福建省师大附中11-12学年度上学期高二期末考试试题（数学理）

福建省师大附中11-12学年度上学期高二期末考试试题（数学理）
（满分：150分，时间：120分钟）
说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.
一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．命题“若，则”的否命题是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2.下列命题中是假命题的有（ ）
A． B．
C． D．
3 一元二次不等式的解集是，则的值是（ ）
A ( ) B C ( ) D
4．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，
若=，=，= ( ) 则下列向量中与
相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知数列的前n项和，则关于正确的说法是（ ）
A． 是公差为的等差数列 B．是公差为的等差数列
C． 是公差为的等差数列 D．是公差为的等差数列
6．已知等差数列满足，则有（ ）
A． B． C． D．
7．已知方程和(其中,)，它们所表示的曲线可能是（ ）
8．已知三角形ABC的面积是，角A,B,C成等差数列，其对应边分别是，则的最小值是（ ）
A．12 B． C． 10 D．
9．设双曲线的—个焦点为F，虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
10．“”是“对任意的正数均有”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
11．若存在实数,使成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12．动点到两定点,连线的斜率的乘积为（）,则动点P在以下哪些曲线上（ ）（写出所有可能的序号）
① 直线 ② 椭圆 ③ 双曲线 ④ 抛物线 ⑤ 圆
A．①⑤ B．③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
二、填空题：（每小题4分，共28分）
13 若椭圆的离心率为，则m的值为_______________ ( )
14．抛物线上到焦点的距离等于6的点的坐标是 ．
15．在△中，角、、所对的边分别为、、，已知，
则的值 _.
16．已知是抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则的最大值为 .
17. 如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，则拱桥内水面的宽度为 米.
18．已知整数对按如下规律排成一列：、、、、，，，，，，……，则第个数对是 .
19. 在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个圆；
③到两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合是两条平行线；
④到两点的“折线距离”之和为的点的集合是面积为的六边形．
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：（本大题共5题，共62分）
20．（本小题满分12分）等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列．
（1）求{}的公比q；
（2）若－＝3，求.
21．（本小题满分12分）
已知双曲线的方程为5x2-4y2=20,左右焦点分别为F1，F2
（1）求此双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
（2）若椭圆与此双曲线有共同的焦点，且有一公共点P满足|PF1|·|PF2|=6，求椭圆的标准方程．
22．（本小题满分12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元.
（1）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；
（2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
23．（本小题满分12分）
如图，已知直线与抛物线相交于两点，
与轴相交于点，若.
（1）求证：点的坐标为（1，0）；
（2）求△AOB的面积的最小值.
24．（本小题满分14分）已知椭圆经过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0） ( )
（1）当 时，判断直线l与椭圆的位置关系；
（2）当时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值；
（3）如图，当l交椭圆于A、B两个不同点时，求证：
直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形
参考答案
一、选择题： C B D D C B B A D A A C
二、填空题： 13。或 14。 15。
16。5 17。 18。（5，7） 19。①③④
20．解：
21．解：（1）依题意有
由于 ，故
又，从而 6分
（2）由已知可得
故 从而 12分
22．解：
（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，设纯收入与年数n的关系为f(n),则f(n)=21n-[2n+]-25=20n-n2-25……………………3分
由f(n)>0得n2-20n+25<0 解得
又因为n,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利……………………6分
（2）年平均收入为=20-………………………………9分
当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大…12分
23．解:
(1) 设M点的坐标为（x0, 0）, 直线l方程为 x = my + x0 ,
代入y2 = x得 y2－my－x0 = 0 ① y1、y2是此方程的两根,
∴ x0 ＝－y1y2 ＝1，即M点的坐标为（1, 0）.
…………7分
(2)法一：
由方程①得y1＋y2 = m ,y1y2 ＝－1 ,且 | OM | = x0 =1,
于是S△AOB = | OM | |y1－y2| ==≥1，
∴ 当m = 0时，△AOB的面积取最小值1. …………12分 法二：
24．
离. ……7分
（3）由
A. B C D
x
y
O
A
B
M
x
y
O
A
B
M