1.1.2 等腰三角形的特殊性质与等边三角形 课件（共18张PPT）

数学北师大版
八年级下
1.1.1 等腰三角形
第2课时等腰三角形的特殊性质与等边三角形
A
E
B
D
C
1
2
等腰三角形两底角的平分线相等
证明：∵AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线
∴∠1=? ∠ABC ,∠2= ∠ACB
∴∠1=∠2
在△ABD和△ACE中
∠1=∠2（已证）
AB=AC（已知）
∠A=∠A（公共角）

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线。求证：BD=CE
∴△ABD≌△ACE(ASA)
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
方法二证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
A
E
B
D
C
1
2
1、已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的高．
等腰三角形两腰上的高相等.
求证：BD=CE．
E
D
C
B
A
证明：∵ BD、CE是△ABC的高
∴∠AEC=∠ADB=90°
在△ABD和△ACE中，
∠AEC=∠ADB=90°（已证）
∠A=∠A（公共角）
AB=AC（已知）
∴△ABD≌△ACE(AAS)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
2、已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的中线．
等腰三角形两腰上的中线相等.
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC（已知）
又∵BD、CE是△ABC的中线
∴AE= AB AD= AC
∴AE=AD
在△ABD和△ACE中，
AE=AD（已证）
∠A=∠A（公共角）
AB=AC（已知）
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
A
C
B
M
N
议一议
E
D
C
B
A
在等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗?如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?
结论：等腰三角形中的对应线段相等
(2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?如果AD= AC，AE= AB呢?由此你得到什么结论?
BD=CE
BD=CE
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角)
同理：∠C=∠A
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）
又∵∠A+∠B+∠C＝180°
∴∠A=∠B=∠C＝60°
定理：等边三角形三个内角都相等，且每个内角都等于60°
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC
求证：∠A=∠B=∠C=60°
A
B
C
等边三角形的性质:
名称
图 形
性 质
等
边
三
角
形
边
角
顶角平分线
底边中线
底边高线
对称性
三个内角相等，且为60°
三线合一
三条边都相等
轴对称图形，三条对称轴
随堂练习 及时巩固
一、如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
求证:AE=CD
A
B
C
D
E
证明:
∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD
∴ △ABE≌△CBD
∴AE=CD
二、如图，等边△ABC中，CE为BC的延长线，且CE=CD，求∠E等于多少度？?
解：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°
∵ CE=CD(已知)
∴∠E=∠EDC(等边对等角)
又∵∠ACB=∠E+∠EDC=60°
∴∠E=∠EDC=30°
提高训练(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
点D，E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；
(2)如图②，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D，E在
直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝____；
(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数
(直接写出答案，用含n的式子表示)．
解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，∠BCE＝(180°－∠B)÷2.
∵∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°，∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°　
(2)如图②，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D，E在
直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝____；
(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数
(直接写出答案，用含n的式子表示)．
110°
(3)①如题图①，∠DCE＝90°－ n°； ②如题图②，∠DCE＝90°＋ n°；
③如图③，∠DCE＝ n°； ④如图④，∠DCE＝ n°； ⑤如图⑤，∠DCE＝ n°
等边三角形的性质:
三个内角都相等，且为60°
三线合一
三条边都相等
轴对称图形，有三条对称轴
等腰三角形两底角的平分线相等
等腰三角形两腰上的高相等
等腰三角形两腰上的中线相等
等腰三角形中的对应线段相等
本课小结
课外作业：1、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以PB为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
解：猜想：AP＝CQ.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，
∵∠PBQ＝60°，∴∠ABC＝∠PBQ，∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ.在△ABP和△CBQ中，
∵AB＝CB，∠ABP＝∠CBQ，BP＝BQ，
∴△ABP≌△CBQ，∴AP＝CQ
2、(12分)如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数．
谢谢
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