝180°﹣∠β，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝40°+180°﹣∠β＝90°，
∴∠β＝130°．
故选：C．
9．解：∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
过C作CD∥直线m，
∵直线m∥n，
∴CD∥直线m∥直线n，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∵∠1＝38°，
∴∠ACD＝38°，
∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，
故选：B．
10．解：∵一个角的等于另一个角的，
∴这两个角不相等，
设其中一个角的度数为x°，另一个角的度数为x＝x°，
∵两个角的两边两两互相平行，
∴x+x＝180，
解得：x＝72，
即较小角的度数是72°，
故选：72．
11．解：∵AB∥CD，∠1＝130°，
∴∠CFB＝∠1＝130°，
∴∠BFD＝180°﹣∠CFB＝180°﹣130°＝50°，
∵DG⊥BF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠BFD＝90°﹣50°＝40°，
故答案为40°．
12．解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠D＝∠FED，
∴∠AEF＝180°﹣130°＝50°，∠FED＝20°，
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝50°+20°＝70°．
即β＝70°．
故答案为：70°．
13．解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，
∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，
∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝46°，
故答案为：46．
14．解：如图，延长CB交ED的延长线于G．
∵AB∥DF，
∴∠1＝∠ABC＝135°，
∵∠1＝∠CDG+∠C，∠CDG＝180°﹣∠CDE＝110°，
∴∠BCD＝135°﹣110°＝25°，
故答案为25°．
15．解：如图．
∵直线l1∥l2，
∴∠3+∠4＝180°，
∵∠2＝∠1+∠4，
∴∠3+∠4+∠2＝180°+∠1+∠4，
∵∠1＝30°，
∴∠2+∠3＝180°+30°＝210°．
故答案为210°
16．解：∵AB∥CF，
∵∠B＝∠1，
∵CF∥DE，
∴∠D+∠2＝180°，即∠2＝180°﹣∠D，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，即∠B+180°﹣∠D＝90°，
∴∠D﹣∠B＝90°．
故答案为：90°．
17．解：∵AD∥BC，
∴∠ACB＝180°﹣∠DAC＝180°﹣115°＝65°，
∵∠ACF＝25°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝65°﹣25°＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝∠BCF＝×40°＝20°，
∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE＝20°．故答案为：20．
18．解：延长AB交l2于点E，
∵∠α＝∠β，
∴AB∥DC，
∴∠3+∠2＝180°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝38°，
∴∠2＝180°﹣38°＝142°，故答案为：142°．
19．证明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，
∴AB∥EF，
∴∠ABF＝∠BFE，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；
（2）∵BE⊥EC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ECD＝∠BCE，
∴CE平分∠BCD；
（3）设∠BCE＝β，∠ECF＝γ，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE＝β，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，
∴∠EFC＝β﹣γ，
∵∠BFC＝∠BCF，
∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，
∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，
∵∠FBG＝2∠ECF，
∴∠FBG＝2γ，
∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣β，
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，
∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，
∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
整理得：2γ+β＝55°，
∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．
20．解：∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∵CD∥EF，
∴∠DCB＝∠FEB，∠CDE＝∠DEF，
∴∠ACD＝∠DEF，
又∵EF平分∠DEB，
∴∠DEF＝∠FEB，
∴∠ACD＝∠DCB，
∴CD平分∠ACB．
21．解：（1）∵EF∥AD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥BA，
∴∠B+∠BDG＝180°，
∵∠B＝55°，
∴∠BDG＝125°；
（2）∠DGC+∠FEA＝180°，
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠3，
由（1）知，DG∥BA，
∴∠CGD＝∠BAC，
∴∠CGD＝2∠3，
∵EF∥AD，
∴∠FEA+∠3＝180°，
∴∠DGC+∠FEA＝180°．
22．解：①∵AB∥CD，∠α＝50°
∴∠2＝∠α＝50°，
故答案为50；
（2）∠α＝∠1+∠2．
证明：过P作PG∥AB，
∵AB∥CD，
∴PG∥AB∥CD，
∴∠2＝∠EPG，∠1＝∠FPG，
∵∠α＝∠EPF＝∠EPG+∠FPG，
∴∠α＝∠1+∠2；
（3）不成立．
理由：过P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥AB∥CD，
∴∠2＝∠EPH，∠1＝∠FPH，
∵∠α＝∠EPF＝∠EPH﹣∠FPH，
∴∠α＝∠2﹣∠1，
故不成立．
23．解：（1）∵AG⊥AC，∠GAB＝36°，
∴∠CAH＝90°﹣36°＝54°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAH＝180°，
∴∠ACD＝126°，
∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH＝∠DCM＝63°．
（2）∵∠ACH＝∠DCM，
∴∠ACD＝2∠MCD，
由（1）得ACD+∠CAH＝180°，
∵AG⊥AC，
∴∠CAG＝90°，
∴2∠MCD+90°+∠GAB＝180°，
∴2∠MCD+∠GAB＝90°．
24．解：（1）过P点作PE∥AB，
∴∠APE＝∠A，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠EPC＝∠C，
∵∠APC＝∠APE+∠EPC，
∴∠APC＝∠A+∠C
∵∠A＝43°，∠C＝33°，
∴∠APC＝43°+33°＝76°；
（2）∠APC＝α+β．
理由：过P点作PF∥AB，
∴∠APF＝∠BAP，
∵AB∥CD，
∴PF∥CD，
∴∠FPC＝∠PCD，
∵∠APC＝∠APF+∠FPC，
∴∠APC＝∠BAP+∠PCD；
∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，
∴∠APC＝α+β；
（3）∠APC＝α﹣β．
理由：过P点作PN∥AB，
∴∠APN＝∠BAP，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠NPC＝∠PCD，
∵∠APC＝∠APN﹣∠NPC，
∴∠APC＝∠BAP﹣∠PCD；
∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，
∴∠APC＝α﹣β