5.2探索轴对称的性质 课件（共30张PPT）

数学北师大版
七年级下
5.2　探索轴对称的性质
复习回顾
轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫这个图形的对称轴。
轴对称：对于两个图形，把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称。
这条直线就是对称轴。
l
（1）上图中，两个“14”有什么关系？
（成轴对称）
探究新知(P118)
l
A
A’
（2）点A与点A’有什么位置关系？
（成轴对称）
l
（3）线段AB与线段A’B’有什么位置关系？
A
B
A’
B’
线段CD与线段C’D’呢？
C
D
C’
D’
（成轴对称）
l
（4）∠1与∠2有什么位置关系？
∠3与∠4呢？
1
2
3
4
（成轴对称）相等
ΔABC与ΔA′B′C′ 关于直线MN对称，则
点A与A′叫做 ，点B与B′叫做
A
A′
C
B
B′
C′
N
M
线段AB与A′B′叫做
对应点
对应点
对应线段
线段AA′，BB′，CC′叫做
对应点的连线
对应角
∠ABC与∠A′B′C′叫做
新知讲解
l
1
2
A
A’
B
B’
思考：1、对应点所连线段与对称轴有什么关系？
对应点的连线被对称轴垂直平分；
所以 线段OA、OA′重合，
因为 ∠1＝∠2 且 ∠1＋∠2＝180°，
即 O是AA′的中点．
所以 ∠1＝∠2＝90°．
m
A
A′
●
●
2
o
1
活动
把一张白纸对折，扎一个小孔，记为A,随后展开,另一个点记为A′，连结A和A′两点，观察、分析AA′和折痕m有什么关系？
探究结论：对应点所连接线段被对称轴垂直且平分。
因为 把纸沿折痕 m 折叠时，点A,A′重合，
所以A,Am垂直且平分
l
1
2
A
A’
B
B’
思考：2、对应线段有什么关系？

3、对应角有什么关系？
对应线段相等；
对应角相等。
1．成轴对称的两个图形
对应点的所连的线段被对称轴垂直平分．
成轴对称的两个图形的性质：
2．成轴对称的两个图形
对应线段等，对应角等．
新知掌握
前三个活动我们探究了成轴对称的两个图形，我们现探究轴 对称图形：
（1）你能找出它的对称轴吗?
（2）连接点A与点A1的线段与对称轴有什么关系？连接点B与点B1的线段呢？
B
C
D
D1
C1
B1
3
4
1
2
A
A1
做一做:
被对称轴垂直平分
（3）线段AD与线段A1D1有什么数量关系？线段BC与B1C1呢？为什么？
（4）∠1与∠2有什么关系? ∠ 3与∠4呢？说说你的理由？
B
C
D
D1
C1
B1
3
4
1
2
A
A1
对应线段等，
对应角等
例：已知三角形ABC,作出关于直线a为对称轴的图形
------
------
-----------
-----------
-------
-------
------
------
-----------
-----------
A′
B′
C′
C′
A′
B′
图5-7是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，请画出这个图的另一半。
方法：
补全轴对称图形的关键是先找准关键点，过此点作对称轴的垂线段,再延长一倍,得到它的对称点,依此把所有的关键点作出来.再把对应的线段连起来。
做一做:
做一做 图5-7是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半.
方法：
补全轴对称图形的关键是先找准关键点，过此点作对称轴的垂线段,再延长一倍,得到它的对称点,依此把所有的关键点作出来.再把对应的线段连起来。
1.画对称轴
(1)如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
(2)对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
要点精析：①作对称轴的前提是两个图形成轴对称或一个图形是轴对称图形，否则不能作对称轴；
②对于轴对称图形，由于对称轴不一定唯一，因此要注意选取不同类型的对应点，作出其所有的对称轴．
知识归纳
例1
如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，你能画出这条直线吗？
能．
(1)连接AD；
(2)取AD的中点O，过O作直线MN⊥AD，
则MN即为所求作的直线．如图.
解：
2.画原图关于某直线对称的图形：
(1)依据：如果两个图形关于某一条直线对称，那么连
接任意一组对应点的线段被对称轴垂直平分．
(2)画原图关于某直线对称的图形的步骤：
画原图关于某直线对称的图形要经历一找二作三连
这三个步骤：
①找：在原图形上找特殊点(如线段的端点)；
②作：作各个特殊点关于对称轴的对称点；
③连：按原图的顺序连接所作的各对称点．
要点精析：
(1)图形上的特殊点还有角的顶点，图形中边与边的交点等
(2)对称轴上的点的对称点是它本身；
(3)找图形上的特殊点时，要找全，否则画出的对称图形不准确．
(3)画出的新图形与原图形的关系：
①新图形与原图形的形状、大小完全相同；
②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对
称轴的对称点；
③连接任意一组对应点的线段被对称轴垂直平分．
想想：一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把 变成一个真正的等式？”过了很长时间，也没有人答出。
小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这道题目。
你知道她是怎样做的吗？
你知道为什么吗？
1、如图，已知点P 是∠AOB内任意一点，点 P1，P 关于OA对称，点 P2，P 关于OB对称。连接P1P2，分别交OA，OB于C， D。连接PC，PD。若P1P2＝10cm，则△PCD的周长为________。
10cm
P
.
.
.
P2
P1
C
D
B
A
O
巩固练习
如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是(　　)
A．150°　　B．300°
C．210° D．330°
例2
B
由轴对称的性质可知：
∠AFC＝∠EFC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠EFC＋∠DCF＝∠AFC＋∠BCF＝150°，
∴∠AFE＋∠BCD＝∠AFC＋∠EFC＋∠BCF＋∠DCF
＝150°＋150°＝300°.
例3
如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站，分别向A，B两个开发区运货，若要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应修建在何处？说明理由．
①作点A关于直线MN的对称点A′；
②连接BA′交MN于点P，则点P就
是货物中转站的位置．如图.
理由：如图，在直线MN上另取一点P′，连接AP，
A′P′，AP′，BP′.因为直线MN是点A，A′的对称轴，
点P，P′在对称轴上，所以PA＝PA′，P′A＝P′A′.所以
PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B.在△A′P′B中，因为A′B＜
P′A′＋P′B，所以PA＋PB＜P′A′＋P′B，即PA＋PB＜
P′A＋P′B，所以PA＋PB最小．
解：
练习1:如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕．
(1)试说明：△FGC≌△EBC；
(2)若AB＝8，AD＝4，
求四边形ECGF(阴影部分)
的面积．
课外作业
解：(1)由题意知∠BCF＝∠ECG＝90°，
所以∠GCF＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠BCE＝90°，
所以∠GCF＝∠BCE.又因为∠G＝∠B＝90°，
GC＝BC，所以△FGC≌△EBC. (2)由(1)知，DF＝GF＝BE，
所以四边形ECGF的面积＝四边形AEFD的面积
＝四边形EBCF的面积＝ 四边形ABCD的面积
＝ ×8×4＝16.

2：如图所示，AD为 △ABC 的高，∠B＝ 2∠C ，借助于轴对称的性质想一想：CD与AB＋BD相等吗？请说明你的理由.
答：相等，理由如下：
在DC上截取DE使DE＝DB，连接AE
∵AD⊥BE且DB＝DE ∴B、E关于AD对称
∴△ABD与△AED关于直线AD对称
∴ △ABD ≌ △AED ∴AB＝AE，∠AED＝ ∠B
又∵ ∠B＝2 ∠C ∴ ∠AED＝ 2 ∠C
而∠AED＝ ∠C ＋ ∠CAE ∴ ∠CAE ＝ ∠ C
∴AE＝CE ∴AB＝CE 故AB＋BD＝DE＋EC
即：AB＋BD＝CD
谢谢
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