向量数量积的概念
(20分钟 35分)
1.已知?ABCD中∠DAB=30°,则与的夹角为
( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选D.如图,与的夹角为∠ABC=150°.
2.(2020·长沙高一检测)如图,AB为圆O的一条弦,且=4,则·=
( )
A.4
B.-4
C.8
D.-8
【解析】选D.设AB的中点为M,连接OM,
则OM⊥AB,则·=2·
=2||||cos
=-2×2·||·cos
∠OAB=-4||=-8.
3.(2020·西安高一检测)在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD是
( )
A.菱形
B.矩形
C.直角梯形
D.等腰梯形
【解析】选A.因为=,所以AB与DC平行且相等,所以四边形ABCD为平行四边形.
又·=0,所以AC⊥BD,即平行四边形ABCD的对角线互相垂直,所以平行四边形ABCD为菱形.
4.给出以下命题:
①若a≠0,则对任一非零向量b都有a·b≠0;
②若a·b=0,则a与b中至少有一个为0;
③a与b是两个单位向量,则a2=b2.
其中,正确命题的序号是 .?
【解析】三个命题中只有③正确,因为|a|=|b|=1,
所以a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,故a2=b2.
当非零向量a,b垂直时,有a·b=0,显然①②错误.
答案:③
5.已知|a|=4,e为单位向量,a在e方向上的投影的数量为-2,则a与e的夹角为 .?
【解析】因为a在e方向上的投影的数量为-2,
即|a|cos
=-2,
所以cos==-,
又∈[0,π],所以=.
答案:
6.已知a,b是两个非零向量,且满足|a+b|=|a-b|=2|a|,求向量a+b与a-b的夹角.
【解析】如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,
因为|a+b|=|a-b|,所以四边形ABCD为矩形.
在Rt△ABD中,|a-b|=2|a|,
所以∠ABD=.
所以a+b和a-b的夹角为.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·重庆高一检测)最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,我国的《九章算术》也有记载,所以商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有△ABC满足“勾3股4弦5”.其中AB=4.D为弦BC上一点(不含端点),且△ABD满足勾股定理.则·=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.依题意可得,AD⊥BC,
由等面积法知AD==,
又在上的投影的数量为,
所以·=||2=.
2.已知非零向量与满足·=0且·=
,
则△ABC为
( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
【解析】选D.非零向量与满足
·=0,
即∠A的平分线垂直于BC,
所以
AB=AC.
又因为cos
A=·=
,
所以∠A=,所以△ABC为等边三角形.
3.(2020·武汉高一检测)设a,b为向量,则“=”是“a∥b”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.设向量a,b的夹角为θ.
根据向量数量积的运算,=
,
若=,
即=,
所以cos
θ=±1,即θ=0°或180°,
所以a∥b.
若a∥b,
则a与b的夹角为0°或180°,
所以=cos
0°=或=cos
180°=-,
即==|a||b|.
所以“=”是“a∥b”的充分必要条件.
4.三角形ABC的外接圆圆心为O,半径为2,++=0且||=||,则在方向上的投影的数量为
( )
A.1
B.2
C.
D.3
【解析】选C.如图,设BC中点为D,
则+=2,又++=0,
所以+=-=,所以=2,
所以A,D,O三点共线且D为AO的中点,连接OB,
因为||=||=2,所以△OAB为等边三角形,所以BC⊥AD,所以即为在方向上的投影,易知,在Rt△ACD中,AC=AB=2,AD=1,
所以CD=.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·济南高一检测)对任意平面向量a,b,c,下列命题中的真命题是
( )
A.若a·b=b·c,则a=c
B.若a=b,b=c,则a=c
C.-<+
D.≤
【解析】选BD.若a·b=b·c,则a=c,反例b=0,则a与c具有任意性,所以A不正确;
若a=b,b=c,则a=c,向量相等的充要条件,所以B正确;
-<+,如果b=0,则不等式不成立,所以C不正确;
=|cos|≤,所以D正确.
6.关于菱形ABCD的说法中,正确的是
( )
A.∥
B.(+)⊥(+)
C.(-)·(-)=0
D.·=·
【解析】选ABC.因为四边形ABCD为菱形,
所以AB∥CD,所以∥,A正确;
因为对角线AC与BD互相垂直,且+=,+=,
所以⊥,即(+)⊥(+),B正确;
因为-=,-=,又因为⊥,即·=0,所以(-)·(-)=0,C正确;
易知<,>=180°-<,>,且||=||
=||=||,
所以·=-·,D错误.
【补偿训练】
已知等腰直角三角形ABC中,C=90°,面积为1,则下列结论正确的是
( )
A.·=0
B.·=2
C.·=2
D.||cos
B=||
【解析】选ABD.在等腰直角三角形ABC中,C=90°,面积为1,则AC2=1,得AC=,得AB=2,
所以·=0
,选项A正确;
·=||||cos
45°=2,选项B正确;
·=||||cos
135°=-2,选项C不正确;
向量在上投影的数量为||,即||cos
B=||,选项D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知等腰直角三角形ABC中,D是斜边AB的中点,则CD和AC的夹角为 ,和的夹角为 .?
【解析】在等腰直角三角形ABC中,D是斜边AB的中点,
则CD⊥AB,
CD和AC的夹角为45°,和的夹角为135°.
答案:45° 135°
8.给出下列命题:
①在△ABC中,若·<0,则△ABC是锐角三角形;②在△ABC中,若·>0,则△ABC是钝角三角形;③△ABC是直角三角形?·=0.
其中,真命题的序号是 .?
【解析】利用向量数量积的符号,可以判断向量的夹角是锐角、直角,还是钝角.
①因为·<0,所以·=-·>0,所以∠B是锐角,但并不能断定其余的两个角也是锐角.所以推不出△ABC是锐角三角形.故命题①是假命题.
②因为·>0,所以·=-·<0,∠B是钝角,因而△ABC是钝角三角形.故命题②是真命题.
③若△ABC是直角三角形,则直角可以是∠A,也可以是∠B,∠C.而·=0仅能保证∠B是直角.故命题③是假命题.
答案:②
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,求a与b的夹角的取值范围.
【解析】因为方程x2+|a|x+a·b=0有实根,
所以Δ=|a|2-4a·b≥0,所以a·b≤|a|2.
cos===≤=,又因为0≤≤π,所以≤≤π.
即a与b的夹角的取值范围为.
10.已知△ABC的面积S满足≤S≤3,且·=6,与的夹角为θ.求θ的取值范围.
【解析】因为·=||||cos
θ=6>0,
所以cos
θ>0,所以θ为锐角,如图,过C作CD⊥AB,垂足为D,则|CD|=|BC|
sin
θ.
由题意知,·=||||cos
θ=6, ①
S=|AB||CD|=||||sin
θ. ②
由②÷①得=tan
θ,即3tan
θ=S.
因为≤S≤3,所以≤3tan
θ≤3,即≤tan
θ≤1.
又因为θ为与的夹角,θ∈[0,π],
所以θ∈.
若Ai是△AOB所在平面内的点,且·=·,给出下列说法:
(1)||=||=||=…=||;
(2)的最小值一定是;(3)点A和点Ai一定共线;(4)向量及在向量方向上的投影的数量必定相等.其中正确说法的个数是
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选B.根据两个向量的数量积的定义,
·=·为定值,而·
=||||cos<,>,
所以||=,故(1)不一定成立,(2)也不一定成立.向量及在向量方向上的投影的数量为,故(4)正确.
因为·=·,所以(-)·=0,
所以·=0,⊥,即点A,Ai在一条直线上,如图,故(3)正确.
PAGE向量数量积的运算律
(20分钟 35分)
1.已知|a|=2,b是单位向量,且a与b夹角为60°,则a·(a-b)等于( )
A.1
B.2-
C.3
D.4-
【解析】选C.a·(a-b)=a2-a·b=4-2×1×cos
60°=3.
2.(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是
( )
A.a+2b
B.2a+b
C.a-2b
D.2a-b
【解析】选D.由已知可得:a·b=··cos60°=1×1×=.
A:因为(a+2b)·b=a·b+2b2=+2×1=≠0,
所以本选项不符合题意;
B:因为(2a+b)·b=2a·b+b2=2×+1=2≠0,
所以本选项不符合题意;
C:因为(a-2b)·b=a·b-2b2=-2×1=-≠0,所以本选项不符合题意;
D:因为(2a-b)·b=2a·b-b2=2×-1=0,
所以本选项符合题意.
【补偿训练】
若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选C.由(2a+b)·b=0,得2a·b+b2=0,
所以2|a||b|cos+|b|2=0.
所以cos=-=-=-,
所以=120°.
3.(2020·潍坊高一检测)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k的值为
( )
A.2
B.-2
C.1
D.不确定
【解析】选C.因为向量a+b与向量ka-b垂直,
所以(a+b)(ka-b)=0,
即ka2-b2+(k-1)a·b=0
,
因为a与b为单位向量,所以k-1+(k-1)a·b=0,即(k-1)(a·b+1)=0.
因为a与b为两个不共线的单位向量,
所以a·b+1≠0,所以k-1=0,所以k=1
.
4.(2020·福州高一检测)在△ABC中,若BC=8,BC边上的中线长为3,则·=
( )
A.-7
B.7
C.-28
D.28
【解析】选A.在△ABC中,设BC的中点为D,
则=-.
由题意知=4,=3.
则·=·
=·=-=9-16
=-7.
5.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为 .?
【解析】设=a,=b,则=a-b,=a+b,
而||=|a-b|====2,所以5-2a·b=4,所以a·b=,s
又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2
=1+4+2a·b=6,
所以||=,即AC=.
答案:
6.(2020·武汉高一检测)已知=1,=4,且向量a与b不共线.
(1)若a与b的夹角为60°,求·;
(2)若向量ka+b与ka-b互相垂直,求k的值.
【解析】(1)(2a-b)·(a+b)=2a·a+a·b-b·b
=2+cos
60°-
=2×1+1×4×cos
60°-42=-12.
(2)由题意可得:(ka+b)·(ka-b)=0,
即k2a2-b2=0,
所以k2-16=0,
所以k=±4.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设O为△ABC的外心,OD⊥BC于D,且||=,||=1,则·(-)的值是
( )
A.1
B.2
C.
D.
【解析】选A.由O是△ABC的外心及OD⊥BC可知D为边BC的中点,易知=(+),
所以·(-)=(+)·(-)
=(||2-||2)=1.
2.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的最小值为
( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选D.因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,
所以a与c的夹角为60°.
又|a-c|=
==,
故当|c|=时,|a-c|的最小值为.
3.在矩形ABCD中,AB=2,点P为直线BC上一点,则·=
( )
A.0
B.2
C.4
D.8
【解析】选D.由题意,得PB⊥BA,PC⊥BA,
所以(+)·=(+++)·
=(+)·=+·=2=8.
4.(2020·合肥高一检测)如图,已知点P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点,则·( )
A.最大值为8
B.为定值6
C.最小值为2
D.与P的位置有关
【解析】选B.因为B,C,P共线,
故=+λ,λ∈R.
所以·=·
=+λ+λ·+·=22+·=6.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·福州高一检测)△ABC是边长为3的等边三角形,已知向量a,b满足=3a,=3a+b,则下列结论中正确的有
( )
A.a为单位向量
B.b∥
C.a⊥b
D.⊥
【解析】选ABD.对于A选项,因为=3a,
所以a=,则==1,A选项正确;
对于B选项,因为=3a+b=+b,
所以b=-=,所以b∥,B选项正确;
对于C选项,a·b=·=×32×cos≠0,所以a与b不垂直,C选项错误;
对于D选项,·=·=-=0,
所以⊥,D选项正确.
6.已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是
( )
A.=1
B.a⊥b
C.⊥b
D.a·b=-1
【解析】选CD.分析知=1,=2,a与b的夹角是120°.
由a·b=1×2×cos
120°=-1≠0,故B错误,D正确;
由=+2a·b+=1-2+4=3,
所以=,故A错误;
由·b=4a·b+b2=4×+4=0,
所以⊥b,故C正确.
【补偿训练】
(2020·滕州高一检测)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则的值可能为
( )
A.-1
B.1
C.
D.2
【解析】选AB.因为a,b,c均为单位向量,
且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,
所以a·b-c·(a+b)+c2≤0,
所以c·(a+b)≥1,而|a+b-c|=
=
=≤=1,
所以选项C,D不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|2a+b|=2,则向量b在向量a上的投影的数量是 .?
【解析】因为|2a+b|=2,所以(2a+b)2=4,
所以4a2+b2+4a·b=4,
所以4×12+4+4a·b=4,
所以a·b=-1,
所以b在a上的投影的数量是==-1.
答案:-1
8.(2020·天津高一检测)在平面四边形ABCD中,已知AB=3,DC=2,点E,F分别在边AD,BC上,且=3,=3,若向量与的夹角为60°,
则·的值为 .?
【解析】画出图形如图所示,
设直线AB和DC相交于点H,
由题意可得∠AHD=60°.
因为点E,F分别在边AD,BC上,
且=3,=3,
所以=++=++,①
=++=++,②
由①×2+②得3=2+,=+.
所以·=·=+
·=×32+×3×2×cos
60°=7.
答案:7
【补偿训练】
已知圆O是△ABC的外接圆,M是BC的中点,AB=4,AC=2,则·= .?
【解析】因为M是BC的中点,所以=
,又O是△ABC的外接圆圆心,
所以·=||||cos∠BAO=||2=8,同理,·=||2=2,
所以·=·
=·+·=4+1=5.
答案:5
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知a,b满足|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角.
(2)求向量a+b在向量b方向上的投影的数量.
【解析】(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,
所以4a2-4a·b-3b2=61,
所以4×16-4×4×3cos-3×9=61,
所以cos=-.
因为0≤≤π,所以=.
(2)a+b在向量b方向上的投影的数量为===|a|cos+|b|=4×+3=1.
10.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
【解析】当夹角为π时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此时夹角不是钝角.
设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,
则
所以
由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角θ为钝角,得cos
θ=<0,
所以(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,
化简得2t2+15t+7<0.解得-7所以所求实数t的取值范围是
∪.
1.如图,图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图,其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则·= .?
【解析】如图所示,建立以a,b为一组基底的基向量,其中|a|=|b|=1且a,b的夹角为60°,
所以=2a+4b,=4a+2b,所以·=(2a+4b)·(4a+2b)=8a2+8b2+20a·b=8+8+20×1×1×=26.
答案:26
2.如图,在直角△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:与的夹角取何值时,·最大?并求出这个最大值.
【解析】设与的夹角为θ,
则·=(-)·(-)
=·-·-·+·
=-a2-·+·=-a2-·(-)
=-a2+·=-a2+a2cos
θ.
故当cos
θ=1,即θ=0°(与方向相同)时,
·最大,其最大值为0.
【补偿训练】
已知两个向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a,b的夹角为60°,若向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.
【解析】由题意得a·b=|a||b|cos
60°=2×3×=3,
又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,
而向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,
所以λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,
又|a|2=4,|b|2=9,a·b=3,
所以3λ2+13λ+3>0,
解得λ>或λ<.
但是当λ=1时,向量a+λb与λa+b共线,其夹角不是锐角,故λ的取值范围是
∪∪(1,+∞).
PAGE向量数量积的坐标运算
(20分钟 35分)
1.已知a=,2a+b=,则a与b的夹角的余弦值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.因为a=,2a+b=,
故可得b=,设向量a与b的夹角为θ,
又=5,=13,则cos
θ===.
【补偿训练】
若向量a=,b=,则2a+b与a-b的夹角等于
( )
A.-
B.
C.
D.
【解析】选C.由题意得:2a+b=,
a-b=,
所以cos<2a+b,a-b>
===,
又<2a+b,a-b>∈,
所以<2a+b,a-b>=.
2.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,b∥c,则=
( )
A.
B.2
C.
D.10
【解析】选C.因为向量a=(x,1),b=(1,y),
c=(2,-4)且a⊥c,b∥c,
所以2x-4=0?x=2,1×(-4)-2y=0?y=-2,
从而a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),
因此==.
3.已知=(2,3),=(3,t),=1,则·=
( )
A.-3
B.-2
C.2
D.3
【解析】选C.由=-=(1,t-3),
==1,得t=3,
则=(1,0),·=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.
4.(2019·北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m= .?
【解析】因为a⊥b,所以a·b=-4×6+3m=0,
所以m=8.
答案:8
【补偿训练】
已知a,b是同一平面内的两个向量,其中a=(1,2).若|b|=2,且b∥a,则b的坐标为 .?
【解析】设b=(x,y),因为|b|=2,
所以=2,所以x2+y2=20.
由b∥a和|b|=2,可得
解得或
故b=(2,4)或b=(-2,-4).
答案:(2,4)或(-2,-4)
5.若向量a=,b=,
则的最小值为 .?
【解析】因为a=,b=,
所以a-b=-
=,
所以=
==.
所以当x=1时,取最小值.
答案:
6.平面向量a=,b=,c=,已知a∥b,a⊥c.
(1)求向量b和向量c;
(2)求b与c的夹角和.
【解析】(1)因为a=,b=,c=,
且a∥b,a⊥c,
所以
解得
因此,b=,c=;
(2)因为b·c=22-×=0,
所以b⊥c,
即b与c的夹角为.
a+b=,
因此,==.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·伊春高一检测)已知向量a=(2,-1),b=(0,1),(a+kb)·b=3,则k=
( )
A.-2
B.2
C.-4
D.4
【解析】选D.因为a=(2,-1),b=(0,1),a·b=2×0+×1=-1,
所以(a+kb)·b=a·b+kb2=-1+k=3,解得k=4.
2.已知向量m=,n=,⊥,则为
( )
A.7
B.5
C.3
D.1
【解析】选C.由题意可知n=-m,
由⊥得出⊥,
所以·=0,即q2=m2,
因此,===3.
3.若a=,b=,b方向上的单位向量为e.则a在b上的投影向量为
( )
A.e
B.e
C.e
D.e
【解析】选A.由向量的投影计算公式可得,a在b上的投影向量为e=e=e.
4.(2020·郧阳高一检测)已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为△ABC内一点,则·(+)的最小值是
( )
A.-8
B.-4
C.-3
D.-6
【解析】选D.取BC中点O,将△ABC放入平面直角坐标系中,如图所示,则A,
设P,连接PO,则+=2,
所以=,=,
所以·(+)=2·
=2=2,易知当x=0,y=时,
·(+)取得最小值-6.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知向量a=(1,-2),,a∥b,则b可能是
( )
A.(4,8)
B.(4,-8)
C.(-4,-8)
D.(-4,8)
【解析】选BD.设b=(x,y),
依题意有
解得或
【补偿训练】
设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是
( )
A.
|a|=|b|
B.
a·b=
C.
a∥b
D.
a-b与b垂直
【解析】选ABC.因为|a|=1,|b|=,所以|a|≠|b|.
又a·b=1×+0×=≠;易知a与b不共线,所以A,B,C均不正确.
因为a-b=,且(a-b)·b=×+×=0,所以(a-b)⊥b.
6.设向量a=,b=,则下列叙述错误的是
( )
A.若k<-2时,则a与b的夹角为钝角
B.的最小值为2
C.与b共线的单位向量只有一个为
D.若=2,则k=2或-2
【解析】选CD.对于A选项,若a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a与b不共线,则
解得k<2且k≠-2,A选项中的说法正确;对于B选项,=≥=2,
当且仅当k=0时,等号成立,B选项中的说法正确;对于C选项,=,与b共线的单位向量为±,即与b共线的单位向量为或,C选项中的说法错误;对于D选项,因为=2=2,即=2,解得k=±2,D选项中的说法错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知a=,b=,要使最小,则实数t的值为 .?
【解析】因为a+tb=,所以
==.
所以当t=-时,有最小值.
答案:-
8.(2020·扬州高一检测)窗,古时亦称为牅,它伴随着建筑的起源而出现,在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图,是某古代建筑群的窗户设计图,窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形,内嵌一个小正方形EFGH,且E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,则·的值为 .?
【解析】如图所示,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立直角坐标系.
延长AF与BC交于点I,tan∠FAB===,故I为BC中点.
直线AI:y=x,同理可得:直线GB:y=-2x+2,
直线HC:y=x+;
解得F,G,又A,
D,故=,=,
·=0.
答案:0
【补偿训练】
如图,在△ABC中,AD⊥AB,=3,=2,则·的值为 .?
【解析】根据题意,由AD⊥AB可建立如图所示的平面直角坐标系,
过C作CE⊥AD交x轴于E.
设AB=a,因为=3,=2,
又因为△BAD∽△CED,
所以CE=3a,DE=6,所以C
,
所以=,=,
则·=·=16.
答案:16
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知向量a,b,c满足=,
a·b=-5,c=xa+b.
(1)若b⊥c,求实数x的值;
(2)当取最小值时,求向量a与c的夹角的余弦值.
【解析】(1)因为=,a·b=-5,
c=xa+b,
当b⊥c时,
b·c=0,解得x=.
(2)=x2+2xa·b+
=25x2-20x+5,当x=时,
取最小值,此时,
a·c=1,且=1,夹角的余弦值为.
10.在△ABC中,已知=(1,2),=(4,m)(m>0).
(1)若∠ABC=90°,求m的值.
(2)若||=3,且=2,求cos∠ADC的值.
【解析】(1)若∠ABC=90°,则·=0,
因为=-=(3,m-2),
所以·=3+2m-4=0,所以m=.
(2)因为||=3,所以=3,
因为m>0,所以m=5,所以=(3,3),
因为=2,
所以==(1,1),==(2,2),
而=+=(3,4),
所以=(-3,-4),
所以cos∠ADC==
=-.
1.已知向量a=(3,2),b=,且函数f(x)=(a+xb)·(xa-b)的图象是一条直线,则|b|=
( )
A.
B.
C.2
D.2
【解析】选A.由题意得f=(a+xb)·(xa-b)
=x|a|2-a·b+x2a·b-x|b|2
=a·bx2+x-a·b,
因为函数f(x)的图象是一条直线,
所以a·b=0,
即3×(-1)+2×=0,解得m=-2,
所以b=,|b|==.
2.(2020·南京高一检测)已知向量a=(1,m),b=(2,n).
(1)若m=3,n=-1,且a⊥(a+λb),求实数λ的值;
(2)若=5,求a·b的最大值.
【解析】(1)当m=3,n=-1时,a=(1,3),
b=(2,-1),
所以a+λb=(1,3)+λ(2,-1)
=(1+2λ,3-λ),若a⊥(a+λb),
则a·(a+λb)=0,
即(1+2λ)+3(3-λ)=0,解得λ=10.
(2)因为a=(1,m),b=(2,n),
所以a+b=(3,m+n),
因为=5,
所以32+(m+n)2=52,则(m+n)2=16,
所以a·b=1×2+mn≤2+(m+n)2=2+×16
=6,
当且仅当m=n=±2时,等号成立,
故当m=n=2或m=n=-2时,a·b的最大值为6.
PAGE两角和与差的余弦
(15分钟 30分)
1.cos
40°sin
80°+sin
40°sin
10°的值等于( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选D.由题意得,原式=cos
40°cos
10°+
sin
40°sin
10°=cos(40°-10°)=.
【补偿训练】
(2020·北京高一检测)cos
(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)
sin(α-54°)= .?
【解析】coscos+
sinsin
=cos
=cos
90°=0.
答案:0
2.已知cos
α=,α∈(-π,0),则cos=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.因为cos
α=,α∈,
所以sin
α=-=-,
所以cos=cos
αcos+sin
αsin=×+×=-.
3.若sin
α=,α∈,则cos的值为
( )
A.-
B.-
C.-
D.-
【解析】选C.因为sin
α=,α∈,所以cos
α=-=-
=-,所以cos=coscos
α-sin
sin
α=×-×=-.
4.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cos
A,sin
A),b=(cos
B,sin
B),且a·b=1,则△ABC一定是
( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.因为a·b=cos
Acos
B+sin
Asin
B=
cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角,
所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形.
5.已知α为三角形的内角且cos
α+sin
α=,则α= .?
【解析】因为cos
α+sin
α=cos
cos
α+sin
sin
α
=cos=,因为0<α<π,
所以-<α-<,
所以α-=,α=.
答案:π
6.化简:cos(α-65°)cos(5°-α)
-sin(α-65°)sin(5°-α)= .?
【解析】原式=cos[(α-65°)+(5°-α)]=cos(-60°)=.
答案:
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若sin=a,则cos=
( )
A.-a
B.a
C.1-a
D.1+a
【解析】选B.cos=cos
=coscos+sinsin=a.
2.已知锐角α,β满足cos
α=,cos(α+β)=-,则
cos(2π-β)的值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.因为α,β为锐角,cos
α=,
cos(α+β)=-,所以sin
α=,sin(α+β)=,
所以cos(2π-β)=cos
β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α=-×+×=.
3.(2020·武汉高一检测)已知角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,若角θ终边过点,则cos的值为
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选D.因为角θ终边过点,
所以cos
θ=,sin
θ=-,
所以cos
=cos
θcos-sin
θsin
=×-×=.
4.(2020·遵义高一检测)若-<β<0<α<,
cos=,cos=,
则cos=
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选A.因为-
<β<0<α<
,
cos=,cos=
,
所以sin=,sin=,
所以cos
=cos
=coscos+
sinsin
=×+×
=.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列各式化简正确的是
( )
A.cos
80°cos
20°+sin
80°sin
20°=cos
60°
B.cos75°=cos
45°cos
30°-sin
45°sin
30°
C.sin(α+45°)sin
α+cos(α+45°)cos
α=cos
45°
D.cos=cos
α-sin
α
【解析】选ABC.根据两角和与差的余弦公式,A,B,C均正确,cos
=cos
α-sin
α,D选项错误.
6.化简cos
x-sin
x等于
( )
A.2sin
B.2cos
C.2sin
D.2cos
【解析】选AD.cos
x-sin
x
=2
=2
=2cos
=2sin
=2sin.
【补偿训练】
若sin
x+cos
x=cos(x+φ),则φ的一个可能值是
( )
A.
-
B.
C.
D.
【解析】选A.对比公式特征知,cos
φ=,sinφ=-,故只有A正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若a=(cos
α,sin
β),b=(cos
β,sin
α),0<β<α<,且a·b=,则α-β= .?
【解析】a·b=cos
α
cos
β+sin
β
sin
α=cos(α-β)=.
因为0<β<α<,所以0<α-β<,
所以α-β=.
答案:
8.已知向量a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),|a-b|=,则cos(α-β)= .?
【解析】因为a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),
所以a-b=(cos
α-cos
β,sin
α-sin
β),
因为|a-b|=,
所以=,
即2-2cos(α-β)=,所以cos(α-β)=.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知tan
α=4
,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求
cos
β的值.
【解析】因为α∈,tan
α=4
,
所以sin
α=4
cos
α,①
sin2α+cos2α=1,②
由①②得sin
α=,cos
α=.因为α+β∈(0,π),
cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=.
所以cos
β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α
=×+×=.
10.(2020·沭阳高一检测)已知函数f(x)=
Asin(x∈R),且f=1.
(1)求A的值;
(2)若f(α)=-,α是第二象限角,求cos
α.
【解析】(1)依题意得:f=Asin=A=1,
所以A=.
(2)由(1)得f=sin,
由f=-,可得f=sin=-,
所以sin=-,因为α是第二象限角,
所以2kπ+<α<2kπ+π,
所以2kπ+<α+<2kπ+,
又因为sin=-<0,
所以α+是第三象限角,
所以cos
=-
=-,
所以cos
α=cos
=coscos+sinsin
=-×-
×=-.
1.若cos=,
则+= .
?
【解析】+
=sin2α+sin2β+2sin
αsin
β+cos2α+cos2β-
2cos
αcos
β
=1+1-2
=2-2cos=2-2×=.
答案:
2.已知cos=-,sin=,且α∈,β∈,求cos
的值.
【解析】因为<α<π,0<β<,
所以<<,0<<,<α+β<.
所以<α-<π,-<-β<,
<<.
又cos=-,sin=,
所以sin=,cos=.
所以cos
=cos
=coscos+sinsin
=×+×=-+=.
PAGE两角和与差的正弦、正切
(20分钟 35分)
1.(2020·沈阳高一检测)sin54°sin66°+cos126°sin24°=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选C.sin
54°sin
66°+cos
126°sin
24°=sin
54°cos
24°-cos
54°sin
24°=sin(54°-24°)=sin
30°=.
2.(2020·南昌高一检测)函数f(x)=sin
2x+cos
2x的单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.f(x)=sin
2x+cos
2x
=2sin,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,(k∈Z),
即函数的单调递增区间为(k∈Z).
【补偿训练】
(2020·广东高一检测)函数y=sinx++cos的最大值为( )
A.2 B. C. D.1
【解析】选A.y=sin+cos
=sin
x+cos
x+cos
x
+sin
x==2sin.
因为-1≤sin≤1,
所以-2≤2sin≤2,故函数的最大值为2.
3.已知tan
α=,tan(α-β)=-,那么tan(2α-β)的值为
( )
A.-
B.
C.
-
D.
【解析】选D.因为tan
α=,tan(α-β)=-,
所以tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]==.
4.已知α为锐角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则角α等于( )
A.
B.
C.π
D.
【解析】选C.因为tan
2α=tan[(α+β)+(α-β)]
===-1,
所以2α=-+kπ(k∈Z),
所以α=-+(k∈Z).
又因为α为锐角,所以α=-=.
5.已知cos=sin,则tan
α= .?
【解析】cos=cos
αcos-sin
αsin
=cos
α-sin
α,sin=sin
αcos-
cos
αsin=sin
α-cos
α,
所以sin
α=cos
α,故tan
α=1.
答案:1
6.(2020·武汉高一检测)已知α为第三象限角,
若tan=3,求sin
α.
【解析】由两角差的正切公式得
tan
α=tan===,由于α是第三象限角,则sin
α<0,由同角三角函数的基本关系得,
解得sin
α=-.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知向量a=(cos
75°,sin
75°),b=(cos
15°,sin
15°),那么|a-b|等于
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选D.|a-b|=
=
==1.
2.(1+tan
17°)(1+tan
18°)(1+tan
27°)(1+tan
28°)的值是( )
A.2
B.4
C.8
D.16
【解析】选B.(1+tan
17°)(1+tan
28°)=1+tan
17°+tan
28°+tan
17°·
tan
28°,①
又tan
45°=tan(17°+28°)=,
所以①式=1+(1-tan
17°tan
28°)+tan
17°tan
28°=2.
同理(1+tan
18°)(1+tan
27°)=2.所以原式=4.
3.(2020·天津高一检测)函数f(x)=sin
x-cosx+的值域为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为f(x)=sin
x-cos
=sin
x-=sin
x-cos
x
==sin,
所以-≤f(x)≤,即函数f(x)=sin
x-
cos的值域为.
【补偿训练】
函数f(x)=sin+sin的最小正周期为 .?
【解析】由题意,函数f(x)=sin+
sin=sin
2x-cos
2x+sin
2x+cos
2x=sin
2x,
所以函数的最小正周期为=π.
答案:π
4.(2020·成都高一检测)若α,β∈,且sin
α=,cos
β=-,则sin=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.α,β∈,
且sin
α=,cos
β=-,
则cos
α=-=-,
sin
β==,
sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β=×+×=-.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
5.下面各式中,正确的是
( )
A.sin=sincos+cos
B.cos=sin-coscos
C.cos=coscos+
D.cos=cos-cos
【解析】选ABC.因为sin
=sincos+cossin
=sincos+cos,所以A正确;
因为cos=-cos=-cos
=sin-coscos,所以B正确;
因为cos=cos=coscos+,所以C正确;
因为cos=cos≠cos-cos,所以D不正确.
6.已知0<α<β<,且tan
α,tan
β是方程x2-kx+2=0的两不等实根,则下列结论正确的是
( )
A.tan
α+tan
β=-k
B.tan(α+β)=-k
C.k>2
D.k+tan
α≥4
【解析】选BCD.由tan
α,tan
β是方程x2-kx+2=0的两不等实根,
所以tan
α+tan
β=k,tan
α·tan
β=2,
tan(α+β)===-k,
由0<α<β<,tan
α,tan
β均为正数,
则tan
α+tan
β=k≥2=2,
当且仅当tan
α=tan
β取等号,等号不成立.
k+tan
α=2tan
α+tan
β≥2=4,
当且仅当2tan
α=tan
β取等号.
【补偿训练】
在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=,下列各式正确的是
( )
A.A+B=2C
B.tan=-
C.tanA=tanB
D.cosB=sinA
【解析】选CD.因为C=120°,所以A+B=60°,
所以2=C,所以tan=,所以选项A,B错误;
因为tanA+tanB==,
所以tanA·tanB=①,又tanA+tanB=②,
所以联立①②解得tanA=tanB=,
所以cosB=sinA,故选项C,D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.x2+3ax+3a+1=0的两根分别为tan
α,tan
β,且α,β∈,则α+β= .?
【解析】因为方程x2+3ax+3a+1=0的两根为tan
α,tan
β,
所以tan
α+tanβ=-3a,tan
αtan
β=3a+1,
所以tan==1,
又因为α,β∈,
tan
α+tanβ=-3a<0,tan
αtan
β=3a+1>0,
所以tan
α<0,tan
β<0,
所以α,β∈,
所以α+β∈,
结合tan=1
所以α+β=-.
答案:-
8.若α,β是锐角,且sin
α-sin
β=-,cos
α-cos
β=,则tan(α-β)= .?
【解析】因为sin
α-sin
β=-,cos
α-cos
β=,
两式平方相加得:2-2cos
αcos
β-2sin
αsin
β=,
即2-2cos(α-β)=,所以cos(α-β)=.
因为α,β是锐角,且sin
α-sin
β=-<0,
所以0<α<β<,所以-<α-β<0.
所以sin(α-β)=-=-.
所以tan(α-β)==-.
答案:-
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=-cos
2xcos+sin
2xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若<α<β<,f(α)=,且f(β)=,求角2β-2α的大小.
【解析】(1)因为f(x)=-cos
2xcos
+sin
2xsin
=cos
2xcos
+sin
2xsin
=cos,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(α)=,且f(β)=,
所以cos=,cos=.
又<α<β<,
所以2α-∈,2β-∈,
所以sin==,
sin==,
所以cos
(2β-2α)=cos
=coscos+
sinsin
=×+×=.
又<α<β<,所以0<2β-2α<,
所以2β-2α=.
10.(2020·合肥高一检测)已知函数f(x)=cos
2x+sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若α∈,f=,求cos
2α.
【解析】(1)因为f(x)=cos
2x+sin
2x-cos
2x
=sin
2x+cos
2x=sin,
所以函数f(x)的最小正周期为T=π.
(2)由f=可得,sin=.
因为α∈,
所以2α+∈.
又因为0所以2α+∈,
所以cos=-,
所以cos
2α=cos
=coscos
+sinsin=.
1.已知f(x)=sin-cos,则f(1)+f(2)+…+f(2
016)的值为
( )
A.2
B.
C.1
D.0
【解析】选D.f(x)=sin-
cos=2sin
=2sinx,因为周期为6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,
所以f(1)+f(2)+…+f(2
016)=0.
2.是否存在锐角α和β,使:(1)α+2β=π;
(2)tantan
β=2-同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.
【解析】存在.由(1)得=-β,代入(2)中得:
tantan
β=2-,即×tan
β=2-?tan2β+(-3)tan
β+2-=0,由此解得,tan
β=1或tan
β=2-,当tan
β=1时,又因为β为锐角,所以β=,并代入(1)得α=;
当tan
β=2-时,代入(2)中得tan=1,
由于α为锐角,所以为锐角,故=?α=,这与已知矛盾,
所以存在α=,β=满足条件.
PAGE倍
角
公
式
(15分钟 30分)
1.cos275°+cos215°+cos
75°cos
15°的值等于
( )
A.
B.
C.
D.1+
【解析】选C.原式=sin215°+cos215°+sin
15°cos
15°
=1+sin
30°=1+=.
2.已知a=(sin
17°+cos
17°),b=2cos213°-1,c=,则
( )
A.cB.bC.aD.b【解析】选A.a=(sin
17°+cos
17°)=sin
17°·
cos
45°+cos
17°·sin
45°=sin
62°,
b=2cos213°-1=cos
26°=sin
64°,c==sin
60°,
所以c3.(2020·济南高一检测)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点,则cos
2θ=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选C.因为角θ的终边过点,所以tan
θ==,点到原点的距离r==,
所以cos
θ==,sin
θ==,
所以cos
2θ=cos2θ-sin2θ=-=.
【补偿训练】
(2020·广州高一检测)已知sin
α=,
则cos(π-2α)=
( )
A. B. C.- D.-
【解析】选C.cos(π-2α)=-cos
2α=-(1-2sin2α)
=-=-.
4.设sin
α=,tan(π-β)=,则tan(α-2β)=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选D.因为sin
α=,α∈,
所以cos
α=-,所以tan
α=-.
又tan(π-β)=,所以tan
β=-,
所以tan
2β==-.所以tan(α-2β)
===.
5.已知sin
2α=,则cos2= .?
【解析】因为sin
2α=,所以cos2
=×=(1-sin
2α)=.
答案:
6.已知tan=2,则tan
α的值为 ,?
tan的值为 .?
【解析】因为tan=2,
所以tan
α===-,
tan==
=-.
答案:- -
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在△ABC中,若sin
Bsin
C=cos2,则△ABC是
( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.由sin
Bsin
C=cos2,得sin
Bsin
C=,
所以2sin
Bsin
C=1+cos
A.
所以2sin
Bsin
C=1+cos[π-(B+C)]=1-cos(B+C),
所以2sin
Bsin
C=1-cos
Bcos
C+sin
Bsin
C,
所以cos
Bcos
C+sin
Bsin
C=1,所以cos(B-C)=1,
又因为-180°所以B=C,所以△ABC是等腰三角形.
2.已知sin
2α=,α∈,则cos
α-sin
α=
( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选A.因为α∈,
所以sin
α>cos
α,即cos
α-sin
α<0,因为sin
2α=,
所以cos
α-sin
α=-
=-=-=-.
3.函数y=sin
x·sin是( )
A.周期为的奇函数
B.周期为的偶函数
C.周期为π的奇函数
D.周期为π的偶函数
【解析】选C.由诱导公式和二倍角的正弦公式得
y=sin
x·sin=sin
xcos
x=sin
2x,
因此,该函数的最小正周期为=π,且该函数为奇函数.
【补偿训练】
(2020·岳阳高一检测)函数f(x)=2cos2+1的最小正周期为 ;最大值是 .?
【解析】函数f(x)=2cos2+1=cos
x+2,
T==2π,f(x)max=3.
答案:2π 3
4.(2020·合肥高一检测)设a=cos
6°+sin
6°,b=,c=,则有
( )
A.bB.cC.cD.a【解析】选A.由题意得a=sin=sin36°,
b===sin34°,
c==sin35°,
因为正弦函数在上为增函数,所以b二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知f(x)=sin2,若a=f,b=flg,则
( )
A.a+b=0
B.a-b=0
C.a+b=1
D.a-b=sin(2lg
5)
【解析】选CD.
因为f(x)=sin2=
=,
a=f,b=f=f,
所以a+b=+=1,
a-b=-=sin.
6.关于函数f(x)=+1,下列说法正确的是
( )
A.函数f(x)以π为周期且在x=(k∈Z)处取得最大值
B.函数f(x)以为周期且在区间单调递增
C.函数f(x)是偶函数且在区间单调递减
D.将f(x)的图象向右平移1个单位得到g(x)=|cos(2x-1)|+1
【解析】选AB.f(x)=+1=+1.
A:f(x+π)=+1=+1
=f(x),所以函数f(x)的周期为π.当x=(k∈Z)时,f=+1=+1=2,所以函数f(x)在x=(k∈Z)处取得最大值,故本选项是正确的;B:f=+1
=+1=f(x),
所以函数f(x)的周期为.
当x∈时,2x∈,
所以f(x)=+1=-cos
2x+1,故函数在区间单调递增,因此本选项是正确的;
C:f(-x)=+1=+1
=f(x),所以函数是偶函数,由上分析,函数在区间单调递减,是不正确的;
D:将f(x)的图象向右平移1个单位得到g(x)
=|cos[2(x-1)]|+1=+1,是不正确的.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·广州高一检测)-= .?
【解析】-===2·=2.
答案:2
8.(2π<α<3π)的化简结果为 .?
【解析】因为2π<α<3π,
所以π<<,<<,
所以==
==2sin.
答案:2sin
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知sin-2cos=0.
求的值.
【解析】由sin-2cos=0,知cos≠0,
所以tan=2,
所以tan
x===-.
所以
=
=
==×
=×=.
10.(2020·上海高一检测)已知函数f(x)=
2cos
xsin-sin2x+sin
xcos
x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求方程f(x)=2在x∈[0,2
019]上解的个数.
【解析】(1)由题得f(x)
=2cos
x-·+sin
2x,
所以f(x)=sin
2x+·-·,
所以f(x)=sin
2x+cos
2x=2sin,
所以函数的最小正周期为π.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
所以-π+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,
所以函数的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由题得sin=1,
所以2x+=2kπ+,k∈Z,
所以x=kπ+,k∈Z,
因为x∈[0,2019],
当k=0时,x=,k=1时,x=π,…
k=642时,x=642π+≈2
016,k=643时,x>2
019.
所以方程f(x)=2在x∈[0,2
019]上解的个数为643.
1.已知α,β均为锐角,且3sin
α=2sin
β,3cos
α+2cos
β=3,则α+2β的值为
( )
A.
B.
C.
D.π
【解析】选D.由题意得
①2+②2得cos
β=,cos
α=,
由α,β均为锐角知,sin
β=,sin
α=,
所以tan
β=2,tan
α=,所以tan
2β=-,
所以tan(α+2β)=0.又α+2β∈,
所以α+2β=π.
2.在△ABC中,设向量m=(sin
A,cos
B),n=(sin
B,cos
A)且m∥n,m≠n.
(1)求证:A+B=.
(2)求sin
A+sin
B的取值范围.
(3)若(sin
Asin
B)x=sin
A+sin
B,试确定实数x的取值范围.
【解析】(1)因为向量m=(sin
A,cos
B),n=(sin
B,cos
A)且m∥n,
所以sin
Acos
A-sin
Bcos
B=0,
即sin
2A=sin
2B,解得2A=2B或2A+2B=π,
化简可得A=B,或A+B=,但A=B时有m=n,与已知矛盾,故舍去,故有A+B=.
(2)由(1)可知A+B=,故sin
A+sin
B
=sin
A+sin=sin
A+cos
A
=sin,
因为0所以1故sin
A+sin
B的取值范围是(1,].
(3)由题意可知x==,
设sin
A+cos
A=t∈(1,],则t2=1+2sin
Acos
A,
故sin
Acos
A=,
代入得x===≥=2,
故实数x的取值范围为[2,+∞).
【补偿训练】
已知函数f(x)=sin
2x+cos
2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称中心坐标;
(2)若-<α<0,f=1,求sin
2α的值.
【解析】(1)因为f(x)=sin
2x+cos
2x
=2
=2
=2sin,
所以,函数y=f(x)的最小正周期为=π,
令2x+=kπ,解得x=-
因此,函数y=f(x)的对称中心坐标为
;
(2)因为f=2sin=1,
得sin=,
因为-<α<0,所以-<2α+<,
所以2α+=,得2α=-,
因此,sin
2α=sin
=-sin=-.
PAGE三角恒等变换的应用
(15分钟 30分)
1.若α∈,则-等于
( )
A.cos
α-sin
α
B.cos
α+sin
α
C.-cos
α+sin
α
D.-cos
α-sin
α
【解析】选B.因为α∈,
所以sin
α<0,cos
α>0,
则-=-
=|cos
α|-|sin
α|=cos
α-(-sin
α)=cos
α+sin
α.
2.设5π<θ<6π,cos=a,那么sin等于
( )
A.-
B.-
C.-
D.-
【解析】选D.若5π<θ<6π,则<<,
则sin=-=-.
3.设a=(sin
56°-cos
56°),b=cos
50°cos
128°+cos
40°cos
38°,c=,d=(cos
80°-2cos250°+1),则a,b,c,d的大小关系为
( )
A.a>b>d>c
B.b>a>d>c
C.d>a>b>c
D.c>a>d>b
【解析】选B.a=sin
56°cos
45°-cos
56°sin
45°
=sin(56°-45°)=sin
11°=cos
79°,
b=cos
50°cos
128°+cos
40°cos
38°
=sin
40°(-sin
38°)+cos
40°cos
38°=cos(40°+38°)
=cos
78°,c==cos
81°,
d=(cos
80°-2cos250°+1)
=[cos
80°-(2cos250°-1)]
=(cos
80°+cos
80°)=cos
80°,
所以b>a>d>c.
【补偿训练】
的值为
( )
A.1 B. C. D.2
【解析】选C.原式=
===.
4.(2020·郑州高一检测)若sin=,
则cos=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.依题意cos=2cos2-1
=2cos2-1
=2sin2-1=-1=-.
5.若sin+2cos=0,则tan= ,tan
θ= .?
【解析】由sin+2cos=0,得tan=-2,
则tan
θ==.
答案:-2
6.若θ∈,sin
2θ=,则sin
θ= .?
【解析】由于θ∈,则2θ∈,
所以cos
2θ<0,sin
θ>0,因为sin
2θ=,
所以cos
2θ=-=-
=-.
又cos
2θ=1-2sin2θ,
所以sin
θ===.
答案:
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知函数f(x)=cos2·cos2,则f等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由降幂公式,f(x)=cos2·
cos2=·
,
即f(x)=·=·=,
所以f==.
2.(2020·广州高一检测)已知函数f(x)=2cos2x-2sin2x+1,则
( )
A.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为2π,最大值为1
C.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为π,最大值为1
【解析】选C.f(x)=2·-2·+1
=1+cos
2x-1+cos
2x+1=2cos
2x+1,
故T==π,f(x)max=2+1=3.
3.已知450°<α<540°,则
的值是
( )
A.-sin
B.cos
C.sin
D.-cos
【解析】选A.因为450°<α<540°,
所以225°<<270°,所以cos
α<0,sin<0,
所以原式=
=
==
===-sin
.
4.若cos
α=-,α是第三象限的角,则=
( )
A.-
B.
C.2
D.-2
【解析】选A.因为α是第三象限角,cos
α=-,
所以sin
α=-.所以==
=·
===-.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·如皋高一检测)下列选项中,值为的是
( )
A.cos
72°cos
36°
B.sinsin
C.+
D.-cos215°
【解析】选AB.cos
72°cos
36°=
====,故A满足.
sinsin=sincos===,故B满足.
+===4,故C不满足.
-cos215°==-cos
30°
=-,故D不满足.
6.已知函数f=,
则有
( )
A.函数f的图象关于直线x=
对称
B.函数f的图象关于点
对称
C.函数f的最小正周期为
D.函数f在
内单调递减
【解析】选BD.
因为f===-tan
x,所以f的图象不是轴对称图形,关于点
对称,周期为π
,在
内单调递减.
【补偿训练】
1.(2020·济南高一检测)已知函数f(x)=sin
x·sin-的定义域为[m,n](m( )
A. B. C. D.
【解析】选AB.f(x)=sin
x·sin-
=sin
x-
=(1-cos
2x)+sin
2x-
=
=sin,值域为,
sin∈,
所以2x-∈,
故x∈,k∈Z,
kπ+-=,
所以n-m最大为.
2.已知函数f(x)=sin
xcos
x-cos2x,下列命题正确的是
( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)在区间上为增函数
C.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
D.函数f(x)的图象可由函数f(x)=sin
2x的图象向右平移个单位长度得到
【解析】选BC.f(x)=sin
xcos
x-cos2x
=sin
2x-
=sin-,
所以f(x)最小正周期T==π,A错误;
当x∈时,2x-∈,
此时f(x)=sin单调递增,
所以f(x)在上单调递增,B正确;
当x=时,2x-=,
是f(x)=sin的对称轴,
所以x=是f(x)的一条对称轴,C正确;
将f(x)=sin
2的图象向右平移个单位得到
y=sin
2=sin的图象,D错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.化简= .?
【解析】=
==tan.
答案:tan
8.已知α∈,且2sin2α-sin
α·cos
α-3cos2α=0,则= .?
【解析】因为α∈,且2sin2α-sin
α·cos
α-3cos2α=0则(2sin
α-3cos
α)·(sin
α+cos
α)=0,
又因为α∈,sin
α+cos
α>0,
所以2sin
α=3cos
α,又sin2α+cos2α=1,
所以cos
α=,sin
α=,所以
===.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知三点A,B,C的坐标分别为A(cos
α,sin
α)α≠,k∈Z,B(3,0),C(0,3),若·=-1,求的值.
【解析】=(3-cos
α,-sin
α),
=(-cos
α,3-sin
α),
因为·=-1,
所以(cos
α-3)·cos
α+sin
α(sin
α-3)=-1,
整理得:sin
α+cos
α= ①,
=
==2sin
αcos
α,
由①平方得1+2sin
αcos
α=,
所以2sin
αcos
α=-,即=-.
10.在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cos
α,sin
α),
b=(-sin
β,cos
β),c=.
(1)若|a+b|=|c|,求sin(α-β)的值;
(2)设α=,0<β<π,且a∥(b+c).求β的值.
【解析】(1)因为a=(cos
α,sin
α),b=(-sin
β,cos
β),c=,
所以|a|=|b|=|c|=1,
且a·b=-cos
αsin
β+sin
αcos
β=sin(α-β),
因为|a+b|=|c|,所以|a+b|2=|c|2,
即a2+2a·b+b2=1,
所以1+2sin(α-β)+1=1,即sin(α-β)=-.
(2)因为α=,所以a=,
由题意:b+c=,
因为a∥(b+c),
所以--=0,
所以sin
β-cos
β=,
所以sin=.
又因为0<β<π,所以-<β-<π,
所以β-=,即β=.
1.已知coscos=,则sin4θ+cos4θ的值为 .?
【解析】因为coscos
=
=(cos2θ-sin2θ)=cos
2θ=.所以cos
2θ=.
故sin4θ+cos4θ=+
=+=.
答案:
2.已知函数f(x)=.
(1)求f的值;
(2)当x∈时,求g(x)=f(x)+sin
2x的最大值和最小值.
【解析】(1)f(x)=
=
===
=2cos
2x.
所以f=2cos=2cos=-.
(2)由(1)知f(x)=2cos
2x,
g(x)=f(x)+sin
2x=cos
2x+sin
2x
=sin.
因为x∈,所以≤2x+≤,
所以g(x)max=,g(x)min=-1.
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