_2020-2021学年九年级数学人教版下册第二十七章 相似 培优训练（Word版 含答案）

人教版 九年级数学下册 第二十七章 相似 培优训练
一、选择题
1. (2019?雅安)若，且，则的值是
A．4 B．2
C．20 D．14
2. (2019?雅安)如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与相似的是
A． B．
C． D．
3. （2020·重庆B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5
4. （2020·河北） 在图5所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是
A.四边形NPMQ B.四边形NPMR
C.四边形NHMQ D.四边形NHMR
5. （2020·嘉兴） 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（） C．（） D．（﹣2，﹣1）
6. (2019?贺州)如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于
A．5 B．6
C．7 D．8
7. （2020·内江）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（　 　）
A. 30 B. 25 C. 22．5 D. 20
8. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
二、填空题
9. 上海《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为________米．
10. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ▲ ．
11. (2019?郴州)若，则__________．
12. (2019?台州)如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为__________．
13. (2019?吉林)在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为__________m．
14. 在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C.
(1)若点A的坐标为(1,2)，请你在给出的坐标系中画出△ABC.设AB与y轴的交点为D，则＝__________；
(2)若点A的坐标为(a，b)(ab≠0)，则△ABC的形状为____________．
15. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则_________.
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4， CD⊥AB，垂足为D， E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．
三、解答题
17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2：
(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
(2)以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2.

18. 如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，与AB，CD分别交于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于点M.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．
19. （2020·苏州）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
20. 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G.
(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；
(2)请连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．

21. （2020·南京）如图，在△ABC和△A’B’C’中，D、D’分别是AB、A’B’上一点，＝.
(1)当＝＝时，求证：△ABC∽△A’B’C’.
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.
(2)当＝＝时，判断△ABC与△A’B’C’是否相似，并说明理由.
22. (2019?菏泽)如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接，，的廷长线交于点，交于点，求证：；
(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．
23. 如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于点M，连接CM交DB于点N.
(1)求证：BD2＝AD·CD；
(2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
24. 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.
(1)若c＝a1，求证：a＝kc；
(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；
(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．

人教版 九年级数学下册 第二十七章 相似 培优训练-答案
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】由a∶b=3∶4知，所以．
所以由得到：，
解得．所以．
所以．故选A．
2. 【答案】B
【解析】因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选B．
3. 【答案】C
【解析】本题考查了相似三角形的性质， ∵△ABC与△DEF位似，且，∴，因此本题选C．
4. 【答案】A
【解析】解析：连接AO并延长AO至点N，连接BO并延长PO至点P, 连接CO并延长CO至点M, 连接DO并延长DO至Q，可知，所以以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故答案为A.
5. 【答案】B
【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（–kx，–ky）.由A（4,3），位似比k＝，可得C（）因此本题选B．
6. 【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，即，解得：，故选B．
7. 【答案】 D
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20，因此本题选D．

8. 【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：
因此本题选A．
二、填空题
9. 【答案】7　[解析] ∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，
∴＝，∴＝，∴AC＝7.
10. 【答案】
【解析】由图形易证△ABC与△DEF相似，且相似比为，所以周长比为．故答案为：．
11. 【答案】
【解析】∵，∴，
故2y=x，则，故答案为：．
12. 【答案】
【解析】如图，过作于，延长交于，过作于，过作于，
设，，，，
∵，∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，即，∴，
∵，∴，
∴，即，
∴，
∵，∴，
∴，
∴当最大时，，
∵，
∴当时，，
∴，
∴的最大值为．故答案为：．
13. 【答案】54
【解析】设这栋楼的高度为h m，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋楼的影长为60 m，
∴，解得h=54(m)．故答案为：54．
14. 【答案】(1)△ABC如图 　(2)直角三角形　解析：(1)因为点A的坐标为(1,2)，所以点A关于y轴的对称点B的坐标为(－1,2)，关于原点的对称点C的坐标为(－1，－2)．连AB，BC，AC，作△ABC.
设AB交y轴于D点，如图，
D点坐标为(0,2)，
∵OD∥BC，
∴△ADO∽△ABC.
∴＝＝.
(2)∵ab≠0，∴a≠0，且b≠0，
∴点A不在坐标轴上，
∴AB∥x轴，BC⊥x轴．
∴∠ABC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
15. 【答案】或2.8
【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥x轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC∽△OEA，∵，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x，则OE=4-2x,∴=,即=,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.
16. 【答案】
【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4，由勾股定理，得AB＝5．CD⊥AB，由三角形的面积，得CD＝＝．易得△ABC∽△ACD∽△CBD，由相似三角形对应边成比例，得AD＝＝，BD＝＝．过点E作EG∥AB交CD于点G，由平行线分线段成比例，得DG＝CD＝，EG＝，所以，即，所以DF＝，故答案为．
三、解答题
17. 【答案】
解：(1)正确图形如解图．
(2)正确图形如解图．
解图
18. 【答案】
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.
又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，
∴OE＝OF.
(2)由平行四边形的性质可知DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，
∴CM＝BM＋BC＝5.
由(1)可知△BOE≌△DOF，
∴DF＝BE，
∴CF＝CD－DF＝6－BE.
∵AB∥CD，∴△MBE∽△MCF，
∴＝，即＝，∴BE＝1.
19. 【答案】
解： 证明：（1）∵四边形是矩形，∴，.∴，
∵，∴.∴，∴.
解：（2）∵，∴.
∵，是的中点，∴.∴在中，.
又∵，∴，∴.
20. 【答案】
解：(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM等．(写出两对即可)
以下证明△AMF∽△BGM.
由题知∠A＝∠B＝∠DME＝α，而∠AFM＝∠DME＋∠E，
∠BMG＝∠A＋∠E，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM.
(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC，∵M为AB中点，
∴AM＝BM＝2.
由△AMF∽△BGM得，AF·BG＝AM·BM，∴BG＝.
又AC＝BC＝4cos45°＝4，∴CG＝4－＝，CF＝4－3＝1，∴FG＝＝.
21. 【答案】
解：(1) ＝＝ ∠A＝∠A’.
(2)如图，过点D、D’分别作DE∥BC，D’E’∥B’C’,DE交AC于点E，D’E’交A’C’于点E’.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝＝.
同理＝＝.
又＝，
∴＝，
∴＝.
同理 ＝.
∴＝，即＝.
∴＝.
又＝＝，
∴＝＝，
∴△DCE∽△D’C’E’.
∴∠CED＝∠C’E’D’.
∵DE∥BC，
∴∠CED＋∠ACB＝180°.
同理 ∠C’E’D’＋∠A’C’B’＝180°.
∴∠ACB＝∠A’C’B’.
又＝
∴△ABC∽△A’B’C’.
22. 【答案】
(1)∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，，
∴，，，
即，
在与中，，
∴，∴，
∵，
∴，∴．
(2)在与中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积．
23. 【答案】
解：(1)证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC.
又∵∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴＝，即BD2＝AD·CD.
(2)∵BM∥CD，
∴BM⊥BC，∠MBD＝∠CDB＝∠MDB，
∴MB＝MD.
∵∠A＋∠MDB＝90°，∠MBA＋∠MBD＝90°，
∴∠A＝∠MBA，∴MB＝MA，
∴MB＝MA＝MD＝AD＝4.
由(1)可知BD2＝AD·CD＝48.
∴BC＝＝2 ，
∴MC＝＝2 .
∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND，
∴＝，即＝，
∴MN＝ .
24. 【答案】
(1)证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k(k>1)，
∴＝k.∴a＝ka1，又∵c＝a1，∴a＝kc.
(2)解：取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2.
此时＝＝＝2，∴△ABC∽△A1B1C1且c＝a1.
(3)解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1.理由如下：
若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1.
又∵b＝a1，c＝b1，
∴a＝2a1＝2b＝4b1＝4c，
∴b＝2c.(12分)
∴b＋c＝2c＋c＜4c＝a，与b＋c>a矛盾，
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k＝2.