内蒙古包头三十三中2012届高三上学期期末考试（数学理）

包头市第三十三中学高三年级期末考试试题
数学（理科）
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代码填在答题卡上）
1、函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
2、设数列是等差数列， ，Sn是数列的前n项和，则（ ）
A.S4＜S5　 B.S4＝S5 C.S6＜S5　 D.S6＝S5
3、对于，给出下列四个不等式 （ ）
①
②
③
④
其中成立的是
A．①与③ B．①与④
C．②与③ D．②与④
4、如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（　　）
A．2450 B．2500
C．2550 D．2652
5、对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是 （ ）
A．如果、n是异面直线，那么
B．如果、n是异面直线，那么相交
C．如果、n共面，那么
D．如果、n共面，那么
6、已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为 （ ）
A． B．
C． D．
7、已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|+3|=（ ）
A． B． C． D．4
8、为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
9、“”是“对任意的正数，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10、各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，若Sn=2,S3n=14,则S4n等于（ ）
A. 80　　　　 B. 30
C. 26 D. 16
11、定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
12、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
包头三十三中高三年级期末考试数学（理科）试题
一、选择题答题卡（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13、已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为 .
14、若满足约束条件则的最大值为 ．
15、已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为___ _ 。
16、若，，则=____ _　
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、(本小题满分10分)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an ( http: / / wxc. / )
18、（本小题满分12分）
在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
19、（本小题满分12分）不等式选讲设函数。
（Ⅰ）解不等式f（x）>2；
（Ⅱ）求函数y= f（x）的最小值。
20、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形.
已知.
（Ⅰ）证明平面；
（II）求二面角的正切值.
21、（本小题满分12分）
在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）若，求k的值；
（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||>||．
22、（本小题满分12分）已知函数
（Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围 ( http: / / wxc. / )
高三年级理科数学试题答案
1、C 2、B 3、D 4、C 5、C 6、A 7、C 8、B 9、A 10、B
11、D 12、C
13、 14、9 15、 16、　
17 解: ∵10Sn=an2+5an+6， ①
∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 ( http: / / wxc. / ) —————————————— 2分
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2) -------------------------------6分
当a1=3时，a3=13，a15=73 ( http: / / wxc. / ) a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;-----------8分
当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3 --10分
18、
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得． 4分
联立方程组解得，． 6分
（Ⅱ）由题意得，
即， 8分
当时，，，，，
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，．
所以的面积． ----------------------12分
19、（Ⅰ）令，则
．．．．．．3分
作出函数的图象，它与直线的交点为和
所以的解集为------------7分
（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值 --------------------12分
20、解：（Ⅰ）证明：在中，由题设可得
于是.
在矩形中，.又，
所以平面.------------------------------------------5分
（II）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE
因为平面，平面，所以.又，
因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，
，从而是二面角的平面角。——————8分
由题设可得，
于是在中，
所以二面角的正切值为-------------------12分
21、（本小题满分12分．）
解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为． 3分
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得，
故． 5分
若，即．
而，
于是，
化简得，所以． 8分
（Ⅲ）
．
因为A在第一象限，故．由知，从而．又，
故，
即在题设条件下，恒有． 12分
22、（本小题满分12分）．
解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞) ( http: / / wxc. / ) 对f(x)求导数得 f '(x)= e－ax
------------------------------2分
(ⅰ)当a=2时, f '(x)= e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞) ( http: / / wxc. / ) 为增函数 -------------------------3分
(ⅱ)当00, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数 ( http: / / wxc. / ) -----------------4分
(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= － , x2=
当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:
x (－∞, －) (－,) (,1) (1,+∞)
f '(x) ＋ － ＋ ＋
f(x) ↗ ↘ ↗ ↗
f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－,)为减函数 ( http: / / wxc. / ) -----------------------------8分
(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1 -------------9分
(ⅱ)当a>2时, 取x0= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)(ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且e－ax≥1,得
f(x)= e－ax≥ >1 ( http: / / wxc. / ) -------------11分 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1 --------------------12分
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