6.1.2 平行四边形的性质 课件（共21张PPT）

数学北师大版
八年级下
6.1平行四边形的性质（第2课时）
求证: OA=OC, OB = OD.
证明: ∵四边形 ABCD是平行四边形,
AB= CD (平行四边形的对边相等),
AB//CD (平行四边形的定义) .
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴ OA= OC, OB= OD.
已知:如图6--4, ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
定理:平行四边形的对角线互相平分
例2. 如图6-1-29所示，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作一条直线分别交AB，CD于点E，F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若AB=6，BC=5，OE=2，求四边形BCFE的周长.
（1）证明：在 ABCD中，
∵AC与BD相交于点O，
∴OA=OC，AB∥CD.
∴∠OAE=∠OCF.
在△OAE和△OCF中，∠OAE=∠OCF,
OA=OC,
∠AOE=∠COF，
∴△OAE≌△OCF（ASA）.
∴OE=OF.

（2）解：∵△OAE≌△OCF，
∴CF=AE.
∴BE+CF=AB=6.
又∵EF=2OE=4，
∴四边形BCFE的周长=BE+BC+CF+EF=6+4+5=15.
例2. 如图6-1-29所示，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作一条直线分别交AB，CD于点E，F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若AB=6，BC=5，OE=2，求四边形BCFE的周长.
【例3】如图6-1-28， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.
（1）求证：OF=OE；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求ABCD的周长.
（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，DC∥AB.∴∠FDO=∠EBO.在△DFO和△BEO中，∠FDO=∠EBO,
OD=OB,
∠FOD=∠EOB，
∴△DFO≌△BEO（ASA）.
∴OF=OE.
（2）解:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC.∵EF⊥AC，∴AE=CE.∵△BEC的周长是10，∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10.
∴ ABCD的周长=2（BC+AB）=20.
【例3】如图6-1-28， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.
（1）求证：OF=OE；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求ABCD的周长.
例4.如图6-1-38，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EO⊥AC.
（1）若△ABE的周长为10 cm，求 ABCD的周长；
（2）若∠ABC=78°，AE平分∠BAC，试求∠DAC的度数.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵OE⊥AC，
∴AE=CE.
故△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BC=10（cm）.
根据平行四边形的对边相等，得 ABCD的周长为2×10=20（cm）.
（2）∵AE=CE，∴∠EAC=∠ECA.
∵∠ABC=78°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAC=∠ECA.
∴3∠ACE+78°=180°.∴∠ACE=34°.
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACE=34°.
例4.如图6-1-38，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EO⊥AC.
（1）若△ABE的周长为10 cm，求 ABCD的周长；
（2）若∠ABC=78°，AE平分∠BAC，试求∠DAC的度数.
作业布置
1.如图6-1-18，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∴∠BAC=∠DCA.
∴180°-∠BAC=180°-∠DCA，
即∠EAB=∠FCD.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEA=∠DFC=90°.
在△BEA和△DFC中，
∴△BEA≌△DFC（AAS）. ∴AE=CF.
∠BEA=∠DFC
∠EAB=∠FCD
AB=CD
2. 如图6-1-19，在 ABCD中，E是BC边上一点，连接DE，使得DE=AD，作∠DAF=∠CDE.求证：
（1）△DAF≌△EDC；（2）AE平分∠BAF.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠ADE=∠DEC.
在△DAF和△EDC中，
∴△DAF≌△EDC（ASA）.
∠DEA=∠EDC
AD=DE
∠ADF=∠DEC
（2）∵△DAF≌△EDC，∴∠AFD=∠C.
∵DE=AD，∴∠AEF=∠DAE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠DAE=∠AEB,∠B+∠C=180°.
∴∠AEB=∠AEF.
∵∠AFE+∠AFD=180°，∴∠B=∠AFE.
在△BAE和△FAE中，
2. 如图6-1-19，在 ABCD中，E是BC边上一点，连接DE，使得DE=AD，作∠DAF=∠CDE.求证：
（1）△DAF≌△EDC；（2）AE平分∠BAF.
∴△BAE≌△FAE（AAS）.
∴∠BAE=∠FAE，
即AE平分∠BAF.
∠B=AFE
∠AEB=AEF
AE=AE
3. 如图6-1-20，在 ABCD中，AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，PQ∥AD，若AD=5 cm，AP=8 cm，求△ABP的面积.
解: ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//CB.
∴∠DAB+∠CBA=180°.
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
在△APB中，∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=90°.
∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB.
∵AB//CD，∴∠PAB=D∠PA.
∴∠DAP=∠DPA. ∴△ADP是等腰三角形.
∴AD=DP=5(cm).
××
4. 如图6-1-36，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=AC，延长BC到点E，使CE=BC，连接AE，分别交BD,CD于点F，G.
求证：△ADB≌△CEA.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ABC+∠BAD=180°.
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠BAD=∠ACE.
∵CE=BC，∴CE=AD，
在△ADB和△CEA中，AD=CE,∠BAD=∠ACE,AB=CA，
∴△ADB≌△CEA（SAS）.
5. 如图6-1-37，在 ABCD中，AB=5，AC=4，AD=3.
（1）求 ABCD的面积；
（2）求BD的长.
5. 如图6-1-37，在 ABCD中，AB=5，AC=4，AD=3.
（1）求 ABCD的面积；
（2）求BD的长.
6. 如图6-1-39，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F.
（1）求证：CF=CD；
（2）若AF平分∠BAD，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由.
在△BAE和△CFE中，∠BAE=∠CFE,
∠EBA=∠ECF,
BE=CE，
∴AB∥CD，AB=CD.
∴AB∥DF.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA.
∵E为BC的中点，∴BE=CE.
∴△BAE≌△CFE（AAS）.
∴BA=CF. ∴CF=CD.
（2）解：DE⊥AF.
理由如下：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF.
∵∠BAF=∠DFA，∴∠DAF=∠DFA.
∴DA=DF.
又由（1）知△BAE≌△CFE，
∴AE=EF. ∴DE⊥AF.
6. 如图6-1-39，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F.
（1）求证：CF=CD；
（2）若AF平分∠BAD，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由.
谢谢
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