浙江省之江教育评价2020-2021学年高二下学期3月返校联考数学试题 Word版含答案

之江教育评价2020学年第二学期高二返校联考（2021.03）
数学试题卷
考生须知：
1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.
选择题部分（共40分）
一、选择题（本题共10小题；每小题4分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）
1.双曲线false的焦距为（ ）
A.false B.2 C.false D.4
2.设直线m，n和平面α，若false，则“false”是“false”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知向量false，下列与false垂直的向量是（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.设第一象限的点false为抛物线false上一点，F为焦点，若false，则false（ ）
A.false B.4 C.false D.32
5.已知双曲线false的一个焦点到渐近线的距离为2，且与椭圆false有公共焦点，则双曲线的渐近线为（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为等腰直角三角形，该几何体的体积为（ ）
A.8 B.false C.4 D.false
7.已知椭圆false上一动点P到两个焦点false，false的距离之积为q，则q取最大值时，false的面积为（ ）
A.false B.1 C.false D.2
8.如图，已知等边false与等边false所在平面成锐二面角false，E，F分别为false，false中点，则异面直线false与false所成角的余弦值为（ ）
A.false B.false C.false D.false
9.如图，已知正方体false的棱长为2，P是平面false内的动点，Q是false上一点且false，若点P到false的距离与P，Q距离的平方差等于4，则点P的轨迹为（ ）
A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线
10.如图，已知椭圆的长轴端点为false，false，短轴端点为false，false，焦点为false，false，长半轴为2，短半轴为false，将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中，以下说法错误的是（ ）
A.false与短轴false所成角为false
B.false与直线false所成角取值范围为false
C.false与平面false所成角最大值为false
D.存在某个位置，使得false与false垂直
非选择题部分（共110分）
二、填空题（本大题共7小题；多空题每小题6分，单空题每小题4分；共36分.）
11.已知空间中两点false，false，向量false，false，则false________，false________.
12.直线l：false与圆false交于A，B两点，则圆的半径为________，false ________.
13.将半径为4的半圆卷成一个圆锥，则圆锥底面半径为________，圆锥的体积为________.
14.直线l：false与直线m：false垂直，则false ________，l交抛物线C：false的弦中点横坐标为________.
15.如图，过球的一条半径false的中点false，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比为________.
16.已知空间直角坐标系false中一点false，N是false平面内直线l：false上的一个动点，则M，N两点的最短距离为________.
17.已知正三棱柱false底边长为1，侧棱长为2，P，Q分别为线段false，false上的动点，则false的最小值为d，则false________.
三、解答题（本大题共5小题；共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.已知直线l：false.
（Ⅰ）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；
（Ⅱ）若直线l与圆false相切，求a的值.
19.如图，在三棱台false中，平面false平面false，false，false，false，false.
（Ⅰ）证明：false；
（Ⅱ）求直线false与平面false所成角的正弦值.
20.已知焦点在x轴上的椭圆C，长轴是短轴的3倍，且经过点false，过点false的直线l交椭圆C于A，B两点.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求false面积的最大值.
21.如图，在直三棱柱false中，正方形false边长为3，false，false，M是线段false上一点，设false.
（Ⅰ）若false，证明：false平面false；
（Ⅱ）若二面角false的余弦值为false，求λ的值.
22.如图，已知抛物线C：false的焦点F，过x轴上一点false作两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，设false和false所在直线交于点P.设M为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M点坐标可以为false；②false轴时，false；③false比M到y轴距离大1.
（Ⅰ）抛物线C同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；
（Ⅱ）判断并证明点P是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由.
之江教育评价2020学年第二学期高二返校联考（2021.02）
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
A
B
D
C
C
B
D
二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.）
11.false， false
12.false， false
13.2， false
14.false， false
15.false
16.false
17.false
三、解答题（本大题共5小题，共74分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.【答案】（Ⅰ）1；
（Ⅱ）4或false.
【详解】（Ⅰ）易知直线l的截距不能为0，
令false，false，令false，false；
则false；
（Ⅱ）圆心false到直线l的距离false；
falsefalse或false；
19.【答案】（Ⅰ）略；
（Ⅱ）false.
【详解】（Ⅰ）∵平面false平面false，平面false平面false，false，
∴false平面false，
∵false平面false，∴false；
∵false，∴false；
∵false，∴false平面false，
∵false平面false，∴false；
（Ⅱ）法一：∵false平面false，∵false平面false，
∴平面false平面false，
作false交false延长线于点H，
∵平面false平面false，
∴false平面false，
∴false即所求线面角；
算得false，false，false；
所以直线false与平面false所成角的正弦值为false.
法二：以A为原点，false，false分别为y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系false，
false，false，延长棱台的三条侧棱交于点P，
∵false且false，
则false是false中点，false；
∴false，false，false，
∴平面false的法向量false，
∴false，
所以直线false与平面false所成角的正弦值为false.
20.【答案】（Ⅰ）C：false；
（Ⅱ）false.
【详解】（Ⅰ）falsefalse；
（Ⅱ）法一：设直线l：false，
设false，false，
联立falsefalse，
由韦达定理知，false
false；
false；
false，
所以当false时，false的最大面积为false.
法二：①当直线l斜率不存在时，直线l：false，此时false，
所以false
②当直线l斜率存在时，设直线l：false，
设false，false，
联立falsefalse，
由韦达定理知，false
false；
点O到直线l的距离false，
false
分子分母同除以false得false，令false，下同法一.
21.【答案】（Ⅰ）略；
（Ⅱ）false.
【详解】（Ⅰ）连接false交false于点N，连接false，
则M，N分别为false和false的中点，∴false；
∵false平面false，false平面false；
∴false平面false；
（Ⅱ）以C为原点，false，false，false分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
false，false，false，设false，其中false；
则false，false，false，
平面false的法向量false，平面false的法向量false；
false
∴false，false.
22.【答案】（Ⅰ）①③，false；
（Ⅱ）点P在定直线false上.
【详解】（Ⅰ）①③；
false；
（Ⅱ）false，false，
false，false，false，false；
false，
由韦达定理得false，
同理，false；
因为false
即false，
同理，false；
消去y得false，
false，
false，
false，false.
所以点P在定直线false上.