(共29张PPT)
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
目标定位
重点难点
1.了解空间向量的概念，掌握其表示方法
2.掌握向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义
重点：空间向量的加减运算及运算律
难点：空间向量的加减运算的应用
1．空间向量的概念
名称
定 义
空间向量
在空间中，具有________和________的量叫作空间向量，其大小叫作向量的________或____
单位向量
长度或模为____的向量
零向量
________的向量
相等向量
方向________且模________的向量
相反向量
________相反且________相等的向量
大小
方向
长度
模
1
长度为0
相同
相等
方向
模
a＋b
a－b
b＋a
a＋(b＋c)
2．已知向量a，b是两个非零向量，a0，b0是分别与a，b同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是( )
A．a0＝b0
B．a0＝b0或a0＝－b0
C．a0＝1
D．|a0|＝|b0|
【答案】D
【解析】单位向量的模都为1.
空间向量的概念
其中不正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题探究】结合空间向量的相关概念进行判断．
【答案】C
【解析】当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①错；
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．
【解析】(1)(2)是真命题；(3)空间向量可以用有向线段来表示，但不能说空间向量就是有向线段，如力F是向量，但不能说力F是有向线段，故(3)是假命题；(4)不相等的两个空间向量可能模相等但方向不同，故(4)是假命题．
空间向量的线性运算
【解题探究】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则进行运算．
用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．
【错因分析】对向量减法的三角形法则理解、记忆错误，差向量的方向没有确定准确．
【警示】在进行向量的加减运算时，要牢记向量的运算法则，同起点的两个向量相减，所得结果是由减向量的终点．指向被减向量终点的向量．也可以利用相反向量，把向量减法转化为向量加法．
1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形．
2．向量等式的证明，可以由一端证到另一端，也可以两端同时证明至一“中间”向量表达式，从而达到证明等式的目的．
【答案】BD
【解析】根据空间向量的加减运算可得B，D正确.
【答案】A (共34张PPT)
3.1.2 空间向量的数乘运算
目标定位
重点难点
1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律
2.理解直线的方向向量，会用向量表示空间直线与平面
3.理解共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线与四点共面问题
重点：向量的数乘运算、共线及共面向量定理
难点：空间直线、平面的向量表示式及其应用
1．空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积________仍然是一个________，称为向量的数乘运算．
(2)向量a与λa的关系
λ的范围
方向关系
模的关系
λ>0
方向________
λa的模是a的模的____倍
λ＝0
λa＝____，其方向是任意的
λ<0
方向________
λa
向量
相同
0
相反
|λ|
2．共线向量与共面向量
平行或重合
共线向量
同一个平面
方向向量
2．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
【答案】C
【解析】A，若b为零向量，则a与c不一定共线；B，只需向量a，b，c所在的直线能够平移到同一平面，则a，b，c共面；D，还可能b为零向量．A，B，D均不正确．故选C.
空间向量的线性运算
共线问题
(1)利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的.
(2)应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握.
共线问题
【解题探究】利用共线向量定理说明与的关系做判断．
【答案】A
判断两个向量a，b共线，就是寻求一个常数t，使a＝tb.在解题时要充分运用空间向量的运算法则，可结合图形求解．
共面问题
忽略零向量致误
【示例】对空间任意两个向量a，b，a∥b是a＝λb
(λ∈R)的________条件．
【错解】充要
【错因分析】忽视了b≠0这一条件．若a∥b且b＝0，a≠0，则推不出a＝λb；若a＝λb，则a∥b.所以a∥b是a＝λb的必要不充分条件．
【正解】必要不充分
【警示】零向量与任意非零向量均共线，因此在求解共线问题时，不能忽略对零向量的考察．
1．应用向量的加减法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，应熟练掌握．
2．利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练地进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．
【答案】B
【答案】B
【解析】根据共面向量及共线向量定理，知①③正确．当a，b共线或M，A，B共线时，②④错误．故选B.(共38张PPT)
3.1.3 空间向量的数量积运算
目标定位
重点难点
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法
2.掌握两个向量的数量积概念、性质、计算方法及运算规律
重点：两个向量的数量积运算
难点：两个向量的数量积及简单应用
1．空间向量的夹角
互相垂直
2．空间向量的数量积
λ(a·b)
|a|·|b|
－|a|·|b|
|a|·|b|
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
【答案】B
【解析】对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．
4．已知空间四边形OABC，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝θ，则OA与BC的位置关系为________．
【例1】 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求下列向量的数量积.
【解题探究】根据图形，利用定义并结合运算律计算两个向量的数量积.
空间向量的数量积运算
在空间几何体中求空间向量数量积时，首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积，最后代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
【例2】 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
【解题探究】利用向量数量积公式的逆用进行计算．
求两直线所成的角
2.已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【例3】 如图，已知在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC.
求证：OA⊥BC.
利用空间向量的数量积解决垂直问题
证明两直线垂直，可转化为证明两直线的方向向量垂直．由a⊥b?
a·b＝0，转化为向量的数量积的运算．
3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD1和DC1相交于点O，连接AO.
求证：AO⊥CD1.
【例4】 在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|=
|ND|，求|MN|.
利用数量积求距离或线段长度
求两点间的距离或线段的长度时，先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示该向量，再利用|a|=
，计算出|a|，即得所求距离.
找向量的夹角易出错
【示例】如图，AO⊥平面α，BC⊥OB，BC与平面α所成角为30°，AO＝BO＝BC＝a，求AC长．
1．利用向量的模求线段的长度，可避免画图，很方便．
2．利用向量的数量积求夹角是常见问题，要注意不同角的取值范围．
3．重视数学思想方法的运用，可优化解题思维，简化解题过程．
(1)方程思想：在解题过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，使得在已知向量及未知向量之间构成函数方程关系，整体处理，简化解题运算量．
(2)数形结合思想：根据平面几何知识易于发现各量之间的关系，将位置关系用向量表达．
(3)化归转化思想：注意空间向平面的转化．
【答案】B
【解析】若l⊥平面α，则c
⊥
a，c·a＝0，c⊥b，c·b＝0；反之，若a∥b，则c
⊥
a，c
⊥
b，并不能保证l⊥平面α.(共49张PPT)
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.5
空间向量运算的坐标表示
目标定位
重点难点
1.了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解
2.理解空间向量的坐标表示，掌握空间向量运算的坐标表示
3.掌握空间向量的模、夹角公式与两点间距离公式的坐标表示，会判断向量的共线与垂直
重点：空间向量的坐标运算
难点：空间向量的平行和垂直条件，两个向量的夹角与向量模的坐标计算公式
1．空间向量基本定理
定理：如果三个向量a，b，c________，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝___________，其中__________叫作空间的一个基底，________都叫作基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底
三个有公共起点O且__________的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．
不共面
xa＋yb＋zc
{a，b，c}
a，b，c
两两垂直
公共起点O
e1，e2，e3
平移
起点
xe1＋ye2＋ze3
x，y，z
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a1b1＋a2b2＋a3b3
(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
终点
起点
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
空间向量基本定理的理解
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
【答案】②③④
用坐标表示已知向量
空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线，建立的空间直角坐标系不同，得到的坐标也不同，故本题的答案不唯一．
【答案】(－2，－1，－4) (－4,2，－4)
【例3】 已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，求p，q，p·q.
【解题探究】利用空间向量的坐标运算法则计算即可．
解：p＝a－b＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)．
q＝a＋2b－c＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)．
p·q＝(1,0，－1)·(0,3,1)＝－1.
空间向量的坐标运算
(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．
【解题探究】建立适当的直角坐标系，利用空间向量的坐标计算．
利用向量的坐标运算证明平行、垂直
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路：(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
【例5】 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
利用向量的坐标运算解决夹角、距离问题
1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤：
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间坐标系．
(2)利用题设条件写出有关的坐标，进而获得相关的坐标．
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
2．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
5．设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b，|a－2b|及a与b的夹角的余弦值．
【解题探究】利用向量数量积公式进行计算．
【错因分析】将∠BAD误认为是90°，以至于建系错误，则后面的错误就不可避免了．
【警示】空间直角坐标系的建立必须保证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线创造三条两两垂直的直线．
1．利用向量求解或证明时可以选择基底来处理，也可以建立直角坐标系化为坐标运算，通常坐标运算较为简单．
2．坐标运算，选择坐标系是关键，为了使点的坐标易于计算和证明，一定要分析几何体的特征，选取合适的坐标系，同时还要灵活应用平面几何的相关知识进行求解．
【答案】A
3．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，若a＝4e1－8e2＋3e3，则a的坐标为________．
【答案】(4，－8,3)
【解析】由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8,3)．
4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则实数x＝________.
【答案】－4
【解析】a＋b＝(－2,1,3＋x)，∵(a＋b)⊥c，∴(a＋b)·c＝0.∴－2＋(－x)＋2(3＋x)＝0.∴x＝－4.(共33张PPT)
3.2 立体几何中的向量方法(一)
目标定位
重点难点
1.理解直线的方向向量、平面的法向量，会求平面的法向量
2.能利用直线的方向向量和平面的法向量解决平行问题
3.能利用直线的方向向量和平面的法向量解决垂直问题
重点：用向量方法解决平行与垂直问题
难点：用向量方法解决立体几何问题
1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线___________向量．
2．平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的__________a，则a叫作平面α的法向量．
平行的非零
方向向量
3．空间中平行关系的向量表示
(1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?a∥b?_______?
______________________________.
(2)线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，若l?α，则l∥α?a⊥u?
_________
?
____________________.
a＝kb
a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈R
a·u＝0
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
(3)面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?u∥v?________?
______________________________.
4．空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?________?________?
____________________.
u＝kv
a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈R
a⊥b
a·b＝0
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
(2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?u∥v?________.
(3)面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?______?________?
___________________.
u＝kv
u⊥v
u·v＝0
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
1．设平面α内两个向量的坐标分别为(1,2,1)，(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是( )
A．(－1，－2,5)
B．(－1,1，－1)
C．(1,1,1)
D．(1，－1，－1)
【答案】B
【解析】∵(－1,1，－1)·(1,2,1)＝－1＋2－1＝0，(－1，1，－1)·(－1,1,2)＝1＋1－2＝0，∴向量(－1,1，－1)是平面α的法向量．故选B.
2．若平面α与β的法向量分别是a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．无法判断
【答案】A
【解析】∵a＝(1,0，－2)＝－(－1,0,2)＝－b，∴a∥b.∴α∥β.
【答案】B
【解析】∵α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，
∴(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.
【例1】 如下图，在长方体OAEB
O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上且AP＝2PA1，点S在棱BB1上且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS.
利用空间向量解决平行问题
【解题探究】建立适当的直角坐标系，证明线线平行转化为证明方向向量共线．
证明两直线平行，即证两直线的方向向量共线且不共点，解题的关键是建立适当的坐标系，求出相应点的坐标.
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，求证：平面EFG∥平面HMN.
利用空间向量解决垂直问题
【解题探究】(1)证明两直线垂直，即证两直线方向向量垂直；(2)利用向量数量积求夹角．
【解析】以D为原点，线段DA，DC，DD′
所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
证明两直线垂直，即证两直线的方向向量垂直，即证两个向量的数量积为0，解题的关键是建立适当的坐标系，求出相应点的坐标．
2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．求证：EF⊥平面PAB.
【证明】以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．
设E(a,0,0)，其中a>0,
则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0，0,1)，
1．直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具，是实现空间问题的向量解法的媒介．
2．用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理．
3．用向量方法证明平行、垂直问题的步骤
(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；
(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；
(3)根据运算结果解释相关问题．
1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，则(
)
A．α，β相交但不垂直
B．α⊥β
C．α∥β
D．以上均不正确
【答案】B
【解析】∵u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，∴u·v＝1×(－2)＋2×2＋(－1)×2＝0.∴u⊥v.∴α⊥β.故选B．
2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1A
【答案】B
3．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z的值为( )
A．3
B．6
C．－9
D．9
【答案】C
【解析】∵l⊥平面α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0.解得z＝－9.
【答案】1 0 (共46张PPT)
3.3 立体几何中的向量方法(二)
目标定位
重点难点
1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题
2.能用向量方法解决长度、距离问题
3.体会向量方法在研究几何问题中的作用
重点：用向量方法求空间中的角、距离
难点：用向量方法求空间中的角、距离
1．利用向量求空间角
|cos〈a，b〉|
|cos〈a，n〉|
|cos〈n1，n2〉|
2．利用向量求空间距离
【答案】D
2．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【答案】C
【解题探究】用B1M与D1N的方向向量的夹角来求解.
利用空间向量求两条异面直线所
利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是
，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以cos
θ＝|cos
α|.
【解题探究】建立适当的直角坐标系，求线面的夹角转化为求线与线的夹角．
利用空间向量求直线与平面所成的角
利用向量知识求直线与平面所成角的关键是求出平面的一个法向量，然后利用夹角公式求解，注意向量夹角与线面角之间余弦值与正弦值的转化．
【例3】 如图，四棱锥PABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上且PE＝2EA.求二面角ABED的余弦值．
【解题探究】建立适当的直角坐标系，求二面角的余弦值转化为求两平面法向量夹角的余弦值．
利用空间向量求二面角
用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的夹角的大小是不是二面角的大小(相等或互补)，要根据图形观察得到结论.
【例4】 已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
【解题探究】建立适当的坐标系，点到面的距离转化为两点间距离．
利用空间向量求空间距离
用向量法求点到平面的距离，垂线常常不必作出来，只须设出垂线段对应的向量或平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为解方程组求其法向量．
4.四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点.
(1)求证：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离.
二面角与向量夹角的转化易出错
【示例】如图，正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别为AC和BC边上的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB，则二面角BACD的余弦值为________．
【错因分析】分清二面角的两个半平面的法向量的夹角是等于二面角，还是它的补角．
1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题．
2．通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(夹角、距离等问题)．
3．根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
【答案】B
4．在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点且点M到三个面PAB，PBC，PCA的距离分别为2,3,6，则点M到顶点P的距离是( )
A．2
B．3
C．6
D．7
【答案】D(共4张PPT)
本章的主要内容有两部分，一是空间向量的线性运算、数量积运算及其坐标表示，二是利用空间向量判断空间中的位置关系，求空间角和空间距离等．
1．空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广．
2．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
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第三量空问量与立体几何
章导学
内容概述
学法指导(共50张PPT)
章
末
归
纳
整
合
【知识构建】
专题一 向量法
用向量法来处理立体几何问题，体现了“数”与“形”的结合，淡化了传统立体几何教材中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使问题变得简单化，这是用向量法解立体几何题的独到之处．
【思想方法专题】
用向量法解决的问题有：
(1)利用两个向量共线的条件和共面向量定理，可以证明有关平行、共面的问题；
(2)利用两个向量垂直的充要条件可以证明和计算与垂直有关的问题；
(3)利用两个非零向量的夹角公式可以求解有关空间角的问题；
(4)利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关空间距离的问题．
专题二 参数法
在解决立体几何问题时，判断线面、面面的位置关系，求线面角、二面角及空间距离时经常需要求平面的法向量，当平面的法向量不明显时，需要设出平面的法向量n＝(x，y，z)，然后利用向量n与平面的垂直关系列出方程组求出向量n.
【方法点评】本题若用纯立体几何的方法求解，则会遇到繁琐的几何证明以及作图，故创造建系的环境转化成空间向量，以坐标计算来代替几何证明和作图．要用向量法求点A到平面VBC的距离，须要先用设参数的方法求出平面VBC的一个法向量，同样，要求二面角AVBC余弦值的大小，也须先用参数法求出平面VAB的一个法向量．注意一个平面的法向量有无数个，我们只要取其中的一个即可．
变式训练2如图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.
(1)求证：EF∥B1C；
(2)求二面角EA1DB1的余弦值．
(1)【证明】∵A1B1∥CD且A1B1＝CD，
∴四边形A1B1CD为平行四边形．
∴B1C∥A1D.
又B1C?平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD.
∵平面A1EFD∩平面B1CD1＝EF，∴EF∥B1C.
专题三 求二面角的大小
用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．
【例3】 如图，在三棱锥PABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.
(1)求证：PC⊥AB；
(2)求二面角BAPC的正弦值．
(1)证明：∵AC＝BC，AP＝BP，CP＝CP，
∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC，∴PC⊥BC.
∵AC∩BC＝C，∴PC⊥平面ABC.
∵AB?平面ABC，∴PC⊥AB.
【方法点评】求二面角的大小，可以作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角，但应注意，两向量的始点应在二面角的棱上．
专题四 用空间向量证明平行与垂直问题
(1)证明线面平行问题可以有以下三种方法：
①利用线∥线?线∥面．
②向量p与两个不共线的向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p＝xa＋yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题．
③设n为平面α的法向量，a为直线l的方向向量，若l?α，要证明l∥α，只须证明a·n＝0.
(2)证明线面垂直的常用方法有：
①设a为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，则a＝λn(λ为非零实数)?a与n共线?l⊥α.
②l是直线a，b所在平面α外的直线，a，b相交，l，a，b分别为直线l，a，b的方向向量，则有l·a＝0且l·b＝0?l⊥a且l⊥b?l⊥α.
【例4】 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥DC，△ADC和△ABC均为等腰直角三角形，PA＝AD＝DC＝a，点E为侧棱PB上一点且BE＝2EP.
求证：(1)平面PCD⊥平面PAD；
(2)直线PD∥平面EAC.
【方法点评】在建立空间直角坐标系求点的坐标时，要让尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上.
空间向量与立体几何是高考考查的重要知识点之一，每年都有一道解答题．可以借助空间向量判断空间中的位置关系、求空间角和空间距离等．
【解读高考】
【答案】C
2.(2019年新课标Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)求证：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角BCGA的大小.
3.(2019年天津)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(3)若二面角EBDF的余弦值为
，求线段CF的长.
