(共40张PPT)
第三章
概率
3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
必备知识·自主学习
1.事件及分类
【思考】
定义中的“在条件S下”，可以去掉吗？为什么？
提示：不能.因为要判断一个事件是哪种事件，首先要看清条件，条件决定事件的种类，随着条件的改变，其结果也会不同.
2.频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A
出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=
为事件A出现
的频率，其取值范围是[0，1].
3.概率
随机事件发生可能性的大小用概率来度量.对于给定的随机事件A，事件A发生
的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可用频率fn(A)来估计
概率P(A)，即P(A)≈
.
【思考】
(1)频率与试验次数有关吗？概率呢？
提示：频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同.
概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验做没做、做多少次完全无关.
(2)试验次数越多，频率就越接近概率吗？
提示：不是.随着试验次数的增多(足够多)，频率稳定于概率的可能性在增大.但不能说频率越接近概率.在事件的概率未知的情况下，我们常用频率作为概率的估计值.即概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当水的温度达到100
℃时沸腾是必然事件.
( )
(2)一枚骰子投掷10次均正面向上是不可能事件.
( )
(3)“王宁下次的数学成绩在130分以上”是随机事件.
( )
(4)试验的次数越多，获得的数据越多，这时用
来表示P(A)越精确.
( )
提示：(1)×.水是否沸腾还与大气压有关.
(2)×.10次均正面向上的可能性比较小，但也可能发生.
(3)√.王宁下次的数学成绩在130分以上，可能发生，也可能不发生.
(4)√.
2.下列事件是确定事件的是
( )
A.2022年世界杯足球赛期间不下雨
B.没有水，种子发芽
C.对任意x∈R，有x+1>2x
D.抛掷一枚硬币，正面朝上
【解析】选B.A，C，D是随机事件，B是不可能事件，即是确定事件.
3.(教材二次开发：练习改编)从5个男生、2个女生中任选3人，则下列事件中是必然事件的是
( )
A.3个都是男生
B.至少有1个男生
C.3个都是女生
D.至少有1个女生
【解析】选B.由于只有2个女生，而要选派3人，故至少有1个男生.
关键能力·合作学习
类型一 事件类型的判断(数学抽象)
【题组训练】
1.从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情
( )
A.可能发生
B.不可能发生
C.很可能发生
D.必然发生
2.下列四种说法：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，x2<0”是不可能事件；③“2022年的国庆节是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件.其中正确的个数是
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
3.指出下列事件中，哪些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些是随机事件.
(1)直线y=k(x+1)过定点(-1，0).
(2)某一天内电话收到的呼叫次数为0.
(3)一个袋内装有形状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球为白球.
【解析】1.选D.因为若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张，一定还有1张黑桃；若抽出了全部的梅花与黑桃共7张，则还会有3张红桃；若抽出了全部的红桃与黑桃共8张，则还会有2张梅花.所以这个事件一定发生，是必然事件.
2.选B.①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件，此说法是正确的；
②“当x为某一实数时，x2<0”是不可能事件，此说法是正确的，因为没有哪个实数的平方小于0；
③“2022年的国庆节是晴天”是随机事件，故此说法不正确；
④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件，此说法正确.综上，①②④是正确的，共3个.
3.(1)是必然事件.(2)是随机事件.(3)是随机事件.
【解题策略】
两步判断三类事件
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
【补偿训练】
指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件.
(1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；
(2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；
(3)如果a>b，那么b
(4)某人购买福利彩票中奖；
(5)某人的手机一天接到20次电话.
【解析】(1)(4)(5)是随机事件，(2)是不可能事件，(3)是必然事件.
类型二 试验结果列举(数学抽象、数据分析)
【典例】袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从袋中任取1球；
(2)从袋中任取2球.
步骤
内容
理解
题意
条件：袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球
结论：按所给条件写出随机试验的条件和结果
思路
探求
按照顺序书写试验结果
书写
表达
(1)条件为：从袋中任取1球.结果为：红、白、黄、黑共计4种.
(2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，则结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)共计6种.
题后
反思
取两个球时要确定好取球的顺序，按照一定的顺序进行.
【解题策略】
不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决.
【跟踪训练】
下列随机事件中，一次试验各指什么？写出试验的所有结果.
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A={a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集.
【解析】(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正).
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}.
类型三 利用频率与概率的关系求概率(数学抽象)
【典例】下表是某乒乓球的质量检查统计表：
(1)计算各组优等品频率，填入上表.
(2)根据频率估计事件“抽取的是优等品”的概率.
抽取球数
50
100
200
500
1
000
2
000
优等品数
45
92
194
470
954
1
902
优等品频率
【思路导引】先计算出每次抽检的优等品的频率，再估计概率值.
【解析】(1)根据优等品频率=
可得优等品的频率.从左到右依次为
0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.
(2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故“抽取的是优
等品”的概率约是0.95.
【解题策略】
估算法求概率
(1)用频率估计概率：
①进行大量的随机试验，求得频数；
②由频率计算公式fn(A)=
得频率；
③由频率与概率的关系估计概率.
(2)注意事项：
试验次数n不能太小.只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数
附近摆动，且这个常数就是概率.
【跟踪训练】
1.(2020·贵阳高二检测)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，如图，其中“
”表示服药者，“+”表示未服药者.
下列说法中，错误的是
( )
A.服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低
B.未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高
C.以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94
D.这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5
【解题指南】根据服药组和未服药组的数据分布可判断A、B选项的正误；观察服药组的指标x大于100的数据个数，可判断C选项的正误；观察未服药组生理指标y的分布，可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【解析】选B.对于A选项，服药组的指标x的取值相对集中，方差较小，且服药组的指标x的均值小于100，未服药组的指标x的均值大于100，A选项正确；
对于B选项，未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小，B选项错误；
对于C选项，服药组的指标x值有3个大于100，所以患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94，C选项正确；
对于D选项，未服药组的指标y值只有1个数据比1.5小，则这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5，D选项正确.
2.某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
(1)求各次击中飞碟的频率.(保留三位小数)
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
射击次数n
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数nA
81
95
120
81
119
127
121
【解析】(1)计算
得各次击中飞碟的频率依次约为0.810，0.792，0.800，
0.810，0.793，0.794，0.807.
(2)由于这些频率非常接近0.800，且在它附近摆动，
所以该射击运动员击中飞碟的概率约为0.800.
【补偿训练】
某人捡到不规则形状的小五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录落在桌面上的数字，得到如下频数表：
则落在桌面上的数字不小于4的频率为______.?
落在桌面上的数字
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
【解析】落在桌面上的数字不小于4，即4，5，频数共13+22=35.所以
频率=
=0.35.
答案：0.35
课堂检测·素养达标
1.下列事件中，不可能事件为
( )
A.三角形内角和为180°
B.三角形中大边对大角，大角对大边
C.锐角三角形中两个内角和小于90°
D.三角形中任意两边的和大于第三边
【解析】选C.若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C为不可能事件，而A，B，D均为必然事件.
2.将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是
( )
A.必然事件
B.随机事件
C.不可能事件
D.无法确定
【解析】选B.正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件.
3.下列说法正确的是
( )
A.任一事件的概率总在(0，1)内
B.不可能事件的概率不一定为0
C.必然事件的概率一定为1
D.以上均不对
【解析】选C.任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.
4.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝
上”这一事件，则A的
( )
A.概率为
B.频率为
C.频率为8
D.概率接近于8
【解析】选B.做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为
.如
果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才
是事件A的概率，故
=
为事件A的频率.
5.(教材二次开发：练习改编)做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出：
(1)这个试验的所有结果；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)事件“出现的点数之和大于8”的所有结果；
(4)事件“出现的点数相同”的所有结果.
【解析】(1)这个试验的所有结果为
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
(2)这个试验的结果的个数为36.
(3)事件“出现的点数之和大于8”的所有结果为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
(4)事件“出现的点数相同”的所有结果为(1，1)，(2，2)，(3，3)，
(4，4)，(5，5)，(6，6).(共46张PPT)
3.1.2 概率的意义
必备知识·自主学习
1.对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性.认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性.概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生.
【思考】
(1)这里的“规律性”是指什么？
提示：在一定条件下，随机事件发生的概率是一个固定值.
(2)这里的“可能性”是指什么？
提示：概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，概率大的事件，在条件满足时，发生的可能性就大；概率小的事件，在条件满足时，发生的可能性就小.
2.实际案例
(1)游戏的公平性
①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球机
会的概率均为0.5，所以这个规则是公平的.
②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则即对每个人都是_____的这一
重要原则.
公平
(2)决定中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得
样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极
大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.
(3)天气预报的概率解释：
天气预报的“降水概率”是_____事件的概率，是指明了“降水”这个随机事
件发生的可能性的_____.
随机
大小
(4)试验与发现：
概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔用豌豆作试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律.
(5)遗传机理中的统计规律：
孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律.利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系.
【思考】
(1)在设计游戏规则时，如何做到“公平”？
提示：使参加游戏的各方均有等可能的获胜机会，即获胜的概率相等.
(2)决策中的“极大似然法”是什么，你能举例说明吗？
提示：例如，同时向上抛1
000个铜板，结果落地时1
000个铜板朝上的面都相同，我们更有理由认为，这1
000个铜板两面相同.
(3)你是怎样理解概率天气预报的？
提示：概率天气预报是用概率值表示预报量出现的可能性的大小，它所提供的不是某种天气现象的“有”或“无”，某种气象要素值的“大”或“小”，而是天气现象出现的可能性有多大.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈.
( )
(2)天气预报中预报某地降水概率为10%，概率太小，不可能降水.
( )
(3)一个游戏通过掷骰子决定输赢，规定掷出骰子的点数不小于4点赢，这个游戏是公平的.
( )
提示：(1)×.某医院治愈某种病的概率为0.8，10个人去治疗，可能有8人治
愈，也可能大于或小于8人治愈.
(2)×.概率值小是指可能性小，并不是一定不发生.
(3)√.不小于4的点数有4，5，6，赢的概率为
，公平.
2.(教材二次开发：练习改编)在某场足球比赛前，教练预言说：“根据我掌握的情况，这场比赛我们队有80%的机会获胜.”那么下面四句话中，与“有80%的机会获胜”意思最接近的是
( )
A.他这个队肯定会赢这场比赛
B.他这个队肯定会输这场比赛
C.假如这场比赛可以重复进行10场，在这10场比赛中，他这个队会赢8场左右
D.假如这场比赛可以重复进行10场，在这10场比赛中，他这个队恰好会赢8场
【解析】选C.与“有80%的机会获胜”意思最接近的是：假如这场比赛可以重复进行10场，在这10场比赛中，他这个队会赢8场左右，但不是一定赢8场.
3.某机器生产出的产品的合格率为99%，则从该机器生产出的产品中任意取一件，是不合格产品的概率为______.?
【解析】某机器生产出的产品的合格率为99%就是合格产品的概率为0.99，则任意取一件是不合格产品的概率为0.01.
答案：0.01
关键能力·合作学习
类型一 概率的意义(数学抽象)
【题组训练】
1.下列说法正确的是
( )
A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女
B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
2.有以下说法：
①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误
的；
②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；
③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为
；
④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品.
其中错误说法的序号是______.?
3.试解释下面情况中概率的意义：
(1)某商场为促进销售，举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；
(2)一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98.
【解析】1.选D.一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确.
2.①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误；
②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定
买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误；③中正面朝上的频率为
，概率
仍为
，故③错误；④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能
有1件或2件或3件……次品，故④的说法正确.
答案：①②③
3.(1)指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%；
(2)指该厂生产的产品合格的可能性是98%.
【解题策略】
理解概率意义应关注的三个方面
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.
(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.
(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
【补偿训练】
老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指
( )
A.老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂
B.在老师讲的10道题中，李峰能听懂8道
C.李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%
D.以上解释都不对
【解析】选C.概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.
类型二 游戏的公平性(数学运算)
【典例】某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3；4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？
【解析】该方案是公平的，理由如下：
各种情况如表所示：
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，
为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1=
=
，(2)班代表获胜的概
率P2=
=
，即P1=P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的.
【变式探究】
1.在典例中，若把游戏规则改为：两人各转动一个转盘一次，转盘停止后，两
个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代
表获胜.游戏规则公平吗？为什么？
【解析】不公平.因为乘积出现奇数的概率为
=
，而出现偶数的概率
为
=
，概率不相等，故不公平.
2.若在典例中，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下两种方案中选一种：
A.猜“是奇数”或“是偶数”；
B.猜“是4的整数倍”或“不是4的整数倍”.
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
【解析】(1)为了尽可能获胜，应选择方案B.猜“不是4的整数倍”，这是因为
“不是4的整数倍”的概率为
=0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择
方案B.
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A中猜“是奇数”
和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性.
【解题策略】
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平的.
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较.
【跟踪训练】
甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是
( )
A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【解析】选B.对于A，C，D，甲胜、乙胜的概率都是
，游戏是公平的；对于
B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲
胜的概率小，游戏不公平.
类型三 概率的简单应用(数学建模)
角度1 极大似然法的应用?
【典例】设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.问这球是从哪一个箱子中取出的.
【思路导引】利用极大似然法作出判断.
【解析】甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性
是
；乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性
是
，由此看出，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得
多.由极大似然法知，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大
的箱子中抽出的.所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽出的.
【发散·拓】极大似然法的应用
似然法与极大似然法是“风险与决策”用到的基本决策准则思想.即在一些决策问题中，人们将概率的最大状态作为决策的出发点，在概率最大的条件下，选取收益最大的方案作为最有利方案.
【延伸·练】
某产品的标准内径为16
mm，机器生产出内径为(16±0.01)mm的产品视为合格产品.正常状况下某台机器生产出合格产品的概率为0.997
4，一天检验员从这台机器生产的零件中任意抽取5件，检验出有1件产品不合格，检验员立即要求该台机器操作人员停机整顿，你觉得检验员的做法合理吗？
【解析】检验员的做法是合理的，因为正常状况下，该机器生产出不合格产品的概率为0.002
6，是几乎不可能发生的事情，现在抽检5件，检验出一件不合格产品，由极大似然法思想，我们有理由认为操作流程出现问题，应停机整顿.
角度2 频率、概率、频数的计算?
【典例】为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，假设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
【思路导引】利用概率的规律性，结合样本出现的概率估计总体的数目.
【解析】设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等
的，从保护区中任捕一只，设事件A={带有记号的天鹅}，则P(A)=
①，
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义
可知P(A)=
②，
由①②两式，得
，解得n=1
500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1
500只.
【解题策略】
(1)频率估计概率.
由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.
(2)概率估算频数.
实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等.
【题组训练】
1.为了估计水库中鱼的条数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，如2
000条，给每条鱼做上记号且不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500条，查看其中有记号的鱼，设有40条.试根据上述数据，估计水库中鱼的条数.
【解析】设水库中鱼的条数为n，从水库中任捕一条，捕到标记鱼的概率
为
.第二次从水库中捕出500条，带有记号的鱼有40条，则捕到带记号的
鱼的频率(代替概率)为
，由
，得n≈25
000，所以水库中约有
鱼25
000条.
2.某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽
样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩戴胸卡的学生的名字.结果，
150名学生中有60名佩戴胸卡.第二次检查，调查了初中部的所有学生，有500
名学生佩戴胸卡.据此估计该中学初中部共有多少名学生.
【解析】设初中部有n名学生，依题意得
，解得n=1
250.所以该中学
初中部共有学生大约1
250名.
课堂检测·素养达标
1.在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%.下列解释正确的是
( )
A.100个手术有99个手术成功，有1个手术失败
B.这个手术一定成功
C.99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术
D.这个手术成功的可能性大小是99%
【解析】选D.成功率大约是99%，说明手术成功的可能性大小是99%.
2.某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能
的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，
则下列说法正确的是
( )
A.一定不会淋雨
B.淋雨的可能性为
C.淋雨的可能性为
D.淋雨的可能性为
【解析】选D.所有可能的事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷
未到”“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故
淋雨的可能性为
.
3.(教材二次开发：练习改编)经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油的合格率为80%，经调查，某市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有
( )
A.64个
B.640个
C.16个
D.160个
【解析】选C.由题意得80×(1-80%)=80×20%=16(个).
4.某种病治愈的概率是0.3，那么10个人中，前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3？
【解析】如果把治疗一个病人作为一次试验，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈.
“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，如果患病的有1
000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就可以认为这1
000个人中大约有300人能治愈.(共39张PPT)
3.1.3 概率的基本性质
必备知识·自主学习
1.事件的关系与运算
定义
表示法
图示
事
件
的
关
系
包含
关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
_____(或_____)
事件
互斥
___________________，则称
事件A与事件B互斥，即事件A与
事件B在任何一次试验中不会
同时发生
若________，
则A与B互斥
事件
对立
若A∩B为不可能事件，A∪B为
必然事件，那么称事件A与
事件B互为_________
若A∩B=
，且A∪B=U，则A与B对立
B?A
A?B
若A∩B为不可能事件
A∩B=
对立事件
定义
表示法
图示
事
件
的
运
算
并
事
件
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A+B)
交
事
件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
【思考】
(1)如果“事件B发生，则事件A一定发生”，那么B?A(或A?B)，对吗？
提示：不对，事件B发生，则事件A一定发生，这时称事件A包含事件B.
(2)“A∩B=
”的含义是什么？
提示：在一次试验中，事件A，B不可能同时发生.
(3)对立事件一定是互斥事件吗？
提示：是的.
2.概率的性质
(1)概率的取值范围为_______.
(2)_________的概率为1，
(3)___________的概率为0.
(4)概率加法公式：
①_____________________，则P(A∪B)=P(A)+P(B).
②_________________，则P(A)=1-P(B).
[0，1]
必然事件
不可能事件
如果事件A与事件B互斥
若A与B为对立事件
【思考】
(1)依据概率性质的前三条，你能说出随机事件的概率的取值范围吗？
提示：随机事件的概率的取值范围为(0，1).
(2)两个概率加法公式的条件能否去掉，为什么？
提示：不能，只有事件A与事件B互斥时，公式P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立，只有A与B为对立事件时，公式P(A)=1-P(B)才成立，否则不能使用.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在一次掷骰子试验中，事件A：点数为2；事件B：点数为偶数，则A?B.
( )
(2)在一次掷骰子试验中，事件A：点数为1；事件B：点数为3；事件C：点数为5，则事件A∪B∪C为：点数为奇数.
( )
(3)互斥事件一定是对立事件.
( )
(4)事件A与B的和事件的概率一定大于每一个事件的概率.
( )
提示：(1)√.事件A发生，则事件B发生，所以A?B.
(2)√.事件点数为奇数发生，当且仅当事件A或B或C发生.
(3)×.互斥事件只满足A∩B为不可能事件，但不一定满足A∪B为必然事件，故不一定是对立事件.
(4)×.当A?B时，A∪B=B.P(A∪B)=P(B).
2.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“出现3点朝上”与“出现4点朝上”是
( )
A.对立事件
B.互斥事件
C.包含关系
D.概率不相等的事件
【解析】选B.
事件“出现3点朝上”与“出现4点朝上”的概率是相等的，且满足互斥事件的定义.
3.(教材二次开发：练习改编)在掷骰子的游戏中，向上的数字是1或2的概率是
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选B.事件“向上的数字是1”与事件“向上的数字是2”为互斥事件，
且二者发生的概率都是
，所以“向上的数字是1或2”的概率
是
+
=
.
关键能力·合作学习
类型一 事件关系的判断(数学抽象)
【题组训练】
1.从一批产品中取出3件产品，设A={3件产品全不是次品}，B={3件产品全是次品}，C={3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是______(填写序号).?
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立.
2.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.
【解析】1.A={3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B={3件产品全是次品}，C={3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件.所以正确结论的序号为①②⑤.
答案：①②⑤
2.(1)是互斥事件，不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件，又是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
(3)不是互斥事件，也不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，也不是对立事件.
【解题策略】
(1)解答该类问题的思路有两种：
①定义法：紧紧抓住互斥事件和对立事件的定义，借助定义法求解.
②图示法：类比集合的关系，结合图形解题.
(2)对立事件的前提是互斥事件，因此要判断两事件是否为对立事件，首先判断两事件是否满足互斥关系.
类型二 事件的运算(数学运算)
【典例】某市体操队有6名男生，4名女生，现任选3人去参赛，设事件A={选出的3人有1名男生，2名女生}，事件B={选出的3人有2名男生，1名女生}，事件C={选出的3人中至少有1名男生}，事件D={选出的3人中既有男生又有女生}.
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
【思路导引】紧扣事件运算的定义解答.
【解析】(1)对于事件D，可能的结果为1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D=A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生，故C∩A=A.
【解题策略】
进行事件运算应注意的问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
【跟踪训练】
在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：
A={出现1点}，B={出现3点或4点}，C={出现的点数是奇数}，D={出现的点数是偶数}.
(1)说明以上4个事件的关系.
(2)求两两运算的结果.
【解析】在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai={出现的点数为i}(其中i=1，2，…，6).则A=A1，B=A3∪A4，C=A1∪A3∪A5，D=A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，也不对立；事件B与D不是对立事件，也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件.
(2)A∩B=
，A∩C=A，A∩D=
.
A∪B=A1∪A3∪A4={出现点数1或3或4}，
A∪C=C={出现点数1或3或5}，
A∪D=A1∪A2∪A4∪A6={出现点数1或2或4或6}.
B∩C=A3={出现点数3}，
B∩D=A4={出现点数4}.
B∪C=A1∪A3∪A4∪A5={出现点数1或3或4或5}.
B∪D=A2∪A3∪A4∪A6={出现点数2或3或4或6}.
C∩D=
，C∪D=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6={出现点数1，2，3，4，5，6}.
类型三 互斥事件、对立事件概率公式的应用
角度1 求互斥事件的概率?
【典例】掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出
现奇数点”，则P(A∪B)等于
( )
A.
B.
C.
D.
【思路导引】利用互斥事件概率的加法公式求解.
【解析】选B.因为P(A)=
，P(B)=
=
，事件A与B互斥，由互斥事件概率
的加法公式得P(A∪B)=P(A)+P(B)=
+
=
.
【变式探究】
在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机选一
人表演节目，若选到男教师的概率为
，则参加联欢会的教师共有_____人.?
【解析】设男教师有x人，则女教师有(x+12)人，
故
，解得x=54，则参加联欢会的教师共有2x+12=120(人).
答案：120
角度2 求对立事件的概率?
【典例】甲、乙两人下棋，和棋的概率为
，乙获胜的概率为
，求：
(1)甲获胜的概率.
(2)甲不输的概率.
【解析】(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，
所以“甲获胜”的概率P=1-
-
=
.
(2)方法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥
事件的并事件，所以P(A)=
+
=
.
方法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以
P(A)=1-
=
.
【解题策略】
概率公式的应用
(1)直接用：首先要分清事件间是否互斥，同时要把一个事件分拆为几个互斥
事件，然后求出各事件的概率，直接应用互斥事件的概率加法公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)，得出结果.
(2)间接用：当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出
其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率公式
P(A)=1-P(
)得出结果.
【题组训练】
1.某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，
0.23，0.25，0.28.计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率.
【解析】设“低于7环”为事件E，则事件
为“射中7环或8环或9环或10环”.
而事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥，
故P(
)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，
从而P(E)=1-P(
)=1-0.97=0.03.
所以射中的环数低于7环的概率为0.03.
2.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
【解析】(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，则
P=1-P(B)=1-0.2=0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
课堂检测·素养达标
1.如果事件A，B互斥，记
，
分别为事件A，B的对立事件，那么
( )
A.A∪B是必然事件
B.
∪
是必然事件
C.
与
一定互斥
D.
与
一定不互斥
【解析】选B.用集合的Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，
∪
是必然事件.
2.下列各组事件中，不是互斥事件的是
( )
A.一个射击手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
【解析】选B.对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件.
3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是
( )
A.0.42
B.0.28
C.0.3
D.0.7
【解析】选C.摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率
是1-0.42-0.28=0.3.
4.(教材二次开发：练习改编)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件，恰好是正品的概率为
( )
A.0.99
B.0.98
C.0.97
D.0.96
【解析】选D.由题意得，抽查一件产品，恰好是正品的概率
为1-(0.03+0.01)=1-0.04=0.96.
5.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.每1
000张奖券为一个开奖单位，其中含特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
【解析】(1)P(A)=
，P(B)=
，
P(C)=
.
(2)因为A，B，C两两互斥，所以P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
=
.
(3)P=1-P(A+B)=
.(共45张PPT)
3.2 古
典
概
型
3.2.1 古
典
概
型
必备知识·自主学习
1.基本事件
(1)定义：一次试验中可能出现的每一个基本结果称为一个_________，它们是
试验中不能再分的最简单的随机事件.
(2)特点
①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
基本事件
【思考】
(1)一次试验中只能出现一个基本事件吗？
提示：是的.
(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件吗？
提示：不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上或两枚正面向上，所以不是基本事件.
2.古典概型
(1)定义
①试验中所有可能出现的基本事件只有_______；
②每个基本事件出现的可能性相等.
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
有限个
(2)概率公式
对于任何事件A，____________________________.
P(A)=
【思考】
(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
提示：不是，还必须满足每个基本事件出现的可能性相等.
(2)使用该公式求概率的前提是什么？
提示：该概率模型是古典概型.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)从区间[0，6]上任意取一个有理数的试验是古典概型.
( )
(2)从甲、乙、丙三名学生中选两人参加比赛，则基本事件共有3个.
( )
(3)某人买彩票，是否中奖是古典概型.
( )
(4)一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是
.
( )
提示：(1)×.区间[0，6]上的有理数有无数个.
(2)√.基本事件为(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)，共3个.
(3)×.中奖、不中奖的可能性不相同，不中奖的可能性较大.
(4)√.古典概型中每个基本事件出现的概率相同.
2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出的点数为偶数的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.掷出所有可能的点数为1，2，3，4，5，6，其中偶数有2，4，
6，所以所求概率为
=
.
3.(教材二次开发：练习改编)从1，2，3中任取两个数字，设取出的数字含有2
为事件A，则P(A)=______.?
【解析】从1，2，3中任取两个数字，所有可能的结果有(1，2)，(1，3)，
(2，3)，共3个，其中含有2的结果有2个，故P(A)=
.
答案：
关键能力·合作学习
类型一 基本事件及其计数(数学抽象、数据分析)
【题组训练】
1.抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是
( )
A.向上的点数是奇数
B.向上的点数是3
C.向上的点数是4
D.向上的点数是6
2.有4张卡片，上面分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为
( )
A.2
B.3
C.4
D.6
3.连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上.
(1)写出这个试验的所有基本事件.
(2)求这个试验的基本事件的总数.
(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？
【解析】1.选A.向上的点数是奇数包含三个基本事件：向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，则A项不是基本事件，B，C，D项均是基本事件.
2.选C.由题意知，从这4张卡片中随机抽取2张卡片，包含的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种；其中“取出的2张卡片上的数字之和为奇数”包含的基本事件有：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共有4种.
3.(1)这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反).
(2)这个试验包含的基本事件的总数是8.
(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).
【解题策略】
基本事件的三个探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来.列举法适合于较为简单的试验问题.
(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数.列表法适用于较简单的试验的题目.
(3)树状图法：使用树状的图形把基本事件列举出来.树状图法便于分析基本事件间的结构关系，适用于较复杂的试验的题目.
类型二 古典概型概率的计算(数学运算、数据分析)
【典例】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
步骤
内容
理解
题意
条件：从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
结论：(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
思路
探求
分别求出基本事件的总数和所求概率的事件包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式计算.
步骤
内容
书写
表达
(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本
事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，
{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，
{B1，B3}，{B2，B3}，共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，
{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P=
=
.
步骤
内容
书写
表达
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事
件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，
{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基
本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P=
.
步骤
内容
题后
反思
解决此类问题的关键有两个：
(1)准确写出试验的所有基本事件；
(2)准确地确定所求概率的事件包含的基本事件数
【解题策略】
求古典概型概率的步骤
(1)先判断是否为古典概型；
(2)确定基本事件的总数n；
(3)确定事件A包含的基本事件个数m；
(4)计算事件A的概率，即P(A)=
.
【跟踪训练】
从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)事件A={三个数字中不含1和5}；
(2)事件B={三个数字中含1或5}.
【解析】这个试验的基本事件为：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，
(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，
(3，4，5)，所以基本事件总数n=10.
(1)因为事件A={(2，3，4)}，所以事件A包含的事件数m=1.所以P(A)=
=
.
(2)因为事件B={(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，
(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，
所以事件B包含的基本事件数m=9.
所以P(B)=
=
.
类型三 较复杂的古典概型问题(数学建模、数学运算)
角度1 与其他数学知识综合的古典概型问题?
【典例】从集合A={-2，-1，2}中随机选取一个数记为a，从集合B={-1，1，3}
中随机选取一个数记为b，则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【思路导引】分别从集合A，B所取的数a，b表示为(a，b)的形式，确定(a，b)
的个数和a，b需要满足的条件，从而计算基本事件的个数，并且利用公式计算.
【解析】选A.分别从集合A，B所取的数a，b表示为(a，b)的形式，一共有9个
结果：
(-2，-1)，(-2，1)，(-2，3)，(-1，-1)，(-1，1)，(-1，3)，(2，-1)，
(2，1)，(2，3)，若使直线ax-y+b=0不经过第四象限，需a≥0且b≥0，则有2
个结果满足条件，故所求的概率为P=
.
角度2 与顺序有关的古典概型问题?
【典例】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时，
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.
【思路导引】按照一定顺序写出基本事件，并计算其个数，利用古典概型的概率公式计算概率.
【解析】将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如图所示，本题中的基本事件共有24个.
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事
件，所以P(A)=
.
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个基本事
件，所以P(B)=
=
.
(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个基本事
件，所以P(C)=
=
.
角度3 与顺序无关的古典概型问题?
【典例】某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为______.?
【思路导引】写基本事件时注意：①试验与顺序无关；②做到不重不漏.
【解析】a，b，c三名学生选择食堂的结果有：(A，A，A)，(A，A，B)，
(A，B，A)，(B，A，A)，(A，B，B)，(B，A，B)，(B，B，A)，(B，B，B)共8
个，三人在同一食堂用餐的结果有(A，A，A)，(B，B，B)，共2个，所以“三
人在同一食堂用餐”的概率为
，而“三人不在同一食堂用餐”与“三人
在同一食堂用餐”是对立事件，所以“三人不在同一食堂用餐”的概率
为1-
.
答案：
【解题策略】
解决有序和无序问题的两个注意点
(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件，解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.
【题组训练】
1.(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，
则取到的3点共线的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.如图，从O，A，B，C，D
5个点中任取3个点有
{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，
{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，
{A，C，D}，{B，C，D}共10种不同取法，
3点共线只有{O，A，C}与{O，B，D}共2种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
取到3点共线的概率为
.
2.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，
5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy=1的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.所有基本事件的个数为6×6=36.由log2xy=1得2x=y，其中x，
y∈{1，2，3，4，5，6}，所以
或
或
满足log2xy=1，故事件
“log2xy=1”包含3个基本事件，所以所求的概率为P=
.
【补偿训练】
某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率.
【解析】(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×
=3；
从中学中抽取的学校数目为6×
=2；从大学中抽取的学校数目
为6×
=1.因此，从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目
为3，2，1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为
A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，
{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，
{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}共15种.
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果
为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}共3种.
所以P(B)=
.
课堂检测·素养达标
1.下列关于古典概型的说法中正确的是
( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相
等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若
包含k个基本事件，则P(A)=
.
A.②④
B.①③④
C.①④
D.③④
【解析】选B.根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确.
2.同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选D.事件A包含的基本事件有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，
(2，1)，(2，2)，(3，1).
3.甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.所有的站法有6种，分别是：(甲、乙、丙)，(甲、丙、乙)，
(乙、甲、丙)，(乙、丙、甲)，(丙、甲、乙)，(丙、乙、甲)；其中甲、乙两
人站在一起的站法有4种，分别是：(甲、乙、丙)，(乙、甲、丙)，(丙、甲、
乙)，(丙、乙、甲)，故其中甲、乙两人站在一起的概率是
=
.
4.(教材二次开发：练习改编)用1，2，3组成无重复数字的三位数，这些数能
被2整除的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.用1，2，3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123，132，
213，231，312，321，其中能被2整除的有132，312这2个数，故能被2整除的
概率为
.
5.一个盒子内放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1，2，3，4，5.从中任取一个，记下号数后放回，再取出1个，记下号数后放回，按顺序记录为(x，y)，试写出“所得两球的号数和为6”所包含的基本事件.
【解析】列表表示所有的基本事件.
由表可直观地看出“所得两球的号数和为6”
包含以下5个基本事件：(1，5)，(2，4)，
(3，3)，(4，2)，(5，1).(共39张PPT)
3.2.2 (整数值)随机数(random
numbers)的产生
必备知识·自主学习
1.随机数与伪随机数
(1)随机数的产生
①标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n；
②搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌；
③摸取：从中摸出一个.
(2)_________的产生
①规则：用计算机或计算器依照确定算法；
②特点：具有周期性(周期很长)；
③性质：它们具有类似随机数的性质.
伪随机数
【思考】
伪随机数是随机数吗？能用伪随机数代替随机数吗？
提示：计算器或计算机产生的伪随机数不是真正的随机数，但是，由于计算器或计算机省时省力，并且速度非常快，我们还是把计算器或计算机产生的伪随机数近似地看成随机数.
2.整数值随机数的产生及应用
(1)产生整数值随机数的方法
用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以
产生从整数a到整数b的取整数值的随机数；也可用计算机中的Excel软件产生
随机数.
(2)_____________或蒙特卡罗方法
利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来
估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡
罗方法.
随机模拟方法
【思考】
计算机模拟试验有何优点？
提示：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行.因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)如果产生的随机数较多，则利用随机数计算出的概率值就是准确值.
( )
(2)利用抽签法产生随机数的关键是搅拌均匀.
( )
(3)计算机或计算器产生的随机数是伪随机数，因此取得的概率不可信.
( )
提示：(1)×.利用随机数计算出的概率值是估计值，不是准确值.
(2)√.由随机数产生的方法可知正确.
(3)×.可以把计算器或计算机产生的伪随机数近似地看成随机数.
2.随机函数RANDBETWEEN(0，7)不可能产生的随机数是
( )
A.0
B.2
C.3
D.9
【解析】选D.由随机函数RANDBETWEEN(a，b)的含义知选D.
3.(教材二次开发：例题改编)在利用整数值的随机数进行随机模拟试验中，整
数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是______.?
【解析】[a，b]中共有b-a+1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个
整数出现的可能性是
.
答案：
关键能力·合作学习
类型一 随机数产生的方法(数学运算)
【题组训练】
1.抛掷两枚均匀的正方体骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时，产生的整数随机数中，每______个数字为一组
( )?
A.1
B.2
C.10
D.12
2.某校高一年级共有20个班1
200名学生，期末考试时，如何把学生随机地分配到40个考场中去？
3.产生10个在1～25之间的取整数值的随机数.
【解析】1.选B.两枚骰子产生的随机数为2位随机数.
2.第一步，n=1；
第二步，用RANDI(1，1
200)产生一个[1，1
200]内的整数随机数x表示学生的座号；
第三步，执行第二步，再产生一个座号，若此座号与以前产生的座号重复，则执行第二步，否则n=n+1；
第四步，如果n≤1
200，则重复执行第三步，否则执行第五步；
第五步，按座号的大小排列，作为考号(不足四位的前面添上“0”，补足位数)，程序结束.
3.方法如下：
反复按
ENTER
键10次，就可以产生10个1～25之间的随机数.
【解题策略】
产生随机数需要注意的两个问题
(1)利用抽签法时，所设计的试验要切实保证任何一个数被抽到的可能性是相等的，这是试验成功的基础.(关键词：等可能)
(2)利用计算器或计算机产生随机数时，由于不同型号的计算器产生随机数的方法可能会有所不同，故需特别注意操作步骤与顺序的正确性，具体操作需严格参照其说明书.(关键词：步骤与顺序)
【补偿训练】
用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币100次，产生计算机统计这100次试验中“出现正面朝上”的随机数.
【解析】利用计算机统计频数和频率，用Excel演示.
(1)选定C1格，键入频数函数“=FREQUENCY(A1∶A100，0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中，比0.5小的数的个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数；
(2)选定D1格，键入“=1-C1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率，即正面朝上的频率.
类型二 利用随机模拟估计概率(数学建模、数学运算)
角度1 已知模拟随机数求概率?
【典例】已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
( )
A.0.35
B.0.25
C.0.20
D.0.15
【思路导引】明确随机数的含义，数出表示所求事件的随机数的数目，再求
概率.
【解析】选B.由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，
在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191，271，932，812，393，
共5组随机数，所以所求概率为
=
=0.25.
【变式探究】
本例条件不变，求该运动员三次投篮均命中的概率.
【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20
组随机数中表示三次投篮均命中的为431，113，共2组随机数，所以所求概率
为
=0.1.
角度2 设计随机模拟试验估计概率?
【典例】种植某种树苗，成活率为0.9，请采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率.写出模拟试验的过程，并求出所求概率.
【解析】先由计算机随机函数RANDBETWEEN(0，9)，或计算器的随机函数RANDI(0，9)产生0到9之间取整数值的随机数，指定1至9的数字代表成活，0代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果.
经随机模拟产生随机数，例如，产生30组随机数：
69801 66097 77124 22961 74235 31516
29747 24945 57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120 21782 58555
61017 45241 44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成
活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率
近似为
=0.3.
【变式探究】
在本例中若树苗的成活率为0.8，则5棵树苗至少有4棵成活的概率是多少？
【解析】利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0和1代表不成活，2到9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.8.因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组，例如，产生20组随机数：
23065 37052 89021 34435 77321 33674
01456 12346 22789 02458 99274 22654
18435 90378 39202 17437 63021 67310
20165 12328
这就相当于做了20次试验，在这些数组中，如果至多有一个是0或1的数组表示至少有4棵成活，共有15组，于是我们得到种植5棵树苗至少有4棵成活的概率近似为15÷20=0.75.
【解题策略】
利用随机模拟估计概率的关注点
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
【题组训练】
1.通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740
4422 7884 2604 3346 0952
6807 9706 5774 5725 6576
5929 9768 6071 9138 6754
如果恰好有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰好有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为______.?
【解析】表示三次击中目标分别为3013，2604，5725，6576，6754，共5组
数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似值为
=25%.
答案：25%
2.甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的概率.
【解析】利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5表示甲获胜；6，7，8，9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组.例如，产生30组随机数(可借助教材103页的随机数表).
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751，
就相当于做了30次试验.如果恰有2个或3个数在6，7，8，9中，就表示乙获
胜，它们分别是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，
707，共11个.所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为
≈0.367.
课堂检测·素养达标
1.下列说法错误的是
( )
A.用计算机或掷硬币的方法都可以产生随机数
B.用计算机产生的随机数有规律可循，不具有随机性
C.用计算机产生随机数，可起到降低成本，缩短时间的作用
D.可以用随机模拟的方法估计概率
【解析】选B.用计算机产生的随机数没有规律，是随机的.
2.把[0，1]内的均匀随机数实施变换y=8x-2可以得到区间______的均匀随机数
( )?
A.[6，8]
B.[-2，6]
C.[0，2]
D.[6，10]
【解析】选B.由题意，x=0，y=-2；x=1，y=6，
所以所求区间为[-2，6].
3.抛掷一枚均匀的正方体骰子两次，用随机模拟方法估计朝上面的点数和为7的概率，共进行了两次试验，第一次产生了60组随机数，第二次产生了200组随机数，那么这两次估计的结果相比较，第______次准确.?
【解析】用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确，所以第二次比第一次准确.
答案：二
4.(教材二次开发：练习改编)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527，0293，7140，9857，0347，4373，8636，6947，1417，4698，0371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为
( )
A.0.55
B.0.6
C.0.65
D.0.7
【解析】选B.由题设可知两次及两次以上没击中的情形有0293，7140，1417，
0371，2616，6011，7610，4281，共8种，即n=20，m=20-8=12，故该射击运动
员射击4次至少击中3次的概率为P=
=0.6.
5.一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
【解析】用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组.如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好
是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是
567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为
=0.1.(共51张PPT)
3.3 几
何
概
型
3.3.1 几
何
概
型
必备知识·自主学习
导思
1.什么是几何概型？
2.几何概型的概率计算公式是什么？
几何概型
(1)定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_____(面积或体积)成比例，
则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.
(2)特点
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.
②每个基本事件出现的可能性_____.
(3)几何概型的概率公式P(A)=______________________________________.
长度
相等
【思考】
(1)你是怎样理解“长度”一词的？
提示：公式中“长度”的理解：公式中的“长度”不一定是实际意义的长度.有些书上也叫测度，测度的意义依试验的全部结果构成的区域而定，若区域分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的测度分别是长度、面积和体积.
(2)几何概型与古典概型有何异同？
提示：①相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的.
②不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)几何概型的基本事件有无数个，反之基本事件是无数个的随机事件一定属于几何概型.
( )
(2)几何概型中的基本事件可能是一个数值、一个点、一个角等.
( )
(3)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关.
( )
(4)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0，1)内.
( )
提示：(1)×.随机事件是否属于几何概型，要看其发生的概率是否只与长度(面积或体积)成比例，不能只看基本事件的个数.
(2)√.几何概型中的长度包括区间长度、面积、角度等.
(3)√.
几何概型的概率与构成事件的区域形状无关，只与其大小有关.
(4)×.在射击中运动员击中靶心的概率在[0，1]内.
2.在线段[0，3]上任投一点，则此点坐标不大于1的概率为
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选B.坐标不大于1的区间为[0，1]，长度为1，[0，3]区间长度为3，
故所求概率为
.
3.(教材二次开发：例题改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD
中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.
.
关键能力·合作学习
类型一 与长度(角度)有关的几何概型(数学运算、直观想象)
【题组训练】
1.如图A，B两盏路灯之间的距离是30
m，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C，D，则A与C，B与D之间的距离都不小于10
m的概率为______.?
2.如图，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为_____.?
3.如图所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD=
，在∠BAC内作射线
AM交BC于点M，则BM<1的概率为______.?
【解析】1.记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10
m”，把AB三等分，由
于中间长度为30×
=10
m，故P(E)=
=
.
答案：
2.如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，
所以OA落在∠yOT内的概率为
.
答案：
3.因为∠B=60°，∠C=45°，所以∠BAC=75°.
在Rt△ABD中，AD=
，∠B=60°，
所以BD=
=1，∠BAD=30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时
事件N发生.
由几何概型的概率公式，得：P(N)=
.
答案：
【解题策略】
求解与长度、角度有关的几何概型的方法
求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).
【补偿训练】
某汽车站每隔15
min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10
min的概率.
【解析】设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长
度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示.
记“等车时间超过10
min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上
(不含端点)时，事件A发生.所以
，即该乘客等车时间超
过10
min的概率是
.
类型二 与面积有关的几何概型(直观想象，数学运算)
角度1 几何图形面积问题?
【典例】(1)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为
“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，
“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十
步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶
树，则该株茶树恰好种在圭田内的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
(2)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形.如图中的正方形七巧板就是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的.若向正方形内随机地抛10
000颗小米粒(大小忽略不计)，则落在阴影部分的小米粒的颗粒大约为
( )
A.3
750
B.2
500
C.1
875
D.1
250
【思路导引】(1)转化为面积比问题解决.
(2)转化为面积比问题解决.
【解析】(1)选A.因为邪田的广分别为十步和二十步，正从为十步，圭田广为
八步，正从为五步，在邪田内随机种植一株茶树，所以利用面积公式，算出圭
田的面积为
×8×5，邪田的面积为
×10，所以根据几何概型概率公
式可得该株茶树恰好种在圭田内的概率为P=
.
(2)选D.设大正方形的边长为2，则阴影部分是由2个小等腰直角三角形构成
的，由图知，图中大等腰直角三角形的直角边为
，设小正方形的边长为a，
则小等腰直角三角形的直角边为a，即2a=
，解得a=
，所以小等腰直角三
角形的面积为
，
所以阴影部分的面积为S阴影=
，
因为大正方形的面积S正=2×2=4，由与面积有关的几何概型概率公式可得，向
正方形内撒小米粒，落在阴影区域内的概率为
，设向大正方形内
随机地抛10
000颗小米粒(大小忽略不计)，则落在阴影部分的小米粒大约为x
颗，所以
，解得x=1
250.
角度2 约会问题?
【典例】某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～
7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为______(用数字作答).?
【思路导引】构造两个变量，转化为平面直角坐标系中的面积问题解决.
【解析】设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟，根据题
意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50-30)2=400.小张比小王至
少早5分钟到校表示的事件A={(x，y)|y-x≥5，30≤x≤50，30≤y≤50}，如图
中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为
，所以小张比小王至少
早5分钟到校的概率为
答案：
【解题策略】
求解与面积有关的几何概型的注意点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.
【题组训练】
1.1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设∠BEC=15°，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角△CDE中(阴影部分)的概率是
( )
【解析】选C.在直角△BCE中，a=ccos
15°，b=csin
15°，则
2.古代人常常会研究“最大限度”问题，如图是一个正三角形内最大限度地可
以放入三个同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形ABC中
(阴影部分是三个半径相同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形
ABC的三边分别相切)，则质点落在阴影部分的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设“质点落在阴影部分”为事件M.
如图所示：
设圆的半径为r，正三角形ABC的边长为a.因为∠PBO1=30°，所以
=
tan
30°=
，解得BP=
r.同理，CQ=
r.
又因为PQ=O1O2=2r，所以BP+CQ+PQ=
r+
r+2r=(2
+2)r=BC=a，所以由几
何概型得，质点落在阴影部分的概率是
类型三 与体积有关的几何概型(直观想象，数学运算)
【典例】已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试
求点M到底面的距离小于
的概率.
步骤
内容
理解
题意
条件：正三棱锥S-ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M.
结论：求点M到底面的距离小于
的概率.
思路
探求
作出图形，根据图形把概率问题转化为三棱锥的体积的比的问题.
步骤
内容
书写
表达
如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为
SA，SB，SC的中点，
则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小
于
.
步骤
内容
书写
表达
设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，得
△A1B1C1的面积为
.
由题意，知区域D(三棱锥S-ABC)的体积为
Sh，区域d(三棱台
ABC-A1B1C1)的体积为
所以点M到底面的距离小于
的概率为P=
.
步骤
内容
题后
反思
解决与体积有关的几何概型的关键点是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.
【解题策略】
关于与体积有关的几何概型
(1)首先要明确所求事件构成的几何体的类型，如正方体、球等，再根据相应的公式求体积.
(2)注意几何体的结构特征，一是可能是几何体的一部分，二是需不需要对几何体进行组合、割补.
【题组训练】在体积为V的三棱锥S
-ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S
-APC
的体积大于
的概率是______.?
【解析】如图，三棱锥S-ABC的高与三棱锥S
-APC的高相同.
作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为△APC与△ABC的高，所以
又
，所以
时，满足条件.
设
，则P在BD上，所求的概率
.
答案：
【补偿训练】
如图，长方体ABCD
-A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在
三棱锥A
-A1BD内的概率为_____.?
【解析】设长、宽、高分别为a，b，c，则此点在三棱锥A-A1BD内运动的概率
答案：
课堂检测·素养达标
1.下列关于几何概型的说法中，错误的是
( )
A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
【解析】选A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型.
2.设A(0，0)，B(4，0)，在线段AB上任投一点P，则|PA|<1的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.满足|PA|<1的区间长度为1，故所求其概率为
.
3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴
影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是
( )
【解析】选A.中奖的概率依次为P(A)=
，P(B)=
，P(C)=
，P(D)=
.
4.(教材二次开发：练习改编)在1
000
mL水中有一个草履虫，现从中随机取出
3
mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是______.?
【解析】由几何概型知
.
答案：
5.一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30
m，宽20
m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2
m的概率.
【解析】如图所示，区域Ω是长30
m、宽20
m的长方形.
图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2
m”，问题可以理解为求
海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600(m2)，
阴影部分的面积为30×20-26×16=184(m2).
所以
.
即海豚嘴尖离岸边不超过2
m的概率约为0.31.(共37张PPT)
3.3.2 均匀随机数的产生
必备知识·自主学习
导思
1.什么是均匀随机数？
2.如何产生[0，1]上的均匀随机数？
1.均匀随机数的定义
如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是
_________，则称这些实数为均匀随机数.
2.[0，1]上均匀随机数的产生
利用计算器的RAND函数可以产生[0，1]上的均匀随机数，试验的结果是区间
[0，1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是_________，因此，可以
用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟.
等可能的
等可能的
3.用模拟方法近似计算某事件概率的方法
(1)随机模拟法
制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果，进行近似计算
(2)计算机模拟法
用Excel软件产生[0，1]上的均匀随机数进行模拟，注意操作步骤
【思考】
(1)产生[a，b]内的均匀随机数时，[a，b]上的任何一个实数，都是等可能的吗？
提示：产生[a，b]内的均匀随机数时，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的.
(2)两个相邻均匀随机数之间的步长是如何设定的？
提示：是人为设定的.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)均匀随机数只能用来估计概率，不能解决其他问题.
( )
(2)均匀随机数也能估计古典概型的概率.
( )
(3)随机数只能用计算器或计算机产生.
( )
(4)计算机或计算器只能产生[0，1]的均匀随机数，对于试验结果在[2，5]上的试验，无法用均匀随机数进行模拟估计试验.( )
提示：(1)×.均匀随机数还能估计图象面积.
(2)×.均匀随机数不适合估计古典概型的概率.
(3)×.还可以用其他方法产生，如制作转盘模型.
(4)×.可以产生[2，5]内的均匀随机数.
2.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，
则
( )
A.m>n
B.mC.m=n
D.m是n的近似值
【解析】选D.随机模拟法求其概率，只是对概率的估计.
3.(教材二次开发：例题改编)b1是[0，1]上的均匀随机数，b=6(b1-0.5)，则b是______上的均匀随机数.?
【解析】因为b1∈[0，1]，所以b1-0.5∈[-0.5，0.5]，
所以6(b1-0.5)∈[-3，3].
答案：[-3，3]
关键能力·合作学习
类型一 用随机模拟法估计长度型几何概型(数学建模、数学运算)
【题组训练】
1.如图，为了估计函数y=x2的图象与直线x=-1，x=1以及x轴所围成的图形面积
(阴影部分)，在矩形ABCD中随机产生1
000个点，落在阴影部分的样本点数为
303个，则阴影部分面积的近似值为
( )
A.0.698
B.0.606
C.0.303
D.0.151
【解析】选B.设阴影部分区域的面积为x，由几何概型概率公式知，
，
解得x=0.606，则该阴影部分区域面积的近似值为0.606.
2.把[0，1]内的均匀随机数转化为[-2，6]内的均匀随机数，需实施的变换为
( )
A.y=8
8
B.y=8
x+2
C.y=8
x-2
D.y=8
x+6
【解析】选C.可代入验证得C选项正确.
3.已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD内，如果通过大量的试验发现
米粒落入△BCD内的频率稳定在
附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约
为______.?
【解析】设米粒落入△BCD内的频率为P1，米粒落入△BAD内的频率为P2，点C和
点A到直线BD的距离分别为d1，d2，
根据题意得，
，
又因为
所以
答案：
【解题策略】
用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的步骤
(1)利用计算器或计算机产生一组[0，1]上的均匀随机数a1=RAND.
(2)经过平移和伸缩变换y=(b-a)x+a，得到一组[a，b]上的均匀随机数.
(3)统计出试验总次数N和满足所求概率事件的随机数个数N1.
(4)计算频率
，即为所求概率的近似值.
类型二 用随机模拟法估计面积型几何概型(数学建模、数学运算)
【典例】解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，
在长为16
m，宽为14
m的矩形内有小、中、大三个同心
圆，其半径分别为1
m，2
m，5
m.若着陆点在圆环B内，
则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞
者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格，若一位特种兵随
意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的
概率.
步骤
内容
理解
题意
条件：(1)矩形的长为16
m，宽为14
m，三个同心圆，其半径分别为1
m，2
m，5
m.
(2)若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格.
结论：利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率.
思路
探求
此题为面积型的几何概型的概率问题，所以利用随机模拟的方法可估计其概率.
步骤
内容
书写
表达
设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”.
(1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1=RAND，b1=RAND.
(2)经过伸缩和平移变换，a=16a1-8，b=14b1-7，得到[-8，8]与
[-7，7]上的均匀随机数.
(3)统计满足-8(4)计算频率
即为所求概率的近似值.
步骤
内容
题后
反思
利用随机模拟方法估计图形面积的步骤
(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长
方形或圆等)的一部分，并用阴影表示.
(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的
概率
.
(3)设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，
则有
，解得
.
【解题策略】
1.利用均匀随机数求几何概型的概率
利用均匀随机数求几何概型的关键是确定好随机数的量及随机数的范围，用随机数解决几何概型体现了数学建模的重要性.
2.用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别
(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数.
(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比.
【跟踪训练】
1.利用随机模拟方法计算如图所示阴影部分(y=1和y=x2所围成的部分)的面积，先利用计算机产生两组区间
内的均匀随机数，a1=RAND，b1=RAND；再进行平移和伸缩变换，下列变换能求出阴影面积的是
( )
A.a=2(a1-0.5)，b=b1
B.a=2a1，b=b1
C.a=a1，b=2b1
D.a=2(a1-0.5)，b=2b1
【解析】选A.将区间x1∈[0,1]上的数变换到x∈[a,b]上的公式为
x=a+(b-a)x1，
因为a1∈[0,1]，a∈[-1,1]，所以a=2(a1-0.5)，b1∈[0,1]且b∈[0,1]，故A选
项符合题意.
2.封闭图形ABC如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径
为1
m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
则估计封闭图形ABC的面积为______m2.?
50次
150次
300次
石子落在☉O内
(含☉O上)的次数m
14
43
93
石子落在阴影内次数n
29
85
186
【解析】由记录
≈1∶2，
可得P(落在☉O内)=
.
又P(落在☉O内)=
，
所以
.
又S☉O=π(m2)，故SABC≈3π(m2).
答案：3π
课堂检测·素养达标
1.下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是
( )
A.旋转的次数的多少不会影响估计的结果
B.旋转的次数越多，估计的结果越精确
C.旋转时可以按规律旋转
D.转盘的半径越大，估计的结果越精确
【解析】选B.旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有较大的误差，所以C项不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以D项不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以B项正确，A项不正确.
2.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1<0”发生的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为0即a<
的概率是
.
3.设x是[0，1]内的一个均匀随机数，经过变换y=2x+3，则x=
对应变换成的
均匀随机数是
( )
A.0
B.2
C.4
D.5
【解析】选C.当x=
时，y=2×
+3=4.
4.(教材二次开发：例题改编)从区间[0，1]内随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为______.(用m，n表示)?
【解析】因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0，1]内随机抽取，所
以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在边长为1的正方形OABC
内(包括边界)，如图所示.若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内
(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个.用随机
模拟的方法可得
答案：
5.取一根长度为5
m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟的方法估计剪得两段的长都不小于2
m的概率有多大？
【解析】设“剪得两段的长都不小于2
m”为事件A.
方法一 步骤：
(1)利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x1=RAND.
(2)作伸缩变换：x=x1
(5-0)，转化为[0，5]上的均匀随机数.
(3)统计出[2，3]内均匀随机数的个数m.
(4)概率P(A)的近似值为
.
方法二 步骤：
(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[0，5](这里5和0重合).
(2)固定指针转动转盘，或固定转盘旋转指针，记下指针在[2，3]内(表示剪断
绳子位置在[2，3]范围内)的次数m及试验总次数n.
(3)概率P(A)的近似值为
.