4.1 因式分解 课件（共24张PPT）

数学北师大版
八年级下
4.1 因式分解
1. 什么是整式?

2.整式乘法有几种形式?
(1) 2ab3·3a2b=6a3b4
(2) n(a+b+c)=na+nb+nc
(3) (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
单项式:数与字母的积
多项式：几个单项式的和
整式
单
单
单
多
多
多
（单项式×单项式）
（单项式×多项式）
（多项式×多项式）
整式乘法
3.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=______
(2)完全平方公式: (a±b)2=___________
复习巩固
993-99能被100整除吗?
探究1:
993-99
=99×992-99×1
=99（992-1）
=99×9800
=98×99×100
所以993-99能被100于整除。
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式
993-99还能被哪些数整除？
993-99=2×2×2×3×3×5×5×7×7×11在这11个数相乘中，任取几个数的积都可被整除如
2，3，6，7，11，21，22，49，98，49×11等
尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式.
探究2:
解：a3-a
=a×a2-a×1
=a(a2-1)
=a(a-1)(a+1)
平方差公式反过来用
ma+mb+mc
m(a+b+c)
前后面积相等
x2+2x+1
（x+1）2
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式，
也叫因式分解。
ma+mb+mc=m(a+b+c)
a3-a=a(a-1)(a+1)
x2+2x+1=x+1）2
特征是向着和差化积的形式
a2-b2=(a+b)(a-b)
=(a+b)2
=m(a+b)
(a+b)(a-b)
(a+b)2
m(a+b)
=a2-b2
=a2+2ab+b2
=am+bm
整式乘法
因式分解
整式的积
多项式
多项式
整式的积
a2+2ab+b2
am+bm
你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？
计算下列各式:
3x(x-1)= _____
m(a+b-1)=______
(m+4)(m-4)= ____
(y-3)2= _______
根据左面的算式进行因式
分解:
3x2-3x=_______
ma+mb-m=______
(3) m2-16=__________
(4) y2-6y+9=______
3x2-3x
ma+mb-m
m2-16
y2-6y+9
3x(x-1)

(m+4)(m-4)
(y-3)2
探究3:
m(a+b-1)
分解因式与整式乘法是互 为逆运算关系.
【例1】下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　) A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1) C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z　 D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2
D
变 式 练 习
C
C
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
是
不是
是
不是
不是
不是
不是
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
多项式 几个整式的积
【例2】下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些是整式乘法？哪些两者都不是？
解：是整式乘法；
(2)10x2－5x＝5x(2x－1)；
解：是因式分解；
(3)y2－4y＋4＝(y－2)2；
解：是因式分解；
(4)t2－16＋3t＝(t＋4)(t－4)＋3t.
解：既不是因式分解也不是整式乘法．
(1)a(x＋y)＝ax＋ay；
判断下列各式哪些是整式乘法？哪些是因式分解？
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2) 2x(x-3y)=2x2-6xy
(3) (5a-1)2=25a2-10a+1
(4) x2+4x+4=(x+2)2
(5) (a-3)(a+3)=a2-9
(6) m2-4=(m+4)(m-4)
(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r)
练一练：
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
整式乘法
是因式分解
因式分解
2 0192＋2 019能被2 020整除吗？
解：因为2 0192＋2 019
＝2 019×2 019＋2 019×1 ＝2 019×(2 019＋1)
＝2 019×2 020， 所以能被2 020整除．
例3:把左、右两边相等的代数式用线连起来.
思考：若关于x的二次三项式x2＋kx＋b因式分解为(x－2)(x－3)，求k＋b的值．
解：因为(x－2)(x－3)
＝x2－5x＋6
＝x2＋kx＋b， 所以k＝－5，b＝6，
故k＋b＝－5＋6＝1.
例3：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及m的值．
则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
解：设另一个因式为(x＋n)，得
∴ n＋3＝－4，m＝3n，解得n＝－7，m＝－21，
∴ 另一个因式为(x－7)，m的值为－21.
问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是(2x－5)，求另一个因式以及k的值．
解：设另一个因式为(x＋a)，得 2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)， 则2x2＋3x－k＝2x2＋(2a－5)x－5a， ∴2a－5＝3，－5a＝－k，
解得a＝4，k＝20， 故另一个因式为(x＋4)，k的值为20.
课堂小结：
分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点：
1、分解的对象必须是多项式.
2、分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3、要分解到不能分解为止.
x
x
1
2
作业布置
习题4.1做在书上
谢谢
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