2.5.2矩形的判定 同步练习（含解析）

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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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初中数学湘教版八年级下册2.5.2矩形的判定
同步练习
一、单选题
1.已知四边形ABCD中AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是（??
）
A.?AC⊥BD??????????????????????B.?∠ABC＝90°??????????????????????C.?AC与BD互相平分??????????????????????D.?AB＝BC
2.如图，在
中，对角线
与
交于点
，添加下列条件不能判定
为矩形的只有（??
）
A.???????????????B.?
，
，
??????????????C.???????????????D.?
3.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，下列条件中，可使四边形EFGH是矩形的是（????
）
A.?AB=CD?????????????????????????????B.?AC⊥BD?????????????????????????????C.?AC=BD?????????????????????????????D.?AD∥BC
4.如图,为一副重叠放置的三角板,其中∠ABC=∠EDF=90°,BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移,当EF经过AC的中点O时,直线EF交AB于点G,若BC=3,则此时OG的长度为（??
）
A.?3??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
5.如图，在
ABCD中，AB=2
，AD=4，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长(???
)
A.?2??????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????????????D.?
6.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是(???
)
A.?2
??????????????????????????????????????B.?3
??????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????D.?4
7.如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（????
）
A.?AB=CD，AD=BC，AC=BD???????????????????????????????B.?AC=BD，∠B=∠C=90°
C.?AB=CD，∠B=∠C=90°??????????????????????????????????????D.?AB=CD，AC=BD
8.如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等），把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有（??
）
A.?3种???????????????????????????????????????B.?4种???????????????????????????????????????C.?5种???????????????????????????????????????D.?6种
9.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（?
）
A.?AB＝BE???????????????????????????B.?BE⊥DC???????????????????????????C.?∠ADB＝90°???????????????????????????D.?CE⊥DE
10.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（??
）
A.?AB∥DC?????????????????????????????B.?AC=BD?????????????????????????????C.?AC⊥BD?????????????????????????????D.?AB=DC
二、填空题
11.如图，为了检查平行四边形书架
ABCD
的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线
AC，BD
的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理________．
12.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=70°，将平行四边形ABCD变化为一个矩形（图中的虚线部分），在此过程中，分析每条边的运动．AB：________；AD：________；BC：________；CD：________．
13.如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且HG与EF交于点I，连接HE、FG，若AB=6，BC=5，EF//AD，HG//AB，则HE+FG的最小值是________
．
14.如图，在矩形ABCD中，BC＝40cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快________s后，四边ABPQ成为矩形.
三、解答题
15.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作?ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．
16.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形.
17.如图，
的对角线AC，
BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE，已知AO=
1，
BO=2，
，求证：四边形OCED是矩形．
四、综合题
18.
ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF=BE，连接：BF，AF。
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE-3，DF=5，求矩形BFDE的面积。
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】【解答】解：四边形ABCD中AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是AC与BD互相平分，理由如下：
∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形.
故答案为：C.
【分析】四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，得四边形ABCD是平行四边形，又由AC＝BD，即可求得答案.
2.【答案】
C
【解析】【解答】解：A.
，对角线相等，可以判定
为矩形
，此选项不符合题意
；
B.
，
，
，可知△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，故可以判定
为矩形，此选项不符合题意
；
C.
，可以判定
为菱形，此选项符合题意
；
?
D.
，可得AO=BO,故AC=BD，可以判定
为矩形，此选项不符合题意
.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定“有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形”即可判断求解.
3.【答案】
B
【解析】【解答】解：连接AC,BD，
∵顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，
∴EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，
要使四边形EFGH为矩形，
则EF⊥EH，
故EF⊥AC，
则AC⊥BD，
故答案为：B
【分析】连接AC,BD，根据中位线的性质及矩形的判定方法即可求解.
4.【答案】
C
【解析】【解答】解：过O作OH⊥BC于H,过G作GI⊥OH于I
,
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴OH∥AB，
又O为中点，
∴H为BC的中点，
∴BH=
BC=
,
∵GI⊥OH，
∴四边形BHIG为矩形，
∴GI∥BH,GI=BH=
,
又∠F=45°，
∴∠OGI=45°，
∴OG=
.
【分析】过O作OH⊥BC于H,过G作GI⊥OH于I
,根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出OH∥AB，根据三角形中位线的判定定理的逆用得出H为BC的中点，故BH=
BC=
,很容易判断出四边形BHIG为矩形，根据矩形的性质得出GI∥BH,GI=BH=
,从而根据等腰直角三角形的性质得出OG的长。
5.【答案】
B
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC=4，AB=CD=
，
AD∥BC?????
∵AC⊥BC
∴AC⊥AD
∴∠CAD=∠ACG=∠DGC=90°
∴四边形ACGD是矩形，
∴AD=CG；
∴BG=BC+CG=4+4=8;
在Rt△ABC中，
在Rt△BDC中，
∴
△DBC和△ABC的周长差为
BD+BC+DC-AB-AC-BC=BD-AC=10-6=4.
故答案为：4.
【分析】过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，利用平行四边形的性质，可证得AD=BC=4，AB=CD=
，
AD∥BC，再证明四边形ACGD是矩形，根据矩形的性质，可证得AD=CG，由此可求出BG的长，然后利用勾股定理求出BD，AC的长，再求出△DBC和△ABC的周长差就是BD与AC的差，即可求出结果。
6.【答案】
A
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC=
=2
．
∴BE=CD=
．
∴四边形BCDE的面积为：2×
=2
．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线定理得到DF∥BC，由∠C=90°，得到四边形BCDE是矩形；根据勾股定理求出BE=CD的值，求出四边形BCDE的面积.
7.【答案】
D
【解析】【解答】A、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
B、在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴AB＝CD，
∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
C、∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
D、当四边形ABCD是等腰梯形时，也满足AB＝CD，AC＝BD，故不能判定门框合格．
故答案为：D．
【分析】条件中只给出了三角板和绳子，所以可以测量四条边的长，如果对边分别相等，可以判定为平行四边形，再测量对角线，如果对角线也相等则为矩形.
8.【答案】
B
【解析】【解答】如图，①②③，
；
；
共有4种情况，两种平行四边形，矩形和一般的四边形；
故答案为：B.
【分析】根据题意将所有情况列出即可.
9.【答案】
B
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，AD=BC，
∴DE=BC，
∴四边形DBCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵AB=BE，∴△ABE是等腰三角形，
∵DE=AD，∴BD⊥DE，
∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
B、由A知四边形DBCE是平行四边形，?
BE⊥DC?，∴四边形DBCE是菱形，错误，不符合题意.
C、由A知四边形DBCE是平行四边形，?∵∠ADB＝90°
，∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
D、由A知四边形DBCE是平行四边形，?∵CE⊥DE，∠DEC＝90°
，∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质，结合DE=AD，可证四边形DBCE是平行四边形，由于AB=CE，利用等腰三角形的性质可得BD⊥DE，则由一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形DBCE是矩形；CD都可依据一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形DBCE是矩形；而B项对角线互相垂直只能得出四边形DBCE是菱形.
10.【答案】
C
【解析】【解答】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，
故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90度．四边形EFGH为矩形．
故选C．
【分析】根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90度．由此推出AC⊥BD．
二、填空题
11.【答案】
对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角；
【解析】【解答】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角．
故答案是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【分析】根据矩形的判定和性质定理，即可解答．
12.【答案】
不动；绕点A沿逆时针旋转20°；绕点B沿逆时针旋转20°；平移
【解析】【解答】ABCD是平行四边形，两组对边分别平行，只要保证一个角为90°，则四边形ABCD即为矩形.
【分析】熟练掌握矩形的判定.平行四边形只要保证一个角为直角，则四边形为矩形.
13.【答案】
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，∠A=∠C=∠B=90°，AB∥CD，AD∥BC
∵EF//AD，HG//AB
∴四边形AHIE和四边形IFCG为矩形
∴HE=AI，FG=CI
∴HE+FG的长度也就是AI+CI的长度
又因为AI+CI≥AC
∴当A，I，C三点共线时，AI+CI最小，即AC的长度
在Rt△ABC中，
∴HE+FG的最小值为
故答案为：
【分析】由EF//AD，HG//AB，结合矩形的性质可得四边形AHIE和四边形IFCG为矩形，然后根据矩形的性质可的HE+FG的长度也就是AI+CI的长度，然后利用两点之间，线段最短求其最小值即可．
14.【答案】
10
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAQ=∠ABP=90°，AD=BC=40cm
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，此时AQ=BP
∴3x=40-x
∴x=10
故答案为：10.
【分析】根据矩形的四个角都是直角且对边相等得出∠BAQ=∠ABP=90°，AD=BC=40cm，根据运动的观点来看，DQ=x，BP=3x，故AQ=40-x，当四边形ABPQ成为矩形时，AQ=BP，从而即可列出方程，求解即可.
三、解答题
15.【答案】
证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
【解析】【分析】根据平行四边形的性质、利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形.
16.【答案】
证明：∵四边形ABDE是平行四边形，且D为BC中点
∴AE∥CD，AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵AB=AC，D为BC中点
∴∠ADC=90°
∴四边形ADCE是矩形
【解析】【分析】主要考查对矩形，矩形的性质，矩形的判定考点的理解.
17.【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD=
，
∵将△ABO平移到△DCE，
∴AO=DE=1，BO=CE=2，
∴CO=DE，DO=CE，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵CO2+DO2=1+4=5，CD2=5，
∴CO2+DO2=CD2
，
∴∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
【考点】矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD=
，由平移的性质可得AO=CO=DE=1，DO=CE=BO=2，可证四边形OCED是平行四边形，由勾股定理的逆定理可证∠COD=90°，可得结论．
四、综合题
18.【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠DFA，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DFA=∠DAF，
∴AD=DF=5，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，由勾股定理得：DE=
=4，
∴矩形BFDE的面积=DF×DE=5×4=20.
【解析】【分析】（1）先判断四边形BFDE是平行四边形，再判断出一个角等于90°，即证明出四边形BFDE是矩形。
（2）先根据角相等得出
AD=DF，再根据勾股定理求出DE，就能求出矩形BFDE的面积.
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