单元素养评价(二)(第八章)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.cos215°+cos275°+cos
15°cos
75°的值是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.原式=++
=.
2.若tan
α=2,则的值等于
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.====.
3.(2020·南宁高一检测)已知=5,则cos
2α+sin
2α=
( )
A.-
B.3
C.-3
D.
【解析】选D.因为=5,
所以=5?tan
α=3,
cos
2α+sin
2α=
===,故选D.
4.(2020·长沙高一检测)已知sin
=,cos
β=,α,β为锐角,则sin
的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为sin
=,cos
β=,α,β为锐角,因为cos
2β=2cos
2β-1=-<0,
所以α+2β大于90°,由同角三角函数关系,
可得cos
=-,sin
β=.
所以sin
=sin
=sin
cos
β-cos
sin
β
=×-×=.
5.三角形ABC中,若C>90°,则tan
A·tan
B与1的大小关系为
( )
A.tan
A·tan
B>1
B.tan
A·tan
B<1
C.tan
A·tan
B=1
D.不能确定
【解析】选B.在三角形ABC中,
因为C>90°,所以A,B都为锐角.
则有tan
A>0,tan
B>0,tan
C<0.
又因为C=π-(A+B),
所以tan
C=-tan(A+B)
=-<0,易知1-tan
A·tan
B>0,
即tan
A·tan
B<1.
6.若a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b
,则a与b的夹角θ是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为a2-2a·b=0,b2-2a·b=0,
所以a2=b2=2a·b
,|a|=|b|,
所以cos
θ===.所以θ=.
7.已知A,B,C是△ABC的三个内角,设f(B)=4sin
B·
cos
2+cos
2B,若f(B)-m<2恒成立,则实数m的取值范围是
( )
A.m<1
B.m>-3
C.m<3
D.m>1
【解析】选D.f(B)=4sin
Bcos
2+cos
2B
=4sin
B+cos
2B
=2sin
B(1+sin
B)+(1-2sin
2B)=2sin
B+1.
因为f(B)-m<2恒成立,即m>2sin
B-1恒成立.
因为0B≤1.
所以-1<2sin
B-1≤1,故m>1.
8.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin
A,sin
B),n=(cos
B,cos
A),若m·n=1+cos(A+B),则C=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为m·n=sin
Acos
B+sin
B·
cos
A=sin(A+B)=sin
C=1-cos
C,
所以sin=,又因为0所以C+=,故C=.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列计算正确的是
( )
A.=1
B.1-2sin275°=
C.cos4-sin4=
D.cos275°+cos215°+cos
75°cos
15°=
【解析】选ACD.
对于选项A,=tan
45°=1;对于选项B,1-2sin275°=cos
150°=-,对于选项C,cos4-sin4=
=cos=;
对于选项D,原式=sin215°+cos215°+
sin
15°cos
15°=1+sin
30°=1+=.
10.若函数y=sincos+cos·sin,则( )
A.函数的周期为2π
B.函数的一个对称中心为
C.函数的一条对称轴为x=π
D.函数的值域为
【解析】选ACD.y=sin·cos-cossin=
sin
=sin=cos
x,故周期为2π,x=π是函数y=cos
x的一条对称轴,值域为.
11.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论不正确的是
( )
A.|b|=1
B.a⊥b
C.a·b=1
D.(4a+b)⊥
【解析】选ABC.在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2.又|a|=1,
所以a·b=|a||b|cos
120°=-1,所以(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,
所以(4a+b)⊥.
12.已知锐角α,β满足sin
α-cos
α=,tan
α+tan
β+
tan
αtan
β=,则
( )
A.<α<
B.β<<α
C.<α<β
D.<β<α
【解析】选AB.因为α为锐角,sin
α-cos
α=>0,所以<α<.又tan
α+tan
β+tan
αtan
β=,
所以tan(α+β)==,
所以α+β=,又α>,所以β<<α.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.函数f(x)=sin2的最小正周期是 .?
【解析】因为f(x)==(1-sin
4x),所以最小正周期T=.
答案:
14.(2020·上海高一检测)已知sin
α=3cos
α,则cos
2α= .?
【解析】因为sin
α=3cos
α,
又sin
2α+cos
2α=1,
解得cos
2α=,sin
2α=,
故cos
2α=cos
2α-sin
2α=-=-.
答案:-
15.(2020·重庆高一检测)若<α<π,0<β<,
且sin
=,cos
=-,则cos
(α+β)= .?
【解析】因为sin
=,且<α<π,
所以cos
=-.
因为cos
=-,且0<β<,
所以sin
=.因为α++β+
=α+β+,所以cos
=sin
,
即cos
=sin
=×-×=-.
答案:-
16.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°.如图,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是 ,最小值为 .?
【解析】建立如图所示的坐标系,
则A(1,0),B(cos
120°,sin
120°),
即B.
设∠AOC=α,则=(cos
α,sin
α).
因为=x+y=(x,0)+
=(cos
α,sin
α),
所以所以
所以x+y=sin
α+cos
α=2sin
(α+30°).
因为0°≤α≤120°,所以30°≤α+30°≤150°.
所以当α=60°时,x+y有最大值2.
当α=0°或120°时,x+y有最小值为1.
答案:2 1
四、解答题(共70分)
17.(10分)(1)求值:.
(2)已知sin
θ+2cos
θ=0,求的值.
【解析】(1)原式==
==2+.
(2)由sin
θ+2cos
θ=0,得sin
θ=-2cos
θ,
又cos
θ≠0,则tan
θ=-2,
所以=
===.
18.(12分)已知向量a,b不共线,c=ka+b,d=a-b.
(1)若c∥d,求k的值,并判断c,d是否同向;
(2)若|a|=|b|,a与b的夹角为60°,当k为何值时,c⊥d?
【解析】(1)因为c∥d,所以c=λd,即ka+b=λ(a-b).
又a,b不共线,所以得
即c=-d,故c与d反向.
(2)c·d=(ka+b)·(a-b)=ka2-ka·b+a·b-b2=(k-1)a2+(1-k)|a|2·cos
60°,
又c⊥d,故(k-1)a2+a2=0,
即(k-1)+=0,解得k=1.
19.(12分)已知函数f(x)=cos
2ωx+sin
ωxcos
ωx(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离为.
(1)求ω的值并写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)设α是第一象限角,且f=,
求的值.
【解析】(1)f(x)=cos
2ωx+sin
ωxcos
ωx=+sin
2ωx,
所以f(x)=sin
+的最小正周期T==3π,解得ω=,则f(x)=sin
+.
令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),可得3kπ-π≤x≤3kπ+(k∈Z),即f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)因为f=,
即sin
+=cos
α+=,
所以cos
α=,
又α是第一象限角,所以sin
α=,
所以=·
=
=-.
20.(12分)已知ω>0,a=(2sin
ωx+cos
ωx,2sin
ωx-cos
ωx),b=(sin
ωx,cos
ωx),f(x)=a·b,f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是.
(1)求ω的值.
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解析】f(x)=a·b=(2sin
ωx+cos
ωx)sin
ωx+
(2sin
ωx-cos
ωx)cos
ωx
=2sin2ωx+3sin
ωxcos
ωx-cos2ωx
=1-cos
2ωx+sin2ωx-(1+cos
2ωx)
=(sin
2ωx-cos
2ωx)+
=sin+.
(1)因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是,所以函数f(x)的最小正周期T=π,则ω=1.
(2)f(x)=sin+.
因为x∈,所以∈,
则当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值-1;当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值.
21.(12分)(2020·潍坊高一检测)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cos
x,1),b=(cos
x,sin
2x+m).
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间.
(2)当x∈时,-4【解析】(1)f(x)=2cos
2x+sin
2x+m
=2sin
+m+1.所以函数f(x)的最小正周期T=π,
在[0,π]上的单调递增区间为,.
(2)因为当x∈时,f(x)单调递增,
所以当x=时,f(x)的最大值等于m+3.
当x=0时,f(x)的最小值等于m+2.
由题设知解得-622.(12分)如图,四边形ABCD是边长为10的正方形,以点A为圆心,9为半径画弧,分别交AB,AD于点E,F,P为上一动点,过点P分别作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N,求矩形PMCN的面积的最小值.
【解析】连接PA,设∠PAE=θ,
如图所示.
设矩形PMCN的面积为S,延长NP交AB于点H,
则PM=HB=AB-AH=10-9cos
θ,
PN=HN-HP=10-9sin
θ.所以S=PM·PN
=(10-9cos
θ)(10-9sin
θ)
=100-90sin
θ-90cos
θ+81sin
θcos
θ.
设sin
θ+cos
θ=t.
则S=100-90t+(t2-1)=t2-90t+
=+.因为θ∈,
所以t=sin
θ+cos
θ=sin∈[1,],
所以当t=时,Smin=,
故矩形PMCN的面积的最小值为.
PAGE单元素养评价(二)(第八章)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.cos215°+cos275°+cos
15°cos
75°的值是
( )
A.
B.
C.
D.
2.若tan
α=2,则的值等于
( )
A.-
B.
C.-
D.
3.(2020·南宁高一检测)已知=5,则cos
2α+sin
2α=
( )
A.-
B.3
C.-3
D.
4.(2020·长沙高一检测)已知sin
=,cos
β=,α,β为锐角,则sin
的值为
( )
A.
B.
C.
D.
5.三角形ABC中,若C>90°,则tan
A·tan
B与1的大小关系为
( )
A.tan
A·tan
B>1
B.tan
A·tan
B<1
C.tan
A·tan
B=1
D.不能确定
6.若a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b
,则a与b的夹角θ是
( )
A.
B.
C.
D.
7.已知A,B,C是△ABC的三个内角,设f(B)=4sin
B·
cos
2+cos
2B,若f(B)-m<2恒成立,则实数m的取值范围是
( )
A.m<1
B.m>-3
C.m<3
D.m>1
8.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin
A,sin
B),n=(cos
B,cos
A),若m·n=1+cos(A+B),则C=
( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列计算正确的是
( )
A.=1
B.1-2sin275°=
C.cos4-sin4=
D.cos275°+cos215°+cos
75°cos
15°=
10.若函数y=sincos+cos·sin,则( )
A.函数的周期为2π
B.函数的一个对称中心为
C.函数的一条对称轴为x=π
D.函数的值域为
11.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论不正确的是
( )
A.|b|=1
B.a⊥b
C.a·b=1
D.(4a+b)⊥
12.已知锐角α,β满足sin
α-cos
α=,tan
α+tan
β+
tan
αtan
β=,则
( )
A.<α<
B.β<<α
C.<α<β
D.<β<α
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.函数f(x)=sin2的最小正周期是 .?
14.(2020·上海高一检测)已知sin
α=3cos
α,则cos
2α= .?
15.(2020·重庆高一检测)若<α<π,0<β<,
且sin
=,cos
=-,则cos
(α+β)= .?
16.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°.如图,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是 ,最小值为 .?
四、解答题(共70分)
17.(10分)(1)求值:.
(2)已知sin
θ+2cos
θ=0,求的值.
18.(12分)已知向量a,b不共线,c=ka+b,d=a-b.
(1)若c∥d,求k的值,并判断c,d是否同向;
(2)若|a|=|b|,a与b的夹角为60°,当k为何值时,c⊥d?
19.(12分)已知函数f(x)=cos
2ωx+sin
ωxcos
ωx(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离为.
(1)求ω的值并写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)设α是第一象限角,且f=,
求的值.
20.(12分)已知ω>0,a=(2sin
ωx+cos
ωx,2sin
ωx-cos
ωx),b=(sin
ωx,cos
ωx),f(x)=a·b,f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是.
(1)求ω的值.
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
21.(12分)(2020·潍坊高一检测)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cos
x,1),b=(cos
x,sin
2x+m).
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间.
(2)当x∈时,-422.(12分)如图,四边形ABCD是边长为10的正方形,以点A为圆心,9为半径画弧,分别交AB,AD于点E,F,P为上一动点,过点P分别作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N,求矩形PMCN的面积的最小值.
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