第一章
整式的乘除考点梳理
【考点1
幂的基本运算】
【方法点拨】掌握幂的基本运算是解题关键．
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am?an=am+n（m，n是正整数）
幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n=amn（m，n是正整数）
积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=anbn（n是正整数）
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an=am-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
【例1】（2020春?雨花区校级期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2?a3＝a6
B．（﹣a3）2＝a6
C．a9÷a3＝a3
D．（﹣bc）4＝﹣b4c4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a2?a3＝a5，原式计算错误，故此选项不合题意；
B、（﹣a3）2＝a6，正确；
C、a9÷a3＝a6，原式计算错误，故此选项不合题意；
D、（﹣bc）4＝b4c4，原式计算错误，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式1-1】（2020秋?鹿城区校级月考）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a＝3a3
B．（2a2）3＝6a6
C．（﹣a）3?a2＝﹣a6
D．（﹣a）2÷a＝a
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和除法求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A.2a2和a不能合并，故本选项不符合题意；
B．结果是8a6，故本选项不符合题意；
C．结果是﹣a5，故本选项不符合题意；
D．结果是a，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和除法等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
【变式1-2】（2020春?顺德区期末）下列计算正确的是（ ）
A．（3×103）2＝6×105
B．36×32＝38
C．（）4×34＝﹣1
D．36÷32＝33
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、（3×103）2＝9×106，故此选项错误；
B、36×32＝38，正确；
C、（）4×34＝1，故此选项错误；
D、36÷32＝34，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式1-3】（2020春?叶集区期末）下列计算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5
B．x3?x5＝x15
C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3
D．x6÷x3＝x2
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；
B．x3?x5＝x8，故本选项不合题意；
C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3，故本选项符合题意；
D．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【考点2
幂的混合运算】
【例2】（2019春?漳浦县期中）计算
（1）（m﹣n）2?（n﹣m）3?（n﹣m）4
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
（3）（a2）3﹣a3?a3+（2a3）2；
（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2?a]．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法计算即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算即可；
（3）根据幂的乘方、同底数幂的乘法和合并同类项解答即可；
（4）根据积的乘方和同底数幂的除法计算即可．
【解答】解：（1）（m﹣n）2?（n﹣m）3?（n﹣m）4
＝（n﹣m）2+3+4，
＝（n﹣m）9；
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
＝b6n?b12n÷b5n+5
＝b6n+12n﹣5n﹣5
＝b13n﹣5；
（3）（a2）3﹣a3?a3+（2a3）2
＝a6﹣a6+4a6
＝4a6；
（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2?a]
＝﹣64a3m+3÷8a2m+1
＝﹣8am+2
【点评】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：同底数幂的乘法（除法）运算法则，积的乘方及幂的乘方运算法则以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
【变式2-1】（2019春?海陵区校级月考）计算
（1）x3?x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2?x2
【分析】（1）根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方的法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方的法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8
（2）原式＝﹣8x6+9x6+x6＝2x6
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、积的乘方，熟记法则是解题的关键．
【变式2-2】（2019秋?崇川区校级月考）计算
（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2
（2）（x﹣y）2?（y﹣x）7?[﹣（x﹣y）3]
【分析】（1）根据幂的乘方，底数不变指数相乘和同底数幂相除，底数不变指数相减进行解答，即可得出答案．
（2）根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，即可得出答案
【解答】解：（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2
＝y4+y8÷y4﹣y4
＝y4+y4﹣y4
＝y4；
（2）（x﹣y）2?（y﹣x）7?[﹣（x﹣y）3]＝（y﹣x）2?（y﹣x）7?（y﹣x）3
＝（y﹣x）12．
【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
【变式2-3】（2020春?安庆期中）计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）
【分析】先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．
【解答】解：原式＝an﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），
＝a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），
＝a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，
＝0．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
【考点3
巧用幂的运算进行简便运算】
【例3】（2020春?宁远县期中）计算（）2019×（2）2020的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．﹣2020
【分析】先根据积的乘方进行变形，再求出即可．
【解答】解：原式＝﹣（）2019×（）2020
＝﹣（）2019
＝﹣1
，
故选：B．
【点评】本题考查了积的乘方，能正确根据积的乘方进行计算是解此题的关键．
【变式3-1】（2020春?市中区校级期中）计算：0.1252020×（﹣8）2021＝
．
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
【解答】解：0.1252020×（﹣8）2021
＝0.1252020×82020×（﹣8）
＝（0.125×8）2020×（﹣8）
＝12020×（﹣8）
＝1×（﹣8）
＝﹣8．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【变式3-2】（2020春?沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于
．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：原式＝82×42×42019×（﹣0.25）2019
＝82×42×（4×﹣0.25）2019
＝82×42×（﹣1）
＝﹣1024．
故答案为：﹣1024．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是利用幂的乘方与积的乘方准确计算．
【变式3-3】（2019春?城关区校级期中）计算：（）2014×1.52012×（﹣1）2014
【分析】根据幂的乘方和积的乘方计算即可．
【解答】解：（）2014×1.52012×（﹣1）2014．
【点评】此题考查幂的乘方和积的乘方，关键是根据幂的乘方和积的乘方解答．
【考点4
幂的逆运算】
【例4】（2019秋?岳麓区校级月考）解答下列问题
（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；
（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；
（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x?81y的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）由3x+4y﹣3＝0可得3x+4y＝3，再据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：（1）∵2x＝a，2y＝b，
∴2x+y＝2x?2y＝ab；
（2）∵3m＝5，3n＝2，
∴33m+2n+1＝（3m）3?（3n）2×3＝53×22×3＝125×4×3＝1500；
（3）由3x+4y﹣3＝0可得3x+4y＝3，
∴27x?81y
＝33x?34y
＝33x+4y
＝33
＝27．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【变式4-1】（2020春?江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m?16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【分析】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；
（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵m+4n﹣3＝0
∴m+4n＝3
原式＝2m?24n
＝2m+4n
＝23
＝8．
（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，
＝43﹣2×42，
＝32，
【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法．运用整体代入法是解题的关键．
【变式4-2】（2019春?邗江区校级月考）（1）若4a+3b＝3，求92a?27b．
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值
【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解：（1）∵4a+3b＝3，
∴92a?27b＝34a?33b＝33＝27；
（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，
∴1+2m+3m＝21，
解得m＝4．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【变式4-3】（2020?河北模拟）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2÷8x?16x＝25，求x的值；
（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把8x与16x化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答；
（3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．
【解答】解：（1）2÷8x?16x＝2÷（23）x?（24）x＝2÷23x?24x＝21﹣3x+4x＝25，
∴1﹣3x+4x＝5，
解得x＝4；
（2）∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2；
（3）∵x＝5m﹣3，
∴5m＝x+3，
∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，
∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．
【考点5
巧用幂的运算进行大小比较】
【例5】（2020春?邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（ ）
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．大小关系无法确定
【分析】先根据幂的乘方进行变形，再比较即可．
【解答】解：m＝272＝（23）24＝824，n＝348＝（32）24＝924，
∵8＜9，
∴m＜n，
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方，能正确根据幂的乘方进行变形是解此题的关键．
【变式5-1】（2020春?淮阴区期中）比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433
B．433＜344＜255
C．255＜433＜344
D．344＜433＜255
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可．
【解答】解：255＝（25）11＝3211，
344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
∵32＜64＜81，
∴255＜433＜344．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．
【变式5-2】（2020春?玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接）
．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案．
【解答】解：∵233、418＝236、810＝（23）10＝230，
∴236＞233＞230，
∴418＞233＞810．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
【变式5-3】（2020春?李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较322和411的大小．
解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2
∴322＞222，即322＞411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较28和82的大小
解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6
∴28＞26，即28＞82
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
（1）比较344、433、522的大小
（2）比较8131、2741、961的大小
（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小
（4）比较312×510与310×512的大小
【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）根据题目中的例子可以解答本题；
（3）根据题目中的例子可以解答本题；
（4）根据题目中的例子可以解答本题．
【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
522＝（52）11＝2511，
∵81＞64＞25，
∴8111＞6411＞2511，
即344＞433＞522；
（2）∵8131＝（34）31＝3124，
2741＝（33）41＝3123，
961＝（32）61＝3122，
∵124＞123＞122，
∴3124＞3123＞3122，
即8131＞2741＞961；
（3）∵a2＝2，b3＝3，
∴a6＝8，b6＝9，
∵8＜9，
∴a6＜b6，
∴a＜b；
（4）∵312×510＝（3×5）10×32，
310×512＝（3×5）10×52，
又∵32＜52，
∴312×510＜310×512．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．
【考点6
幂的运算中新定义问题】
【例6】（2020春?漳州期末）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
（1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝
，（2，）＝
；
（2）[说理]记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c；
（3）[应用]若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；
（3）根据定义解答即可．
【解答】解：（1）23＝8，（2，8）＝3，
，（2，）＝﹣2，
故答案为：3；﹣2；
（2）证明：∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，
∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，
∴4a×4b＝60，
∴4a×4b＝4c，
∴a+b＝c；
（3）设（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，
∴mp＝16，mq＝5，mr＝t，
∵（m，16）+（m，5）＝（m，t），
∴p+q＝r，
∴mp+q＝mr，
∴mp?mr＝mt，
即16×5＝t，
∴t＝80．
【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
【变式6-1】（2020春?仪征市期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．
（1）填空：T（2，64）＝
；
（2）计算：；
（3）探索T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）根据定义解答即可；
（2）根据定义解答即可；
（3）设T（2，3）＝m，可得2m＝3，设T（2，7）＝n，可得2n＝7，设T（2，21）＝k，可得2k＝21，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解：（1）∵26＝64，
∴T（2，64）＝6；
故答案为：6．
（2）∵，（﹣2）4＝16，
∴3+4＝1．
（3）相等．理由如下：
设T（2，3）＝m，可得2m＝3，设T（2，7）＝n，根据3×7＝21得：
2m?2n＝2k，可得m+n＝k，
即T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21）．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【变式6-2】（2020春?潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a?a?…?a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lognb（即lognb）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算下列各对数的值：log24＝
；log216＝
；log264＝
．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
（4）根据幂的运算法则：an?am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．
【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．
（2）观察可得：三数4，16，64之间满足的关系式为：log24+log216＝log264．
（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；
（4）首先可设设M＝am，N＝an，再根据幂的运算法则：an?am＝an+m以及对数的含义证明结论．
【解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，
故答案为：2；4；6；
（2）∵4×16＝64，
∴log24+log216＝log264；
（3）logaM+logaN＝logaMN；
（4）设M＝am，N＝an，
∵m，n，
m+n，
∴，
∴logaMN．
【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
【变式6-3】（2019秋?崇川区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果ac＝b．那么【a，b】＝c
例如因为23＝8．所以【2，8】＝3
（1）根据上述规定，填空：【4，16】＝
，【7，1】＝
【
，81】＝4
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象【3n，4n】＝【3，4】小明给出了如下的证明：
设【3n，4n】＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4
即【3，4】＝x所以【3n，4n】＝【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】
②猜想：【（x+1）n，（y﹣1）n】+【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【
，
】（结果化成最简形式）
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）①根据同底数幂的乘法法则，结合定义证明；
②根据例题和①中证明的式子作为公式进行变形即可．
【解答】解：（1）因为42＝16，所以【4，16】＝2．
因为70＝1，所以【7，1】＝0．
因为（±3）4＝81，
∴【±3，18】＝4，
故答案为：2；0；±3；
（2）①证明：设【6，9】＝x，【6，5】＝y，则6x＝9，6y＝5，
∴5×9＝45＝6x?6y＝6x+y，
∴【6，45】＝x+y，
则：【6，45】＝【6，9】+【6，5】，
∴【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】；
②∵【3n，4n】＝【3，4】，
∴【（x+1）m，（y﹣1）m】＝【（x+1），（y﹣1）】，【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【（x+1），（y﹣2）】，
∴【（x+1）m，（y﹣1）m】+【（x+1）n，（y﹣2）n】，
＝【（x+1），（y﹣1）】+【（x+1），（y﹣2）】，
＝【（x+1），（y﹣1）（y﹣2）】，
＝【（x+1），（y2﹣3y+2）】．
故答案为：x+1，y2﹣3y+2．
【点评】本题考查的是新定义的理解和掌握，还考查了同底数幂的乘法以及有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
【考点7
整式的乘法】
【例7】（2020春?新邵县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（ ）
A．1
B．﹣1
C．3x
D．﹣3x
【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x．
故选：C．
【点评】考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
【变式7-1】（2019春?灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（ ）
A．3
B．2
C．﹣3
D．﹣2
【分析】先进行单项式乘多项式，再合并得到原式＝﹣4x3+（a+3）x2+x，然后令二次项的系数为0即可得到a的值．
【解答】解：（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2＝﹣2x3+ax2+x﹣2x3+3x2
＝﹣4x3+（a+3）x2+x，
因为﹣4x3+（a+3）x2+x不含x的二次项，
所以a+3＝0，
所以a＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式乘多项式：单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；注意确定积的符号．
【变式7-2】（2019春?蜀山区期中）若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a，b为整数，则ab的值为（ ）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
【分析】将（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3进行多项式乘以多项式展开得到2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+（b+3）＝2x3﹣ax2﹣5x+5，对比系数即可求解；
【解答】解：（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3
＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+（b+3）
＝2x3﹣ax2﹣5x+5，
∴a﹣2b＝﹣a，
ab+1＝5，
b+3＝5，
∴b＝2，a＝2，
∴ab＝4；
故选：C．
【点评】本题考查多项式乘以多项式；熟练掌握多项式乘以多项式的乘法法则，利用系数相等解题．
【变式7-3】（2019春?浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（ ）
A．﹣1，﹣1
B．﹣1，1
C．1，﹣1
D．1，1
【分析】根据多项式乘以多项式进行恒等计算即可．
【解答】解：多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，
（a2﹣ma+2n）（a+1）
＝a3﹣ma2+2an+a2﹣ma+2n
＝a3+（1﹣m）a2+（2n﹣m）a+2n
所以1﹣m＝2，得m＝﹣1，
2n﹣m＝﹣1，得n＝﹣1．
或者2n＝﹣2，得n＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解恒等变换．
【考点8
整式乘法的应用】
【例8】（2020春?建邺区期末）根据需要将一块边长为x的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后．制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（ ）
①（x﹣5）（x﹣6）；②x2﹣5x﹣6（x﹣5）；③x2﹣6x﹣5x；④x2﹣6x﹣5（x﹣6）
A．①②④
B．①②③④
C．①
D．②④
【分析】因为正方形的边长为x，一边截去宽5的一条，另一边截去宽6的一条，所以阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5与x﹣6．然后根据长方形面积计算公式进行计算．
【解答】解：①由题意得：阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5、x﹣6，
则阴影的面积＝（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30．故该项正确；
②如图所示：
阴影部分的面积＝x2﹣5x﹣6（x﹣5），故该项正确；
④如图所示：
阴影部分的面积＝x2﹣6x﹣5（x﹣6），故该项正确；
③由④知本项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的乘除运算﹣多项式乘多项式．实际上也是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
【变式8-1】（2019秋?平山县期末）根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2
C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2
D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2
【分析】根据图形确定出多项式乘法算式即可．
【解答】解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，
故选：A．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式8-2】（2020春?盐都区期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片（ ）
A．3张
B．4张
C．5张
D．6张
【分析】根据多项式与多项式相乘的法则求出长方形的面积，根据题意得到答案．
【解答】解：∵（a+3b）（a+2b）＝a2+2ab+3ab+6b2＝a2+5ab+6b2，
∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，
故选：C．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
【变式8-3】（2020春?漳州期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示最大长方形面积的方法：
①（2a+b）（m+n）；
②2a（m+n）+b（m+n）；
③m（2a+b）+n（2a+b）；
④2am+2an+bm+bn．
你认为其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】利用矩形的面积公式得到最大长方形面积为（2a+b）（m+n），然后利用多项式乘多项式对四种表示方法表示方法进行判断．
【解答】解：最大长方形面积为（2a+b）（m+n）＝2a（m+n）+b（m+n）＝m（2a+b）+n（2a+b）＝2am+2an+bm+bn．
故选：D．
【点评】本题考查了多项式乘多项式：多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
【考点9
利用乘法公式求值】
【例9】（2020春?邗江区校级期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；
（2）x4+y4；
（3）x﹣y．
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（3）先求出（x﹣y）2的值，再根据完全平方公式求出即可．
【解答】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x+y）2
＝x2+y2+2xy
＝8+2×2
＝12；
（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴x4+y4
＝（x2+y2）2﹣2x2y2
＝82﹣2×22
＝64﹣8
＝56；
（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，
∴x﹣y＝±2．
【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的内容是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
【变式9-1】（2020春?广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，
（1）求a2+b2的值；
（2）求（a+1）（b+1）的值；
（3）求（a﹣b）2的值．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+2×24＝52；
（2）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣24+2+1＝﹣21；
（3）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
＝（a+b）2﹣4ab
＝4+4×24
＝100．
【点评】本题考查完全平方公式和多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式9-2】（2020春?灌云县期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2﹣b2﹣8．
【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab及已知条件可求得答案；
（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab及已知条件可求得a+b的值，进而得出a2﹣b2﹣8的值即可．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝1，
∴（a﹣b）2
＝a2+b2﹣2ab
＝1，
∵a2+b2＝13，
∴13﹣2ab＝1，
∴ab＝6；
（2）∵a2+b2＝13，ab＝6，
∴（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝13+12
＝25，
∴a+b＝5或﹣5，
∵a2﹣b2﹣8＝（a+b）（a﹣b）﹣8，
∴当a+b＝5时，（a+b）﹣8＝﹣3；
当a+b＝﹣5时，（a+b）﹣8＝﹣5﹣8＝﹣13．
【点评】本题考查了完全平方公式在代数式求值中的应用，熟练掌握完全平方公式并正确变形是解题的关键．
【变式9-3】（2020春?新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．
（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．
【分析】（1）首先去括号，进而得出x2+y2的值，即可求出xy的值；
（2）直接利用完全平方公式配方进而得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，
∴x2+2xy+y2＝25①，x2﹣2xy+y2＝9②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝34，
∴x2+y2＝17，
∴17+2xy＝25，
∴xy＝4；
（2）∵（a﹣b）2＝3，
∴a2﹣2ab+b2＝3，
∵a2+b2＝15，
∴15﹣2ab＝3，
∴﹣2ab＝﹣12，
∴ab＝6，
∵a2+b2＝15，
∴a2+2ab+b2＝15+12，
∴（a+b）2＝27．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．
【考点10
乘法公式几何背景】
【例10】（2020春?新昌县期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是
．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．
【分析】（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得等式；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，可得等式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形．
【解答】解：（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，因此可得a2+2ab+b2＝（a+b）2，即完全平方公式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形，拼图如图所示：
【点评】考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是得出公式的关键．
【变式10-1】（2020春?肃州区期末）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是
（写成平方差的形式）．
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是
，长是
，面积是
．（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式
．
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝
．
②计算：20202﹣2018×2022．
③计算：．
【分析】（1）由面积公式可得到答案；
（2）根据图形可知长方形的长是a+b，宽是a﹣b，由长方形面积公式可得到答案；
（3）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；
（4）①根据平方差公式，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），已知2m+n＝4代入即可求出答案；
②可先把2018×2022化为（2020﹣2）（2020+2），再利用平方差公式计算即可得出答案；
③先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案．
【解答】解：（1）大正方形面积＝a2，小正方形面积＝b2，
阴影部分面积＝大正方形面积﹣小正方形面积＝a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知，长方形的宽＝a﹣b，长方形的长＝a+b，
∴长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故答案为，a﹣b；a+b；（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2或a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）①∵4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝12，2m+n＝4，
∴2m﹣n＝3，
故答案为：3；
②
＝20202﹣（20202﹣4）
＝20202﹣20202+4
＝4；
③
．
【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．
【变式10-2】（2020春?三明期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1
，
图2
，
图3
．
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．
【分析】根据正方形得面积计算公式，解决问题．
【解答】解：（1）图1、；
图2、；
图3、．
（2）由题意可知，阴影部分的面积＝大正方形面积﹣4×小长方形面积，
大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab，
则
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（3）由（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝32﹣4×（﹣10）＝49，
∴x﹣y＝±7．
【点评】本题主要考查乘法公式的应用，（1）根据题目中正方形和长方形的边长，由面积计算公公式可得出乘法．（2）根据拼图法阴影部分的面积等于大正方形面积减去4个长方形的面积，可得出结论．（3）根据（2）中结论可直接计算得出答案．
【变式10-3】（2020春?东城区校级期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虛框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝
；
（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式
；
（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式
（填写选项）．
A．xy
B．x+y＝m
C．x2﹣y2＝mn
D．x2+y2
【分析】（1）计算（2a+b）（a+2b）的结果，可知需要A、B、C型的纸片的张数，进而画出拼图；
（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼图，得出等式；
（3）根据m、n与x、y之间的关系，利用恒等变形，可得结论．
【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：2a2+5ab+2b2；拼图如图所示：
（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼成如图所示的图形，
因此可得等式：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b），
故答案为：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）；
（3）由图③可知，m＝x+y，n＝x﹣y，因此有m+n＝2x，m﹣n＝2y，mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；
xy；
x2+y2；
故答案为：A、B、C、D．
【点评】考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，理解拼图原理是得出关系式的前提．
【考点11
整式乘除的计算与化简】
【例11】（2019春?淄川区期中）（1）计算：
①a5?（﹣a）3+（﹣2a2）4．
②．
③（﹣4x﹣3y）2．
④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2
（2）先化简，再求值：
①，其中x＝﹣1，．
②[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a，b满足2a﹣8b﹣6＝0．
【分析】（1）①原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
②原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值；
③原式利用完全平方公式计算即可求出值；
④原式利用平方差公式及完全平方公式计算即可求出值；
（2）①原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
②原式中括号中利用单项式乘多项式，多项式乘多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）①原式＝﹣a8+16a8
＝15a8；
②原式＝﹣4xy3?（xy）÷x2y4
＝﹣2x2y4÷x2y4
＝﹣2；
③原式＝16x2+24xy+9y2；
④原式＝4a2﹣b2+a2+4ab+4b2
＝5a2+4ab+3b2；
（2）①原式＝x2+2xy+y2﹣y2+x2﹣x2xy
＝x2xy，
当x＝﹣1，y时，原式＝1；
②原式＝（ab﹣3b2﹣3a2﹣2ab+6a2﹣9ab﹣2ab+3b2）÷（﹣3a）
＝（3a2﹣12ab）÷（﹣3a）
＝﹣a+4b
＝﹣（a﹣4b），
由2a﹣8b﹣6＝0，得到a﹣4b＝3，
则原式＝﹣3．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
【变式11-1】（2020春?郓城县期末）计算：
（1）（﹣2ab）2?3b÷（ab2）
（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92
（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y．
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（3）原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝4a2b2?3b÷（ab2）＝﹣36ab；
（2）原式＝912﹣（90﹣2）×（90+2）＝912﹣902+4＝181+4＝185；
（3）原式＝x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝x2﹣2y2，
当x＝﹣2，y时，原式＝43．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式11-2】（2020春?竞秀区期末）计算题：
（1）82019×（﹣0.125）2020
（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；
（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
【分析】（1）将原式变形为（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125），再逆用积的乘方变形、计算可得；
（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；
（3）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（5）原式中括号中利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）82019×（﹣0.125）2020
＝（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×8）2019×（﹣0.125）
＝0.125；
（2）20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣20202+1
＝1；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）
＝（3x﹣y）（3x+y）（9x2+y2）
＝（9x2﹣y2）（9x2+y2）
＝81x4﹣y4；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2
＝a2﹣b2﹣（a2﹣4ab+4b2）
＝a2﹣b2﹣a2+4ab﹣4b2
＝4ab﹣5b2；
（5）[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x）
＝（x2+6xy+9y2﹣3x2+xy﹣6xy+2y2﹣11y2）÷2x
＝（﹣2x2+xy）÷2x
＝﹣xy，
当x＝﹣2，y＝1时，原式．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式11-3】（2019春?南山区校级期中）（1）化简：2x（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2；
（2）计算：20092﹣2010×2008；
（3）化简：（﹣3a2）3+（﹣4a3）2；
（4）已知a2﹣3a+1＝0，求代数式（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5的值；
（5）已知m＝﹣1，n＝﹣2，求代数式（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）的值．
【分析】（1）利用单项式乘多项式法则和完全平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可得；
（2）2010×2008变形为（2009+1）（2009﹣1），再利用平方差公式计算可得；
（3）先利用单项式的乘方的运算法则计算，再合并同类项即可得；
（4）先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出3a2﹣9a＝﹣3，代入计算可得；
（5）先根据多项式除以单项式法则化简原式，再将n的值代入计算可得．
【解答】解：（1）原式＝4x2﹣2xy﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝4x2﹣2xy﹣4x2+4xy﹣y2
＝2xy﹣y2；
（2）原式＝20092﹣（2009+1）×（2009﹣1）
＝20092﹣20092+1
＝1；
（3）原式＝﹣27a6+16a6＝﹣9a6；
（4）原式＝9a2﹣12a+4﹣6a2+3a+5
＝3a2﹣9a+9，
∵a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，
∴3a2﹣9a＝﹣3，
则原式＝﹣3+9＝6；
（5）原式＝6m2n÷（﹣3m2）﹣6m2n2÷（﹣3m2）﹣3m2÷（﹣3m2）
＝﹣2n+2n2+1，
当n＝﹣2时，原式＝﹣2×（﹣2）+2×（﹣2）2+1
＝4+2×4+1
＝4+8+1
＝13．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握单项式乘多项式、多项式除以单项式法则、平方差公式、完全平方差公式等知识点．
【考点12
整式混合运算的应用】
【例12】（2020春?衢州期中）如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．100
B．96
C．90
D．86
【分析】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得S1，S2，S3的长、宽及面积如何表示，根据2S3+S1﹣S2＝2，可整体求得ab的值，即长方形ABCD的面积．
【解答】解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：
S1的长为：8﹣6＝2，宽为：b﹣8，故S1＝2（b﹣8），
S2的长为：，8+6﹣a＝14﹣a，宽为：6+6﹣b＝12﹣b，故S2＝（14﹣a）（12﹣b），
S3的长为：a﹣8，宽为：b﹣6，故S3＝（a﹣8）（b﹣6），
∵2S3+S1﹣S2＝2，
∴2（a﹣8）（b﹣6）+2（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝2，
∴2（ab﹣6a﹣8b+48）+2b﹣16﹣（168﹣14b﹣12a+ab）＝2，
∴ab﹣88＝2，
∴ab＝90．
故选：C．
【点评】本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键．
【变式12-1】（2020春?潜山市期末）已知图①是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，图②是大长方形，且边AB＝a+3b，将7张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形ABCD内，如图③所示，未被覆盖两个长方形用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积差为S，若BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b应满足（ ）
A．ab
B．a＝2b
C．a＝4b
D．a＝3b
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
【解答】解：如图，左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，
∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，
∴阴影部分面积之差S＝AE?AF﹣PC?CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，
则3b﹣a＝0，即a＝3b．
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
【变式12-2】（2020春?瑶海区期末）如图，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．当m﹣n＝2时，S1﹣S2的值为（ ）
A．﹣2b
B．2a﹣2b
C．2a
D．2b
【分析】根据平移的知识和面积的定义，列出算式S1﹣S2＝n（m﹣a）+（a﹣b）（n﹣a）﹣[m（n﹣a）+（a﹣b）（m﹣a）]，再去括号，合并同类项即可求解．
【解答】解：图1中阴影部分的面积S1＝n（m﹣a）+（a﹣b）（n﹣a），
图2中阴影部分的面积S2＝m（n﹣a）+（a﹣b）（m﹣a），
S1﹣S2＝n（m﹣a）+（a﹣b）（n﹣a）﹣[m（n﹣a）+（a﹣b）（m﹣a）]＝nm﹣na+n（a﹣b）﹣a（a﹣b）﹣mn+am﹣m（a﹣b）+a（a﹣b）＝b（m﹣n）＝2b．
故选：D．
【点评】考查了整式的混合运算，面积的定义，关键是得到图1中阴影部分的面积与图2中阴影部分的面积．
【变式12-3】（2020春?丹徒区期中）如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．b＝5a
B．b＝4a
C．b＝3a
D．b＝a
【分析】分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即可求得a与b的数量关系．
【解答】解：设左上角阴影部分的面积为S1，右下角的阴影部分的面积为S2，
S＝S1﹣S2
＝AD?AB﹣5a?AD﹣3a?AB+15a2﹣[BC?AB﹣b（BC+AB）+b2]
＝BC?AB﹣5a?BC﹣3a?AB+15a2﹣BC?AB+b（BC+AB）﹣b2
＝（5a﹣b）BC+（b﹣3a）AB+15a2﹣b2．
∵AB为定值，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，
∴5a﹣b＝0，
∴b＝5a．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的混合运算在几何图形问题中的应用，数形结合并根据题意正确表示出两部分阴影的面积之差是解题的关键．第一章
整式的乘除考点梳理
【考点1
幂的基本运算】
【方法点拨】掌握幂的基本运算是解题关键．
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am?an=am+n（m，n是正整数）
幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n=amn（m，n是正整数）
积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=anbn（n是正整数）
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an=am-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
【例1】（2020春?雨花区校级期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2?a3＝a6
B．（﹣a3）2＝a6
C．a9÷a3＝a3
D．（﹣bc）4＝﹣b4c4
【变式1-1】（2020秋?鹿城区校级月考）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a＝3a3
B．（2a2）3＝6a6
C．（﹣a）3?a2＝﹣a6
D．（﹣a）2÷a＝a
【变式1-2】（2020春?顺德区期末）下列计算正确的是（ ）
A．（3×103）2＝6×105
B．36×32＝38
C．（）4×34＝﹣1
D．36÷32＝33
【变式1-3】（2020春?叶集区期末）下列计算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5
B．x3?x5＝x15
C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3
D．x6÷x3＝x2
【考点2
幂的混合运算】
【例2】（2019春?漳浦县期中）计算
（1）（m﹣n）2?（n﹣m）3?（n﹣m）4
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
（3）（a2）3﹣a3?a3+（2a3）2；
（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2?a]．
【变式2-1】（2019春?海陵区校级月考）计算
（1）x3?x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2?x2
【变式2-2】（2019秋?崇川区校级月考）计算
（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2
（2）（x﹣y）2?（y﹣x）7?[﹣（x﹣y）3]
【变式2-3】（2020春?安庆期中）计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）
【考点3
巧用幂的运算进行简便运算】
【例3】（2020春?宁远县期中）计算（）2019×（2）2020的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．﹣2020
【变式3-1】（2020春?市中区校级期中）计算：0.1252020×（﹣8）2021＝
．
【变式3-2】（2020春?沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于
．
【变式3-3】（2019春?城关区校级期中）计算：（）2014×1.52012×（﹣1）2014
【考点4
幂的逆运算】
【例4】（2019秋?岳麓区校级月考）解答下列问题
（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；
（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；
（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x?81y的值．
【变式4-1】（2020春?江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m?16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【变式4-2】（2019春?邗江区校级月考）（1）若4a+3b＝3，求92a?27b．
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值
【变式4-3】（2020?河北模拟）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2÷8x?16x＝25，求x的值；
（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【考点5
巧用幂的运算进行大小比较】
【例5】（2020春?邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（ ）
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．大小关系无法确定
【变式5-1】（2020春?淮阴区期中）比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433
B．433＜344＜255
C．255＜433＜344
D．344＜433＜255
【变式5-2】（2020春?玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接）
．
【变式5-3】（2020春?李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较322和411的大小．
解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2
∴322＞222，即322＞411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较28和82的大小
解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6
∴28＞26，即28＞82
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
（1）比较344、433、522的大小
（2）比较8131、2741、961的大小
（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小
（4）比较312×510与310×512的大小
【考点6
幂的运算中新定义问题】
【例6】（2020春?漳州期末）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
（1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝
，（2，）＝
；
（2）[说理]记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c；
（3）[应用]若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．
【变式6-1】（2020春?仪征市期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．
（1）填空：T（2，64）＝
；
（2）计算：；
（3）探索T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．
【变式6-2】（2020春?潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a?a?…?a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lognb（即lognb）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算下列各对数的值：log24＝
；log216＝
；log264＝
．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
（4）根据幂的运算法则：an?am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．
【变式6-3】（2019秋?崇川区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果ac＝b．那么【a，b】＝c
例如因为23＝8．所以【2，8】＝3
（1）根据上述规定，填空：【4，16】＝
，【7，1】＝
【
，81】＝4
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象【3n，4n】＝【3，4】小明给出了如下的证明：
设【3n，4n】＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4
即【3，4】＝x所以【3n，4n】＝【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】
②猜想：【（x+1）n，（y﹣1）n】+【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【
，
】（结果化成最简形式）
【考点7
整式的乘法】
【例7】（2020春?新邵县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（ ）
A．1
B．﹣1
C．3x
D．﹣3x
【变式7-1】（2019春?灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（ ）
A．3
B．2
C．﹣3
D．﹣2
【变式7-2】（2019春?蜀山区期中）若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a，b为整数，则ab的值为（ ）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
【变式7-3】（2019春?浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（ ）
A．﹣1，﹣1
B．﹣1，1
C．1，﹣1
D．1，1
【考点8
整式乘法的应用】
【例8】（2020春?建邺区期末）根据需要将一块边长为x的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后．制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（ ）
①（x﹣5）（x﹣6）；②x2﹣5x﹣6（x﹣5）；③x2﹣6x﹣5x；④x2﹣6x﹣5（x﹣6）
A．①②④
B．①②③④
C．①
D．②④
【变式8-1】（2019秋?平山县期末）根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2
C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2
D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2
【变式8-2】（2020春?盐都区期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片（ ）
A．3张
B．4张
C．5张
D．6张
【变式8-3】（2020春?漳州期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示最大长方形面积的方法：
①（2a+b）（m+n）；
②2a（m+n）+b（m+n）；
③m（2a+b）+n（2a+b）；
④2am+2an+bm+bn．
你认为其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点9
利用乘法公式求值】
【例9】（2020春?邗江区校级期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；
（2）x4+y4；
（3）x﹣y．
【变式9-1】（2020春?广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，
（1）求a2+b2的值；
（2）求（a+1）（b+1）的值；
（3）求（a﹣b）2的值．
【变式9-2】（2020春?灌云县期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2﹣b2﹣8．
【变式9-3】（2020春?新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．
（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．
【考点10
乘法公式几何背景】
【例10】（2020春?新昌县期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是
．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．
【变式10-1】（2020春?肃州区期末）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是
（写成平方差的形式）．
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是
，长是
，面积是
．（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式
．
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝
．
②计算：20202﹣2018×2022．
③计算：．
【变式10-2】（2020春?三明期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1
，
图2
，
图3
．
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．
【变式10-3】（2020春?东城区校级期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虛框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝
；
（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式
；
（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式
（填写选项）．
A．xy
B．x+y＝m
C．x2﹣y2＝mn
D．x2+y2
【考点11
整式乘除的计算与化简】
【例11】（2019春?淄川区期中）（1）计算：
①a5?（﹣a）3+（﹣2a2）4．
②．
③（﹣4x﹣3y）2．
④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2
（2）先化简，再求值：
①，其中x＝﹣1，．
②[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a，b满足2a﹣8b﹣6＝0．
【变式11-1】（2020春?郓城县期末）计算：
（1）（﹣2ab）2?3b÷（ab2）
（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92
（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y．
【变式11-2】（2020春?竞秀区期末）计算题：
（1）82019×（﹣0.125）2020
（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；
（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
【变式11-3】（2019春?南山区校级期中）（1）化简：2x（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2；
（2）计算：20092﹣2010×2008；
（3）化简：（﹣3a2）3+（﹣4a3）2；
（4）已知a2﹣3a+1＝0，求代数式（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5的值；
（5）已知m＝﹣1，n＝﹣2，求代数式（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）的值．
【考点12
整式混合运算的应用】
【例12】（2020春?衢州期中）如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．100
B．96
C．90
D．86
【变式12-1】（2020春?潜山市期末）已知图①是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，图②是大长方形，且边AB＝a+3b，将7张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形ABCD内，如图③所示，未被覆盖两个长方形用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积差为S，若BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b应满足（ ）
A．ab
B．a＝2b
C．a＝4b
D．a＝3b
【变式12-2】（2020春?瑶海区期末）如图，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．当m﹣n＝2时，S1﹣S2的值为（ ）
A．﹣2b
B．2a﹣2b
C．2a
D．2b
【变式12-3】（2020春?丹徒区期中）如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．b＝5a
B．b＝4a
C．b＝3a
D．b＝a
