二 极坐标系
第一课时 极坐标系的概念
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解极坐标系及其概念，会求点的极坐标.2.能建立极坐标系，由点的极坐标确定位置.
重点：极坐标系的概念与点的极坐标的表示.
难点：极坐标系中点与极坐标之间的对应关系.
授课提示：对应学生用书第4页
[自主梳理]
1．平面内点的位置
在平面直角坐标系中，点的位置用有序实数对确定，平面内的点的位置也可以用距离和角度确定．
2．极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
3．极坐标
设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．
4．点与极坐标的关系
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．
如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．
[双基自测]
1．极坐标系中，与点相同的点是( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，故选A.
答案：A
2．极坐标系中，集合{(ρ，θ)|ρ＝1，θ∈R}表示的图形是( )
A．点
B．射线
C．直线
D．圆
解析：由于ρ＝1，θ∈R表示到极点距离等于1的点的集合，即以极点为圆心，半径为1的圆．
答案：D
3．极坐标系中，点M与N两点间的距离为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：M，N，O(0,0)三点共线，故|MN|＝|MO|＋|NO|＝1＋1＝2.
答案：B
授课提示：对应学生用书第4页
探究一 由极坐标确定点的位置
[例1] 在极坐标系中，画出点A，B，C，D.
[解析] 在极坐标系中先作出线，再在线上截取|OA|＝1，这样可得到点A.同样可作出点B，C.由于π＝＋4π，故点D可写成D，如图位置．
怎样确定极坐标点的位置
由极坐标确定点的位置，常常首先由θ的值确定射线(方向)，再由ρ的值确定位置．如果θ的值不在[0,2π)范围内，先根据θ＝θ0＋2kπ(k∈Z)确定出θ0∈[0,2π)的值再确定方向．
1．在极坐标系中，作出以下各点：A(4,0)，B，C，D.
解析：如图所示，A，B，C，D四个点分别是唯一确定的．
探究二 求点的极坐标
[例2] 已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．
(1)点P是点Q关于极点O的对称点；
(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．
[解析] (1)由于P、Q关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．
(2)由P、Q关于直线θ＝对称，
得它们的极径|OP|＝|OQ|，
点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，
所以点P的坐标为
(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．
2．设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)．
解析：
如图所示，
关于极轴的对称点为B.
关于直线l的对称点为C.
关于极点O的对称点为D.
四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上．
探究三 极坐标系的实际应用
[例3]
如图，以温州所在城市为极点，正东方向为极轴正方向，建立极坐标系，今有某台风中心在东偏南60°，距离极点800千米处，假设当距离台风中心700千米时应当发布台风蓝色警报，已知福州所在城市的极坐标为.
(1)求台风中心的极坐标；
(2)福州是否已发布台风蓝色警报？
[解析] (1)由题意知，台风中心距离极点800千米，极角取，所以台风中心的一个极坐标为.
(2)福州所在城市的极坐标为.由(1)得，
福州距离台风中心的距离为
d＝
＝100×＝100>700，
所以该城市还未发布蓝色警报．
用极坐标求两点间的距离
(1)用极坐标求两点间的距离，就是根据余弦定理解以极点O为顶点的三角形．由于极坐标中有极角，则求三角形的内角就较为方便．
(2)两点A、B的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，
则|AB|＝
.
3．已知极坐标系的极点为O，点M，N的极坐标分别为M，N，求△MON的重心G的极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜2π)．
解析：如图所示．
|OM|＝|ON|＝2，
∠xOM＝，∠xON＝，
∴点M、N关于极轴对称，∠MON＝，所以△MON为等边三角形．
设MN交极轴于H，
则|OH|＝|OM|cos＝2×＝，
∴H(，0)，由于△MON的重心G在中线OH上，且|OG|＝|OH|＝，
∴G为所求．
极坐标的实际应用
[典例] (本题满分12分)某大学校园的部分平面示意图如图所示．
用点O，A，B，C，D，E，F分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))
[解析] 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1
m)，建立极坐标系，如图所示．
4分
由|OB|＝600
m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得
|AB|＝300
m，|OA|＝300
m，
同样求得|OD|＝2|OF|＝300
，8分
所以各点的极坐标分别为
O(0,0)，A(300
，0)，B，C，
D，E(300，π)，F.12分
[规律探究] 在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ≥0，θ∈[0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．
[随堂训练] 对应学生用书第6页
1．下列各点中与极坐标表示同一个点的极坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为＝－＋2π，故选B.
答案：B
2．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A．关于极轴所在的直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称
D．重合
解析：因为点(ρ，θ)关于极点的对称点为(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)，故选B.
答案：B
3．已知M，N，求|MN|.
解析：|MN|＝
＝
＝
＝＝7.
PAGE第二课时 极坐标和直角坐标的互化
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式.2.能进行点的极坐标与直角坐标的互相转化.
重点：点的极坐标与直角坐标的互相转化.
难点：将点的直角坐标转化为极坐标.
授课提示：对应学生用书第6页
[自主梳理]
点的极坐标和直角坐标的互化
1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．
2．互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化公式
ρ2＝x2＋y2
tan
θ＝(x≠0)
在一般情况下，由tan
θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．
[双基自测]
1．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－.
答案：C
2．将点M的直角坐标(－，－1)化成极坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：ρ＝
＝＝2，
tan
θ＝＝，点M在第三象限，θ＝.
所以点M的极坐标为.
答案：B
3．下列各点中与极坐标不表示同一个点的极坐标是________．
①；②；③；
④.
解析：因为与表示同一点的坐标有或，其中k∈Z，所以易得只有②不同．
答案：②
4．(2016·高考北京卷)在极坐标系中，直线ρcos
θ－ρsin
θ－1＝0与圆ρ＝2cos
θ交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案：2
授课提示：对应学生用书第7页
探究一 化极坐标为直角坐标
[例1] 分别把下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)；(2)；(3)(5，－5)．
[解析] (1)∵x＝ρcos
θ＝2cos＝1，
y＝ρsin
θ＝2sin＝，
∴点的极坐标化为直角坐标为(1，)．
(2)∵x＝ρcos
θ＝4cos＝0，
y＝ρsin
θ＝4sin＝－4，
∴点的极坐标化为直角坐标为(0，－4)．
(3)∵x＝ρcos
θ＝5cos(－5)＝5cos
5，
y＝ρsin
θ＝5sin(－5)＝－5sin
5，
∴点的极坐标(5，－5)化为直角坐标为(5cos
5，－5sin
5)．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件
(1)极点与直角坐标系的原点重合；
(2)极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；
(3)两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
1．将下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)；(2)；(3).
解析：由公式将极坐标化为直角坐标．
(1)∵x＝2cos＝－，y＝2sin＝－1，
∴点的极坐标化为直角坐标为(－，－1)．
(2)∵x＝6cos＝3，y＝6sin＝－3，
∴点的极坐标化为直角坐标为(3，－3)．
(3)∵x＝2cos＝0，y＝2sin＝－2，
∴点的极坐标化为直角坐标为(0，－2)．
探究二 点的直角坐标化为极坐标
[例2] 将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0，θ∈[0,2π))：
(1)(－2,2)；(2)；(3)(0，－)．
[解析] (1)由ρ＝＝2，tan
θ＝＝－1，且角θ的终边经过点(－2,2)，
当θ∈[0,2π)时，θ＝，
故点的极坐标为.
(2)由ρ＝＝1，
tan
θ＝＝－，
且角θ的终边经过点，
当θ∈[0,2π)时，θ＝，
故点的极坐标为.
(3)由ρ＝＝，且角θ的终边经过点(0，－)，当θ∈[0,2π)时，θ＝，故点的极坐标为.
点的直角坐标化为极坐标的注意事项
化点的直角坐标为极坐标时，一般取ρ≥0，θ∈[0,2π)，即θ取最小正角，由tan
θ＝(x≠0)求θ时，必须根据角θ的终边经过点(x，y)所在的象限来确定θ的值．
2．已知点的直角坐标分别为A(3，－)，B，C(－2,2)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．
解析：根据ρ2＝x2＋y2，tan
θ＝(x≠0)，
得A，B，C.
探究三 极坐标与直角坐标的综合应用
[例3] 在极坐标系中，如果等边三角形ABC的两个顶点的极坐标分别为A，B，且ρ≥0，θ∈[0,2π)，求：
(1)顶点C的极坐标；
(2)三角形的面积．
[解析] (1)由公式得点A，B的直角坐标分别为A(，)，B(－，－)．
点C必在直线y＝－x上，且|OC|＝2tan
60°＝2，
设点C的直角坐标为(x，－x)，
则＝2，
即|x|＝2，
解得x＝±，
故点C的直角坐标为(－，)或(，－)．
由公式且ρ≥0，θ∈[0,2π)，
得点C的极坐标为或.
(2)由上述，得三角形的边长为4，
得S△ABC＝×2×4＝4.
不论是平面直角坐标系还是极坐标系，都是利用代数方法刻画几何位置以及几何度量问题，所以利用条件画出几何图形就能容易明确解题方向，从而优化解题思路，简化解题过程．
3．(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos
θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解析：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos
θ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)，
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos
α，于是△OAB面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cos
α·|sin|
＝2|sin－|
≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
极坐标与直角坐标互化的应用
[典例] 在极坐标系中，点和圆(x－1)2＋y2＝1的圆心的距离为( )
A.
B．2
C.
D.
[解析] 方法一 ∵(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1,0)，化为极坐标是(1,0)，
∴点(2，)到圆心的距离
d＝
＝＝＝.
方法二 将点(2，)化为直角坐标是(1，)
又(x－1)2＋y2＝1的圆心的坐标是(1,0)，
∴点(2，)到圆心的距离d＝＝.
[答案] A
[感悟提高] (1)极坐标与直角坐标互化公式主要应用于解决平面几何图形中的对称、距离、面积、角度等问题．
(2)常用的两个解题思路：一是直接利用ρ，θ的几何含义，在极坐标系下求解；二是首先将问题转化为直角坐标系下求解，然后再将问题转化为极坐标下．这个过程需要充分利用互化公式进行过渡．
[随堂训练] 对应学生用书第8页
1．下列极坐标对应的点在极轴上的是( )
A．(1,1)
B．(2,0)
C.
D.
答案：B
2．已知点A的直角坐标为(－，)，则它的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵ρ＝
＝，
tan
θ＝－1，sin
θ＝，
∴θ＝.
∴极坐标为，故选B.
答案：B
3．(2017·高考北京卷)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为________．
解析：由ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0，得
x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，
圆心坐标为C(1,2)，半径长为1.
∵点P的坐标为(1,0)，∴点P在圆C外．
又∵点A在圆C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.
答案：1
4．已知两点的极坐标为A，B，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为________．
解析：在极坐标系Ox中作出点A和B，如图所示，
则|OA|＝|OB|＝3，∠AOx＝，∠BOx＝，
∴∠AOB＝.
∴△AOB为正三角形，从而|AB|＝3，直线AB的倾斜角为
π－＝.
答案：3
PAGE三 简单曲线的极坐标方程
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.了解极坐标方程的意义.2.掌握几种常见的圆及直线的极坐标方程.3.掌握求曲线极坐标方程的方法，能够根据极坐标方程，解决有关的数学问题.
重点：理解直线和圆的极坐标方程的推导和应用.
难点：能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题.
授课提示：对应学生用书第9页
[自主梳理]
1．曲线的极坐标方程
曲线C的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程
(1)圆心在C(a,0)(a>0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos_θ.
(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r.
(3)圆心在点处且过极点的圆的方程为ρ＝2asin_θ(0≤θ＜π)．
3．直线的极坐标方程
(1)若直线经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
(2)当直线l过极点，即ρ0＝0时，l的方程为：θ＝α.
(3)当直线l过点M(a,0)且垂直于极轴时，l的方程为：ρcos_θ＝a.
(4)当直线l过点M且平行于极轴时，l的方程为：ρsin_θ＝b.
[双基自测]
1．在极坐标系中，与点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题知相当于极轴绕极点顺时针旋转，则点关于极轴所在直线对称的点相当于极轴绕极点逆时针旋转，极径都是3，故选B.
答案：B
2．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( )
A．ρ＝1
B．ρ＝cos
θ
C．ρ＝2cos
θ
D．ρ＝2sin
θ
解析：经过极点O且半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos
θ，因圆心在(1,0)，所以半径为1，所以极坐标方程为ρ＝2cos
θ，故选C.
答案：C
3．过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为( )
A．θ＝
B．θ＝，ρ≥0
C．θ＝，ρ≥0
D．θ＝和θ＝，ρ≥0
解析：直角坐标系中倾斜角为的直线对应极坐标系中θ＝和θ＝，ρ≥0两条射线，故选D.
答案：D
4．极坐标方程ρ＝2cos
θ表示的曲线所围成的面积为________．
解析：由ρ＝2cos
θ＝2×1×cos
θ知，曲线表示圆，且圆的半径r为1，所以面积S＝πr2＝π.
答案：π
授课提示：对应学生用书第9页
探究一 圆的极坐标方程
[例1] 求圆心在A，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．
[解析] 如图，设M(ρ，θ)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，
则有|OB|＝4，|OM|＝ρ，
∠MOB＝，∠BMO＝，
从而△BOM为直角三角形，
所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB，
即ρ＝4cos＝－4sin
θ.因为点O(0,0)，B也适合此方程，故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin
θ.化为直角坐标方程为x2＋y2＋4y＝0.
1．在求曲线的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，然后化简，最后求出ρ与θ的函数关系，即为要求的极坐标方程．
2．几种特殊情形下的圆的极坐标方程
当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cosθ，若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos
θ＝2rcos
θ，若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．
1．在极坐标系中，求：
(1)圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；
(2)圆心为C(2，π)，半径为2的圆的极坐标方程．
解析：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，结合图(1)，得|OM|＝2，∴ρ＝2,0≤θ＜2π.
(2)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，结合图(2)，
在Rt△OAM中，∠OMA＝，∠AOM＝π－θ，|OA|＝4.
∵cos∠AOM＝，
∴|OM|＝|OA|·cos∠AOM，
即ρ＝4cos(π－θ)，
故ρ＝－4cos
θ为所求．
探究二 直线的极坐标方程
[例2] 求下列直线的极坐标方程．
(1)过点A且平行于极轴的直线l；
(2)过点A且倾斜角为的直线l.
[解析] (1)如图所示，在直线l上取不同于点A的任意一点M(ρ，θ)，
∵A，
∴|MH|＝2sin＝，
在Rt△OMH中，|MH|＝|OM|sin
θ，
即ρsin
θ＝，
经检验点A的坐标(2，)适合上述方程，
∴过A且平行于极轴的直线l的极坐标方程为
ρsin
θ＝.
(2)如图所示，在直线l上取不同于点A的任意一点M(ρ，θ)，
∵A(3，)，
∴|OA|＝3，∠AOB＝，
由已知∠MBx＝，
∴∠OAB＝－＝，
∴∠OAM＝π－＝.
又∠OMA＝∠MBx－θ＝－θ，
在△MOA中，根据正弦定理得＝，
又∵sin＝sin＝，
将sin(－θ)展开，化简上面的方程，
可得ρ(sin
θ＋cos
θ)＝＋.
经检验点A的坐标适合上述方程，
∴过A且倾斜角为的直线l的极坐标方程为
ρ(sin
θ＋cos
θ)＝＋.
求直线的极坐标方程常用的三角形法
三角形法的解题步骤：首先根据题意作出图形，构造一个三角形，其中包括动点以及已知点，再利用三角形及三角函数的有关知识列出等式，然后将等式坐标化，即用已知条件及动点的坐标(ρ，θ)表达出来，化简、整理即可得到直线的极坐标方程．
2.如图所示，求过点P(ρ1，θ1)，且与极轴所成的角为α的直线l的极坐标方程．
解析：如图，设点M(ρ，θ)为直线上除点P外的任意一点，连接OM，
则|OM|＝ρ，∠xOM＝θ，
由点P的极坐标知|OP|＝ρ1，
∠xOP＝θ1.
设直线l与极轴交于点A，则在△MOP中，
∠OMP＝α－θ，∠OPM＝π－(α－θ1)，
由正弦定理得＝，
即ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)，显然点P的坐标也是它的解．
所以直线l的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)．
探究三 直角坐标方程与极坐标方程的互化
[例3] 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化：
(1)x2＋(y－2)2＝4；
(2)ρ＝9(sin
θ＋cos
θ)；
(3)2ρcos
θ－3ρsin
θ＝5.
[解析] (1)∵x2＋(y－2)2＝4，
∴x2＋y2＝4y，
代入x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ得ρ2－4ρsin
θ＝0，
即ρ＝4sin
θ.
(2)∵ρ＝9(sin
θ＋cos
θ)，
∴ρ2＝9ρ(sin
θ＋cos
θ)，
∴x2＋y2＝9x＋9y，
即2＋2＝.
(3)∵2ρcos
θ－3ρsin
θ＝5，
∴2x－3y＝5.
极坐标与直角坐标互化技巧
(1)求极坐标或极坐标方程的问题，可以进行直角坐标与极坐标的互相转化进行解决．
(2)将y＝ρsin
θ，x＝ρcos
θ代入曲线的直角坐标方程，即得曲线的极坐标方程，值得注意的是，极坐标方程与直角坐标方程互相转化的前提是极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且两种坐标系的单位长度相同．
3．转化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状．
(1)ρcos
θ＝2；(2)ρ＝2cos
θ；(3)ρ2cos
2θ＝2；
(4)ρ＝
.
解析：(1)∵ρcos
θ＝2，∴x＝2，∴曲线是过点(2,0)，垂直于x轴的直线．
(2)∵ρ＝2cos
θ，∴ρ2＝2ρcos
θ，∴x2＋y2－2x＝0，
即(x－1)2＋y2＝1，
故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆．
(3)∵ρ2cos
2θ＝2，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝2，
即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝2，∴x2－y2＝2，
故曲线是中心在原点，焦点在x轴上的等轴双曲线．
(4)∵ρ＝，∴ρ＝1＋ρcos
θ，
∴
＝1＋x，两边平方并整理得y2＝2，
故曲线是顶点为，焦点为F(0,0)，准线方程为x＝－1的抛物线．
利用曲线的极坐标方程及极坐标的几何意义求弦长问题
[典例] (2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
[解析] (1)因为x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，所以C1的极坐标方程为ρcos
θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0，得
ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.
[感悟提高] (1)本题第(2)小题求解的关键是求出直线θ＝与圆ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0的弦长|MN|，此时M，N，|MN|＝|ρ1－ρ2|.
(2)一般情况下，直线l与曲线C相交于M，N两点时，先求出直线l和曲线C的极坐标方程，再联立方程组消去θ得关于ρ的一元二次方程，然后利用极径的几何意义求出弦长|MN|＝|ρ1－ρ2|.
[随堂训练] 对应学生用书第11页
1．极坐标方程ρ＝4表示的曲线是( )
A．过(4,0)点，且垂直于极轴的直线
B．过(2,0)点，且垂直于极轴的直线
C．以(4,0)为圆心，半径为4的圆
D．以极点为圆心，半径为4的圆
解析：由极坐标方程的定义可知，选D.
答案：D
2．极坐标方程2sin
θ＝(ρ∈R)表示的图形是( )
A．两条直线
B．两条平行直线
C．一条直线
D．两条相交直线
解析：由2sin
θ＝(ρ∈R)得sin
θ＝，
∴θ＝(ρ∈R)或θ＝π(ρ∈R)，故选D.
答案：D
3．已知直线的极坐标方程为ρsin＝，则极点到该直线的距离是________．
解析：直线的极坐标方程可化为x＋y－1＝0，故极点到该直线的距离为.
答案：
4．曲线x2＋y2＝2的极坐标方程是________．
解析：∵x2＋y2＝ρ2，ρ≥0，∴ρ＝，∴x2＋y2＝2可化为ρ2＝2ρ，即ρ(ρ－2)＝0.
答案：ρ(ρ－2)＝0
PAGE四 柱坐标系与球坐标系简介
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解柱坐标系和球坐标系的概念和结构.2.掌握空间点的三种坐标的互相转化公式.
重点：空间直角坐标与柱坐标、球坐标的转化关系.
难点：空间一点的球坐标与其他坐标的互相转化公式.
授课提示：对应学生用书第11页
[自主梳理]
1．空间直角坐标系、柱坐标系与球坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O，作两两垂直的三条数轴Ox，Oy，Oz，使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°，这就是空间直角坐标系．有序实数组(x，y，z)叫点P的直角坐标．
(2)柱坐标系：空间直角坐标系Oxyz中，设P是空间任意一点，它在Oxy平面的射影为Q，用(ρ，θ)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)表示．这就是柱坐标系．有序数组(ρ，θ，z)叫点P的柱坐标．其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞(3)球坐标系：空间直角坐标系Oxyz中，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.P在Oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这就是球坐标系．有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标．其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
2．点的空间坐标的互相转化公式
设空间一点P的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则
空间直角坐标(x，y，z)
转换公式
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
[双基自测]
1．点M的柱坐标为，则它的直角坐标为( )
A．(0,1,8)
B．(1,0,8)
C．(－1,0,8)
D．(0，－1,8)
解析：设M的直角坐标为(x，y，z)，
则∴故选A.
答案：A
2．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由点P的柱坐标(ρ，θ，z)知，当θ＝时，点P在平面yOz内，故选A.
答案：A
3．直角坐标系中的点(2,2,2)关于z轴对称的点的柱坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：(2,2,2)关于z轴的对称点为M(－2，－2,2)，设M的柱坐标为(ρ，θ，z)，则有可得tan
θ＝＝1，因点M在第Ⅲ卦限，所以解得θ＝，ρ＝＝＝2，所以点M的柱坐标为.
答案：C
4．已知M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标为________．
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
则x＝4sincosπ＝－2，y＝4sinsinπ＝2，
z＝4cos＝2，
故点M的直角坐标为(－2,2,2)，
柱坐标为.
答案：(－2,2,2)
授课提示：对应学生用书第12页
探究一 直角坐标与柱坐标的互化
[例1] 根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：
(1)；(2).
[解析] 设点的直角坐标为(x，y，z)．
(1)∵(ρ，θ，z)＝，
∴
∴(－，1,3)为所求点的直角坐标．
(2)∵(ρ，θ，z)＝，
∴
∴(1,1,5)为所求点的直角坐标．
直角坐标与柱坐标的互化
点(ρ，θ，z)是三维空间坐标中的点的柱坐标，在平面xOy中实际为极坐标，且ρ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上z为任意实数．化点的柱坐标(ρ，θ，z)为直角坐标(x，y，z)，需要运用
1．设点A的直角坐标为(1，，5)，求它的柱坐标．
解析：由公式
即ρ2＝12＋()2＝4，∴ρ＝2.
tan
θ＝＝，又x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝，∴点A的柱坐标为.
探究二 直角坐标与球坐标的互化
[例2] (1)设点M的球坐标为，求它的直角坐标；
(2)已知点M的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标．
[解析] (1)∵r＝2，φ＝π，θ＝π，
∴z＝r·cos
φ＝2·cosπ＝－，
x＝r·sin
φ·cos
θ＝2·sinπ·cosπ＝－1，
y＝r·sin
φ·sin
θ＝2·sinπ·sinπ＝1，
∴点M的直角坐标为(－1,1，－)．
(2)由互化公式得r＝＝2，
由r·cos
φ＝z，
得cos
φ＝＝，
∴φ＝，
又tan
θ＝＝1，且x>0，y>0，
∴θ＝，
∴点M的球坐标为.
应用互化公式与
可实现点的球坐标与直角坐标的互化．
已知球坐标化直角坐标时，把r，φ，θ代入互化公式即可；直角坐标化球坐标时，先求r，再利用z＝r·cos
φ求出φ，最后求θ，但应注意θ的值由直角坐标中的x，y的值来确定．
2．(1)将点的球坐标化为直角坐标；
(2)将点的直角坐标(0，－2,0)化为球坐标．
解析：(1)因为点的球坐标(r，φ，θ)化为直角坐标为(x，y，z)＝(rsin
φcos
θ，rsin
φsin
θ，rcos
φ)，所以化为直角坐标为
＝(1，，2)．
(2)由(x，y，z)＝(0，－2,0)，
得r＝＝2.
由z＝rcos
φ(0≤φ≤π)，得cos
φ＝＝0，
得φ＝；
又θ(0≤θ<2π)角的终边过点(0，－2)，
得θ＝.所以点的直角坐标(0，－2,0)化为球坐标为.
探究三 球坐标与柱坐标的应用
[例3] 已知球坐标系Oxyz中，点M，点N，求|MN|.
[解析] 方法一 由题意知，|OM|＝|ON|＝6，
∠MON＝－＝，
∴△MON为等边三角形，
∴|MN|＝6.
方法二 设点M的直角坐标为(x1，y1，z1)，
则x1＝6sin×cos＝，
y1＝6sin×sin＝，
z1＝6×cos＝3.
∴点M的直角坐标为，
设点N的直角坐标为(x2，y2，z2)，
则x2＝6×sin×cos＝，
y2＝6sin×sin＝，
z2＝6cosπ＝－3.
∴点N的直角坐标为，
∴|MN|＝＝6.
怎样求球坐标或柱坐标两点之间的距离
已知球坐标或柱坐标的两个点，求这两点间的距离时，可用坐标的几何意义研究这两点与原点构成的三角形特征，用解三角形的方法求出两点间距离．当这个三角形的几何特征不便于求两点间距离时，可将球坐标或柱坐标化为空间直角坐标，用空间直角坐标的方法求两点间距离．
3．已知点P1的球坐标是P1，P2的柱坐标是P2，求|P1P2|.
解析：设P1的直角坐标为(x1，y1，z1)，
则
∴P1点的直角坐标为.
设P2的直角坐标为(x2，y2，z2)，
则
∴P2的直角坐标为.
∴|P1P2|＝
＝.
忽视球坐标的顺序致误
[典例] 直线坐标(，，2)化为球坐标为________．
[解析] 由(x，y，z)＝(，，2)，
得r＝＝4.
由z＝rcos
φ(0≤φ≤π)，得cos
φ＝＝，得φ＝；
又tan
θ＝＝，且θ(0≤θ＜2π)角的终边过点(，，0)，得θ＝.所以点的直角坐标(，，2)化为球坐标为.
[答案]
[错因与防范] (1)点(x，y，z)的球坐标是(r，φ，θ)，而不是(r，θ，φ)，解答本题时常因为没有注意φ，θ的顺序而把球坐标写成而致误．
(2)在空间坐标系中，将点的直角坐标化为柱坐标重点是求极径和极角；将点的直角坐标化为球坐标，重点是求半径、高低角与极角．其中由三角函数值求角是难点，突破这一难点的关键是明确角的取值范围以及角的终边所在的象限，如本例中计算角θ，容易出现得到第三象限角的错误．
[随堂训练] 对应学生用书第14页
1．若点M的直角坐标为(－1，－，3)，则它的柱坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵ρ＝＝2，tan
θ＝，结合点M的坐标知θ＝，z＝3，
∴点M的柱坐标为.
答案：C
2．若点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由坐标变换公式，
得r＝＝2，
cos
φ＝＝，∴φ＝.
∵tan
θ＝＝＝1，
∴θ＝.
∴点M的球坐标为.
答案：B
3．点P的柱坐标为(4，，3)，则点P到原点的距离为________．
解析：x＝ρcos
θ＝4cos＝2，
y＝ρsin
θ＝4sin＝2.
即点P的直角坐标为(2，2,3)，其到原点距离为＝＝5.
答案：5
4．将点M的球坐标化为直角坐标．
解析：由x＝8sincos＝－6，
y＝8sinsin＝2，
z＝8cos＝4，
故点M的直角坐标为(－6,2，4)．
PAGE一 平面直角坐标系
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法.2.能建立适当的直角坐标系，解决数学问题.
重点：平面直角坐标系中点的坐标的伸缩变换.
难点：建立适当的坐标系，运用坐标法解决有关问题.
授课提示：对应学生用书第1页
[自主梳理]
1．平面直角坐标系
(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．
(2)平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做x轴或横轴，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴或y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点．平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．
(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：
两点间的距离公式
中点P的坐标公式
|P1P2|＝
2.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
[双基自测]
1．两个定点的距离为4，点M到这两个定点的距离的平方和为16，则点M的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：设两定点分别为A、B，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，设动点M(x，y)，则由|MA|2＋|MB|2＝16，可得：(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，化简得轨迹方程x2＋y2＝4.故选A.
答案：A
2．△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为(3，)，(3，－)，(0,0)，动点到A，B的距离的平方和等于它到C点的距离的平方，则动点的轨迹方程为( )
A．(x－6)2＋y2＝12
B．(x＋6)2＋y2＝12
C．x2＋(y－6)2＝12
D．x2＋(y＋6)2＝12
解析：设动点坐标为(x，y)，则(x－3)2＋(y－)2＋(x－3)2＋(y＋)2＝x2＋y2，整理得(x－6)2＋y2＝12，故选A.
答案：A
3．把方程y＝cos
x变为y′＝
cos
4x′的伸缩变换公式为________．
解析：比较两方程知故伸缩变换公式为
答案：
4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos
2x按伸缩变换后变换为________．
解析：由得
代入曲线y＝cos
2x，得y′＝cos
x′，
即y＝cos
x.
答案：y＝cos
x
授课提示：对应学生用书第2页
探究一 运用坐标法解决平面几何问题
[例1] 已知?ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
[证明]
方法一 解析法
以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，
则AC的中点E(，)，
由对称性知D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，
|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，
|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab
＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，
|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，
所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
方法二 向量法
在?ABCD中，＝＋，
两边平方得＝||2
＝＋＋2
·，
同理得＝||2
＝＋＋2·，
以上两式相加，得
||2＋||2＝2(||2＋||2)＋2·(＋)
＝2(||2＋||2)，
即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
建立平面直角坐标系的技巧
(1)如果平面几何图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点．
(2)如果平面几何图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴．
(3)尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上．
1．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出此最小值．
解析：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
则A，B，
C.
设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋2＋2＋y2＋2＋y2
＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋32＋a2≥a2，
当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立．
∴所求的最小值为a2，此时P点的坐标为P，即为正三角形ABC的中心．
探究二 用平面直角坐标系解决实际问题
[例2] 已知B村庄位于A村庄的正西方向1
km处，原计划在经过B村庄且沿着北偏东60°的方向上埋设一条地下管线l，但在A村庄的西北方向400
m处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100
m范围划为禁区．试问，埋设地下管线l的计划需要修改吗？
[解析] 以A为坐标原点，正东方向和正北方向分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(－1
000,0)．由W位于A的西北方向及|AW|＝400，得W(－200，200)．
由直线l过点B且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线l的方程是x－y＋1
000＝0.
于是，点W到直线l的距离为
d＝
＝
＝500－100(＋)≈114>100，
所以埋设地下管线l的计划不需要修改．
合理建立坐标系的作用
合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立的合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，反之，将会带来计算的烦琐，结果也不明确．
2.如图所示，某村庄P处有一堆肥料，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到呈矩形的一块田地ABCD中去，已知PA＝100
m，PB＝150
m，BC＝60
m．∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥料较近，而另一侧的点沿PB送肥料较近？如果能，请说明这条界线是什么曲线，并求出它的方程．
解析：田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥料较近，第二类沿PB送肥料较近，第三类沿PA或PB送肥料一样远近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．
设M是界线上的任一点，
则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，
即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)．
故所求界线是以A、B为焦点的双曲线的一支，若以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则所求双曲线方程为－＝1，其中a＝25.
又2c＝|AB|＝＝50，
即c＝25，b2＝c2－a2＝3
750.
因此，双曲线方程为－＝1(25≤x≤25，0≤y≤60)，
此方程为所求界线的方程．
探究三 平面直角坐标系中的伸缩变换
[例3] 在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．
[解析] 设满足条件的伸缩变换为将其代入第二个方程，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.
所以
直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍即可得到直线2x′－y′＝4.
坐标伸缩变换需注意的事项
坐标伸缩变换φ：注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知变换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.
3．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2＋y2＝1变成曲线＋＝1.
解析：设变换为
代入方程＋＝1，得＋＝1.
与x2＋y2＝1比较，将其变形为
x2＋y2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.
∴即将圆x2＋y2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆＋＝1.
平面直角坐标系下的轨迹问题
[典例] (本题满分6分)如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
[解析] 以O1O2的中点O为坐标原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，1分
则O1(－2,0)，O2(2,0)，设P(x，y).2分
由已知|PM|＝|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.
因为两圆的半径均为1，
所以|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12)．则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，5分
所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0).6分
[规律探究] (1)求轨迹方程的一般步骤：
(2)选择适当的坐标系，建系不同，求得的轨迹方程也不同，坐标系的选取应以求解过程的计算量最小，求出的轨迹方程最简单为目标，在求解过程中不仅要从约束条件中的等量关系求出轨迹方程，同时还要关注约束条件中的不等关系，并转化成x，y的取值范围在方程后面加以注明．
[随堂训练] 对应学生用书第3页
1．若平行四边形ABCD的顶点为A(0,0)，B(0，b)，C(a，c)，则第四个顶点D的坐标是( )
A．(a，b＋c)
B．(－a，b＋c)
C．(a，c－b)
D．(－a，b－c)
解析：设D(x，y)，由题知＝，
即(0，b)＝(a－x，c－y)，
∴x＝a，y＝c－b，
∴D点的坐标为(a，c－b)．
答案：C
2．已知平面上两个定点A，B，且A(－1,0)，B(1,0)，动点P与两定点连线的斜率之积为－1，则动点P的轨迹是( )
A．直线
B．圆的一部分
C．椭圆的一部分
D．双曲线的一部分
解析：设点P的坐标为(x，y)．
因为kPA·kPB＝－1，
所以·＝－1，
整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．
答案：B
3．点经过伸缩变换后的点的坐标是________．
解析：设点经过伸缩变换后的点的坐标为(x′，y′)，则x′＝2x＝2×＝π，y′＝5y＝5×1＝5.
答案：(π，5)
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