广东省汕头市金山中学2021届高三下学期3月学科素养测试数学试题 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 广东省汕头市金山中学2021届高三下学期3月学科素养测试数学试题 Word版含答案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-13 20:55:45 | ||
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文档简介
____________________________________________________________________________________________
汕头市金山中学2021届高三第二学期学科素养测试
数 学
一、选择题：本题共8小题，8×5=40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，，，则等于( )
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则=( )
A． B．1 C． D．5
3．给定命题：函数为偶函数；命题：函数为奇函数，下列说法正确的是( )
A．是假命题 B．是假命题
C．是真命题 D．是真命题
4．己知，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
5．若函数在区间上存在最小值-2，则非零实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
6．某校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年4月18日～27日（共10天）学生在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．
根据组合图判断，下列结论正确的是( )
A．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小
B．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差
C．这10天学生在线学习人数在逐日增加
D．前5天在线学习人数增长比例的极差大于后5天在线学习人数增长比例的极差
7．已知函数，则函数的零点个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知抛物线，过定点的直线与抛物线交于两点，若常数，则常数的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共4小题，4×5=20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
10．下列判断正确的是( )
A．的最小值是2 B．
C．若，则
D．若函数与都在区间上是减函数，则为上的增函数．
11．端午节是中国第一个申请成功的世界人类非物质文化的节日，农历五月初五是端午节，民间吃粽子、佩香囊的习惯，吃“粽子”是为了纪念战国时期楚国爱国主义诗人屈原，香囊暗解清防新冠并驱虫．“七彩丝线系香囊，柔情轻解入谁家”．“扈江篱与辟芷兮，纫秋兰以为佩”．粽子和香囊都是六面体．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示香囊粽子形状的六面体．下列各选项正确的是( )
A．六面体的体积为
B．若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为
C．折后棱所在直线异面且垂直；
D．折后棱所在直线相交．
12．黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618．北京新机场，自然也留下了黄金数的足迹．人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美．设离心率为黄金比的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若分别是实半轴、虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，有( )
A．当焦点在轴时，其标准方程为：
B．若双曲线的弦的中点为，则
C．双曲线中成等比数列
D．双曲线的右顶点，点和左焦点构成是直角三角形．
三、填空题：本题共4小题，4×5=20分．
13．函数的定义域为 .
14．已知，则= ．
15．已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为 ．
16．今有，点，又点是上动点，过作的切线，切点分别是，直线与交于点，则的最大值是 .
四、解答题：本题共6小题，共10+12×5=70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在等差数列中，，数列的公差为，前项和为
1)求的值；
2)下列两小题只选一小题 再作答．
选做①若公差，且成等比数列，求通项
选做②若，求数列的前项乘积为
18．在中，分别是角的对边，，
1)若，求的值；
2)若，求的面积的最大值；
19．如图，四棱锥中，底面是梯形，，，，
，平面平面平面；
1)若是中点，又，求证：平面；
2)若，求钝二面角平面角（钝的）的余弦值．
20．某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年．如图1
所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现. 在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）．若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元．现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中如表是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图．
一级滤芯更换频数分布表
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发
生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器
更换滤芯发生的概率．
(I)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；
(II)记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望；
(Ⅲ)记分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．
若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的
期望值为决策依据，试确定的值．
21．已知为坐标原点，动点满足：
1)求动点的轨迹的方程；
2)直线过点且与轨迹交于点，若是等腰三角形，求直线的方程．
22．函数，是的导函数．
1)若，，求函数的最小值．
2)对，且，证明：恒成立．
数学参考答案
BCDA DCDA 9．CD 10．AC 11．ABD 12．ACD
；；；
1．【答案】B 由，，又已知，
5．【答案】D 有取得无穷所以选D
又当时，由得，题意知则；当时，由得，根据题意知则；或
6．【答案】C
【解析】对于A，由折线图很明显，23-24的增长比例在下降，故A错误；对于B，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故B错误；对于C，由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故C正确；对于D，前5天增长比例的极差小于后5天增长比例的极差，故D错误，故选C．
7．【答案】D 令
①当时，，则函数在上单调递增，
由于，，由零点存在定理可知，存在，使得；
②当时，，由，解得，
作出函数，直线、，的图象如下图所示：
由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；
线与函数的图象有两个交点；线与函数
的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5． 故选：D．
8．A
15．若存在，由，则可得或，
由可得，由可得
所以中恒有由，可得
所以，即
所以
所以，即
所以，则，所以
16．解：易求得直线对应圆内点，且点的轨迹是以为直径的圆（去掉点），则最大
17．解：在等差数列中，由，得
…………………………2分
1)；……………………5分
2) 选①依题…………………………6分
…………………………8分
或（舍去） …………………………10分
选②若，得 ……………………7分 , , ,
, , , …………………9分
…………………………10分
18．解：1)在中，, ，…………………………1分
, , ,
, , ……………………………3分
由已知得，………………………………4分
又
…………………………………5分
2)在中，,
原等式变为, ,
,
，……………………………6分
由正弦定理，得
, ，……………………………8分
法1．是以点为焦点，顶点在椭圆上变动（去掉椭圆的左右顶点）
三角形底长，当在椭圆短轴顶点时，高最大，这时面积最大. ……………10分
椭圆中, ,
最大值为 的面积的最大值是．……………12分
法2．在中，由余弦定理 ………………………9分
………………………10分
……………12分
19．解：1) 证明：取中点，连结………………………1分
在梯形中，, , , ,
又
由平面几知识，，……………………………2分
又是中点，,
平面, 平面, 平面，…………………………3分
同理可证平面，又,
平面平面, 平面．………………………5分
2)平面 , ,
, 等腰直角三角形，连结, , ,
平面平面, 平面,
平面, , , 平面
…………………………7分
以为原点，在平面内作, ，以分别为轴建立空间直角坐标系．则，…………………………8分
平面的法向量是 ……………………………9分
设平面的法向量是， ，
，令，，则…………10分
设二面角平面角为，依题为钝角
二面角平面角的余弦值 …………………………12分
20．解：(1)由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16为事件，
因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，所以；……………………5分
(2)由题可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，的可能取值为8，9，10，11，12，
从而，，
，，
，
的分布列为
8 9 10 11 12
0.04 0.16 0.32 0.32 0.16
；
(3)记表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需费用，因为，且，
(i)若，则，，
(ii)若，则，，
因为，故选择方案， . …………………………12分
21．(1)解1：设 ………………………………1分
则
…………………………………2分
动点的轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆
由,
动点的轨迹的方程为 ……………………………4分
(2)设为：, ……………………………5分
由
, …………………………7分
, ,
…………………………9分
依题，
或 ………………………11分
综上，所求直线是：或 ………………………12分
22．(1)证明：, ，令
，则,
，所以在单调递增，
所以, 在上单调递增．
所以时，,
因为，所以为偶函数，即时， ……………………5分
(2)
① ………………………7分
令，则①式等价于
, ,
当时，,
又因为, ，所以, ，所以,
令，则,
所以在上单调递减，所以，故
综上所述，对，且,
恒成立． ……………………………12分
汕头市金山中学2021届高三第二学期学科素养测试
数 学
一、选择题：本题共8小题，8×5=40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，，，则等于( )
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则=( )
A． B．1 C． D．5
3．给定命题：函数为偶函数；命题：函数为奇函数，下列说法正确的是( )
A．是假命题 B．是假命题
C．是真命题 D．是真命题
4．己知，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
5．若函数在区间上存在最小值-2，则非零实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
6．某校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年4月18日～27日（共10天）学生在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．
根据组合图判断，下列结论正确的是( )
A．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小
B．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差
C．这10天学生在线学习人数在逐日增加
D．前5天在线学习人数增长比例的极差大于后5天在线学习人数增长比例的极差
7．已知函数，则函数的零点个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知抛物线，过定点的直线与抛物线交于两点，若常数，则常数的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共4小题，4×5=20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
10．下列判断正确的是( )
A．的最小值是2 B．
C．若，则
D．若函数与都在区间上是减函数，则为上的增函数．
11．端午节是中国第一个申请成功的世界人类非物质文化的节日，农历五月初五是端午节，民间吃粽子、佩香囊的习惯，吃“粽子”是为了纪念战国时期楚国爱国主义诗人屈原，香囊暗解清防新冠并驱虫．“七彩丝线系香囊，柔情轻解入谁家”．“扈江篱与辟芷兮，纫秋兰以为佩”．粽子和香囊都是六面体．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示香囊粽子形状的六面体．下列各选项正确的是( )
A．六面体的体积为
B．若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为
C．折后棱所在直线异面且垂直；
D．折后棱所在直线相交．
12．黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618．北京新机场，自然也留下了黄金数的足迹．人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美．设离心率为黄金比的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若分别是实半轴、虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，有( )
A．当焦点在轴时，其标准方程为：
B．若双曲线的弦的中点为，则
C．双曲线中成等比数列
D．双曲线的右顶点，点和左焦点构成是直角三角形．
三、填空题：本题共4小题，4×5=20分．
13．函数的定义域为 .
14．已知，则= ．
15．已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为 ．
16．今有，点，又点是上动点，过作的切线，切点分别是，直线与交于点，则的最大值是 .
四、解答题：本题共6小题，共10+12×5=70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在等差数列中，，数列的公差为，前项和为
1)求的值；
2)下列两小题只选一小题 再作答．
选做①若公差，且成等比数列，求通项
选做②若，求数列的前项乘积为
18．在中，分别是角的对边，，
1)若，求的值；
2)若，求的面积的最大值；
19．如图，四棱锥中，底面是梯形，，，，
，平面平面平面；
1)若是中点，又，求证：平面；
2)若，求钝二面角平面角（钝的）的余弦值．
20．某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年．如图1
所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现. 在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）．若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元．现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中如表是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图．
一级滤芯更换频数分布表
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发
生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器
更换滤芯发生的概率．
(I)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；
(II)记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望；
(Ⅲ)记分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．
若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的
期望值为决策依据，试确定的值．
21．已知为坐标原点，动点满足：
1)求动点的轨迹的方程；
2)直线过点且与轨迹交于点，若是等腰三角形，求直线的方程．
22．函数，是的导函数．
1)若，，求函数的最小值．
2)对，且，证明：恒成立．
数学参考答案
BCDA DCDA 9．CD 10．AC 11．ABD 12．ACD
；；；
1．【答案】B 由，，又已知，
5．【答案】D 有取得无穷所以选D
又当时，由得，题意知则；当时，由得，根据题意知则；或
6．【答案】C
【解析】对于A，由折线图很明显，23-24的增长比例在下降，故A错误；对于B，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故B错误；对于C，由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故C正确；对于D，前5天增长比例的极差小于后5天增长比例的极差，故D错误，故选C．
7．【答案】D 令
①当时，，则函数在上单调递增，
由于，，由零点存在定理可知，存在，使得；
②当时，，由，解得，
作出函数，直线、，的图象如下图所示：
由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；
线与函数的图象有两个交点；线与函数
的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5． 故选：D．
8．A
15．若存在，由，则可得或，
由可得，由可得
所以中恒有由，可得
所以，即
所以
所以，即
所以，则，所以
16．解：易求得直线对应圆内点，且点的轨迹是以为直径的圆（去掉点），则最大
17．解：在等差数列中，由，得
…………………………2分
1)；……………………5分
2) 选①依题…………………………6分
…………………………8分
或（舍去） …………………………10分
选②若，得 ……………………7分 , , ,
, , , …………………9分
…………………………10分
18．解：1)在中，, ，…………………………1分
, , ,
, , ……………………………3分
由已知得，………………………………4分
又
…………………………………5分
2)在中，,
原等式变为, ,
,
，……………………………6分
由正弦定理，得
, ，……………………………8分
法1．是以点为焦点，顶点在椭圆上变动（去掉椭圆的左右顶点）
三角形底长，当在椭圆短轴顶点时，高最大，这时面积最大. ……………10分
椭圆中, ,
最大值为 的面积的最大值是．……………12分
法2．在中，由余弦定理 ………………………9分
………………………10分
……………12分
19．解：1) 证明：取中点，连结………………………1分
在梯形中，, , , ,
又
由平面几知识，，……………………………2分
又是中点，,
平面, 平面, 平面，…………………………3分
同理可证平面，又,
平面平面, 平面．………………………5分
2)平面 , ,
, 等腰直角三角形，连结, , ,
平面平面, 平面,
平面, , , 平面
…………………………7分
以为原点，在平面内作, ，以分别为轴建立空间直角坐标系．则，…………………………8分
平面的法向量是 ……………………………9分
设平面的法向量是， ，
，令，，则…………10分
设二面角平面角为，依题为钝角
二面角平面角的余弦值 …………………………12分
20．解：(1)由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16为事件，
因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，所以；……………………5分
(2)由题可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，的可能取值为8，9，10，11，12，
从而，，
，，
，
的分布列为
8 9 10 11 12
0.04 0.16 0.32 0.32 0.16
；
(3)记表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需费用，因为，且，
(i)若，则，，
(ii)若，则，，
因为，故选择方案， . …………………………12分
21．(1)解1：设 ………………………………1分
则
…………………………………2分
动点的轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆
由,
动点的轨迹的方程为 ……………………………4分
(2)设为：, ……………………………5分
由
, …………………………7分
, ,
…………………………9分
依题，
或 ………………………11分
综上，所求直线是：或 ………………………12分
22．(1)证明：, ，令
，则,
，所以在单调递增，
所以, 在上单调递增．
所以时，,
因为，所以为偶函数，即时， ……………………5分
(2)
① ………………………7分
令，则①式等价于
, ,
当时，,
又因为, ，所以, ，所以,
令，则,
所以在上单调递减，所以，故
综上所述，对，且,
恒成立． ……………………………12分
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