1.1.1 等腰三角形的判定与反证法 课件（共24张PPT）

数学北师大版
八年级下
1.1.1 等腰三角形

第3课时等腰三角形的判定与反证法
等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题
的题设和结论分别是什么？
我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？
等边对等角
条件:等腰三角形,结论:两底角相等
已知：在△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC．
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
则∠ADB=∠ADC．
∵在△ABD与△ACD中，
∠B＝∠C ，∠ADB＝∠ADC， AD＝AD ，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB=AC．
C
B
A
分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．
D
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(等角对等边.)
等腰三角形的判定定理：
在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.
几何语言
A
C
B
例1 已知:如图所示,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E, 求证△AED是等腰三角形.
证明:∵AB=DC, BD=CA,AD=DA,
∴ △ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).
∴AE=DE(等角对等边).
∴ △AED是等腰三角形.
例2 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系；
∴∠2＝∠ABO ∠3＝∠ACO
解：EF=BE+CF
A
B
C
O
E
F
1
3
2
4
理由：∵ EF∥BC
∴∠1＝∠2 ∠3＝∠4
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠1＝∠ABO ∠4＝∠ACO
∴CF=OF
∵ EF=EO+FO
∴EF＝BE+CF
∴BE＝OE
练习1　如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．
A
B
C
D
证明：△ABC是等腰三角形．
在△ABC中，∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°-（72°+36°）=72°．
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
有3个,分别是△ABC,△ABD,△DBC
2.如图所示,已知AB=AC,E,D分别在AB,AC上,BD与CE交于点F,且∠ABD=∠ACE,求证BF=CF.
证明:连接BC,∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=∠ACE,
∴∠FBC=∠FCB,
∴FB=FC.
3.如图所示,在△ABC中,BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于F交BC于E,求证△DBE是等腰三角形.
证明:∵BA=BC,∴∠A=∠C.
∵DF⊥AC,∴∠C+∠FEC=90°,∠A+∠D=90°.
∴∠FEC=∠D. ∵∠FEC=∠BED,∴∠BED=∠D.
∴BD=BE,即△DBE是等腰三角形.
想一想
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法：
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC
C
B
A
再如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法.
在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
所以∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
反证法
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法（reduction to absurdity）。
例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
用反证法来证:
证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
练习1．用反证法证明：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设在△ABC中，∠A，∠B，∠C均大于60°，设∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，
则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．所以假设不成立，故△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
2．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设( )
A．至少有一个内角是直角
B．至少有两个内角是直角
C．至多有一个内角是直角
D．至多有两个内角是直角
3．请举反例说明命题“对于任意实数x，x2＋5x＋5的值总是正数”是假命题．你举的反例是____.(写出一个x的值即可)
B
－2
提高训练：如图所示，在△ABC中，
已知∠ABC＝∠ACB，
BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.
(1)想想看，你能得到什么结论？
(2)若过点O作一直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F，则图②中有哪几个等腰三角形？线段EF和EB，FC之间有怎样的关系？
(3)若∠ABC≠∠ACB，其他条件不变，图③中是否还有等腰三角形？(2)中第二问的关系是否还存在？写出你的理由．
解：(1)△OBC是等腰三角形(BC为底)或
∠BOC＝90°＋ ∠A　
(2)等腰三角形有△ABC，△OBC，△BOE，△OCF，△AEF.EF＝EB＋FC
(3)等腰三角形有△BOE，△COF，仍有EF＝EB＋FC.理由：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB.又∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠BOE，∠OCB＝∠COF，∴∠BOE＝∠EBO，∠COF＝∠FCO，∴EB＝EO，FC＝FO.∴EF＝EO＋FO＝EB＋FC
1.有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(等角对等边.)
本课小结
2.反证法
课后作业：1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，
∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不
与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，
DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝________，
∠DEC＝________；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变________(填“大”或“小”)；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？
若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE.理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC＋∠EDC＝140°.又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB＋∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC.
又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE(AAS)
25°
115°
小
课后作业：1,如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，
∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不
与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，
DE交线段AC于点E.
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？
若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是
等腰三角形．理由：当∠BDA＝110°时，∠ADC＝70°.
∵∠C＝40°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C
＝180°－70°－40°＝70°，
∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°，
∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴△ADE的形状是等腰三角形．
当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°，
∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE的形状是等腰三角形
2.如图，在△ABC中,∠BAC=90°,
AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于F,求证：△AEF是等腰三角形。
证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∴∠FBD+∠BFD=90O
又∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠CBE
∵ ∠BAC=90°,
∴∠ABE+∠AEF=90O
又∵∠AFE= ∠BFD
∴∠AFE=∠AEF
∴△AEF是等腰三角形
3.阅读并证明：在一个三角形中，较大的角所对的边较大，较小的角所对的边较小，简称为大角对大边，小角对小边，可用等腰三角形的判定定理给出证明，
如图，在△ABC中，∠A＞∠B,求证：BC＞AC.
证明：在∠BAC的内部作∠BAD=∠B,交BC于点D。
D
∵∠BAD=∠B ∴AD=BD 又∵在△ACD中，AD+CD＞AC 即BD+CD＞AC ∴BC＞AC
4．(7分)如图，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置，BE交AD于点F.
求证：重叠部分(即△BDF)是等腰三角形．
证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.
又∵△BDE与△BDC关于BD所在的直线对称，∴∠FBD＝∠DBC，
.∴∠ADB＝∠FBD，∴DF＝BF，
∴重叠部分(即△BDF)是等腰三角形
5. 如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测∠NAC=40°∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离。
解：∵∠NBC=∠A+∠C
∴∠C=80°- 40°= 40°
∴ ∠C = ∠A
∴ BA=BC（等角对等边）
∵AB=20（12-10）=40
∴BC=40
答：B处到达灯塔C的距离是40海里。
80°
40°
N
B
A
C
北
谢谢
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