2020-2021学年人教版八年级数学下册第十八章 平行四边形 周末培优训练（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版八年级数学下册第十八章 平行四边形 周末培优训练（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 367.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-13 21:56:18 | ||
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文档简介
第十八章《平行四边形》周末培优练习
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连结PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2．探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
3．定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”．根据此定义，完成下面各题：
（1）若△ABC为半角三角形，且∠A＝90°，则△ABC中其余两个角的度数为 ；
（2）若△ABC是半角三角形，且∠C＝40°，则∠B ；
（3）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点C恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，则△EDF是半角三角形吗？若是，请说明理由．
4．若平面内两点P1（x1，y2），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝．例如：已知A（3，1），B（5，2），则这两点间的距离AB＝．已知A（3，1），B（5，2），C（4，4）．
（1）聪明的你能判定△ABC的形状吗？并说明理由．
（2）若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝6，求四边形ABCD的面积．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：AC＝ED；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝106°，∠BCD＝64°，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC．
求（1）∠F的度数；
（2）∠D的度数．
8．已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）如图1，求∠B与∠D的和为多少度？
（2）如图2，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，求证：BE∥DF．
9．如图，在四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，点E是BC边上一点，连接EO并延长交AD边于点F、交CD延长线于点G．OE＝OF，AD＝BC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠A＝65°，∠G＝40°，求∠BEG的度数．
10．如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系 ．
11．如图，已知△ABC为等边三角形，动点P在△ABC内，以PB，PC为边向外作等边三角形△PBD，△PCE．
（1）若PB＝8，PC＝6，BC＝10，
①求证：四边形PEAD是平行四边形；
②求出四边形PEAD的面积；
（2）随着点P在△ABC所在平面上运动时，当△PBC满足什么条件时，平行四边形PEAD一定存在？（直接写出答案）
12．如图，E，F是?ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．
13．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数．
15．如图所示，在?ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、DE、BF、CE，AF与DE交于点G，BF与CE交于点H，连接GH，求证：GH∥DC且GH＝DC．
16．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是平行四边形ABCD的对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若AE＝DE，求∠G的度数．
17．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点H为边AB的中点，点E在CH的延长线上，且AE⊥BE．点F在线段AE上，且BF⊥CE，垂足为G．
（1）若BF＝AF，且EF＝3，BE＝4，求AD的长；
（2）求证：BF+2EH＝CE．
18．在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边的中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）若DF＝8，BC＝6，DB＝5，求?CDBF的面积．
19．在?ABCD中，E、F分别是AB、DC上的点，且AE＝CF，连接DE、BF、AF．DE与AF交于点H．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长；
（3）在（2）条件下求三角形ADH的面积．
20．在△ABC中，AB＝AC，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，过点C作CD∥AB交∠CAM的平分线于点 D．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，连接BD，过点D作DE⊥BD，交BN于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形（不包含△CDE），使写出的每个三角形的面积与△CDE的面积相等．
参考答案
1．解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
∴BM＝CM，
∴AM＝BC＝5，
∵AD∥BC，
∴∠PAN＝∠C＝45°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，
∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，
∴5﹣t＝2t﹣2，
解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；
（2）存在，t＝4或12；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP＝BE，
∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10
解得：t＝4或12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．
2．解：探究一：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD
＝180°﹣（∠ADC+∠ACD）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A；
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD
＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）
＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
＝（∠A+∠B）．
3．解：（1）①若另一个锐角等于∠A＝90°的一半，则这个角为45°，第三角为45°，
②若除∠A以外的两个角中，有一个角是另一个的一半，则有较小的角为（180°﹣90°）÷（1+2）＝30°．
那么较大的角为60°，
故答案为：45°，45°或30°，60°，
（2）根据题意有以下几种情况：
①若∠B＝∠C，则∠B＝20°，
②若∠C＝∠B，则∠B＝80°，
③若∠A＝∠C，则∠A＝20°，∠B＝120°，
④若∠C＝∠A，则∠A＝80°，∠B＝60°，
⑤若∠B＝∠A，则∠B＝（180°﹣40°）÷3＝°，
⑥若∠A＝∠B，则∠B＝（180°﹣40°）÷3×2＝°，
（3）∵AB∥CD，AD∥BC，∠C＝72°，
∴ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝72°，∠D＝∠ABC＝180°﹣72°＝108°，
由折叠得，∠C＝∠BFE＝72°，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝90°，
∴∠DFE＝180°﹣90°﹣72°＝18°，
∴∠DEF＝180°﹣108°﹣18°＝54°
∴∠DEF＝∠D，
∴△EDF是半角三角形．
4．解：（1）能判定△ABC的形状，△ABC是等腰直角三角形；理由如下：
由题意得：AB＝，BC＝＝，AC＝＝，
∴AB＝BC，AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）如图所示：
当AB为对角线时，AD∥BC，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点B向下平移3个单位，再向左平移1个单位，得到点D，
∴点D的坐标为（4，﹣1）；
当BC为对角线时，AB∥CD，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点B向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到点D'，
∴点D'的坐标为（6，5）；
当AC为对角线时，AD∥BC，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点A向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到点D''，
∴点D''的坐标为（2，3）；
综上所述，点D的坐标为（4，﹣1）或（6，5）或（2，3）．
5．证明：（1）∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠DAF＝∠E，
∴AD∥BE，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BA＝AE＝6，∠BAE＝60°，
又∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝3，
∴BF＝＝＝3，
∴S△ABF＝AF×BF＝×3×3＝，
∴?ABCD的面积＝2×S△ABF＝9．
6．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B，
∴∠B＝∠DAE，
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS）
∴AC＝ED；
（2）∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°．
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝85°．
7．解：（1）∵MF∥AD，FN∥DC，∠BAD＝106°，∠BCD＝64°，
∴∠BMF＝106°，∠FNB＝64°，
∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN＝∠BMN＝53°，∠FNM＝∠MNB＝32°，
∴∠F＝∠B＝180°﹣53°﹣32°＝95°；
（2）∠F＝∠B＝95°，
∠D＝360°﹣106°﹣64°﹣95°＝95°．
8．（1）解：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠B+∠D+∠A+∠C＝（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠B+∠D＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°；
即∠B与∠D的和为180度；
（2）证明：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE+∠EDF＝90°，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠ADF，
∴BE∥DF．
9．（1）证明：∵O是对角线BD的中点，
∴OB＝OD，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴∠OBE＝∠ODF，
∴AD∥BC，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形；
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠BEG＝∠C+∠G＝65°+40°＝105°．
10．解：（1）猜想：∠1+∠2＝∠A+∠C，
∵∠1+∠ABC+∠2+∠ADC＝360°，
又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+∠C；
（2）∵∠A＝50°，∠C＝150°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣200°＝160°，
又∵BO、DO分别平分∠ABC与∠ADC，
∴∠OBC＝∠ABC，∠ODC＝∠ADC，
∴∠OBC+∠ODC＝（∠ABC+∠ADC）＝80°，
∴∠BOD＝360°﹣（∠OBC+∠ODC+∠C）＝130°；
（3）∠A、∠C与∠O的数量关系为为：
∠C﹣∠A＝2∠O．
理由如下：
∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．
∴∠FDC＝2∠FDO＝2∠ODC，∠EBC＝2∠EBO＝2∠CBO，
由（1）可知：
∠FDO+∠EBO＝∠A+∠O，
2∠FDO+2∠EBO＝∠A+∠C，
∴2∠A+2∠O＝∠A+∠C，
∴∠C﹣∠A＝2∠O．
故答案为：∠C﹣∠A＝2∠O．
11．（1）①证明：∵△ABC、△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，BD＝BP＝DP，CP＝CE＝EP，∠ABC＝∠DBP＝60°，∠ACB＝∠ECP＝60°，
∴∠BCP＝∠ACE，∠DBA＝∠PBC，
在△DBA和△PBC中，，
∴△DBA≌△PBC（SAS），
∴AD＝CP，
∴AD＝EP，
同理：△BCP≌△ACE（SAS）
∴BP＝AE，
∴DP＝AE，
∴四边形PEAD是平行四边形；
②解：∵PB＝8，PC＝6，BC＝10，
∴BC2＝PB2+PC2，
∴△BPC是直角三角形，
∴∠BPC＝90°，
∵△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴∠BPD＝∠CPE＝60°，
∴∠DPE＝360°﹣∠BPD﹣∠CPE﹣∠BPC＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，
过点P作PH⊥AD于点H，如图1所示：
∵四边形PEAD是平行四边形，
∴AD∥PE，
∴∠HPE＝∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝60°，
∴PH＝DP＝PB＝4，
∴四边形PEAD的面积＝PH?AD＝PH?PC＝4×6＝24；
（2）解：当△PBC满足点P在直线BC的上方，且∠BPC≠60°时，平行四边形PEAD一定存在；理由如下：
当点P在△ABC内部时，
由（1）①得：四边形PEAD是平行四边形；
当点P在△ABC外部，且∠BPC≠60°时，如图2所示：
同（1）①得：△DBA≌△PBC（SAS），△BCP≌△ACE（SAS），
∴AD＝CP，BP＝AE，
∴AD＝EP，DP＝AE，
∴四边形PEAD是平行四边形；
当点P在△ABC外部，且∠BPC＝60°时，如图3所示：
∵△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴∠BPD＝∠CPE＝60°，
∵∠BPC＝60°，
∴∠BPD+∠BPC+∠CPE＝180°，
∴点P、D、E三点共线，
∴P、E、A、D不能构成四边形；
当点P在直线BC下方时，如图4所示：
很明显，四边形PEAD不是平行四边形；
综上所述，当△PBC满足点P在直线BC的上方，且∠BPC≠60°时，即点P不在三角形ABC的外接圆上时，平行四边形PEAD一定存在．
12．（1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝3，
∴BF＝＝＝5，
∵四边形AECF是平行四边形，AE＝AF，OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∴OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，
∴42﹣（5﹣OF）2＝32﹣OF2，
解得：OF＝1.8，
∴OA＝＝2.4，
∴AC＝2OA＝4.8．
13．（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
14．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DCE＝∠F，∠FBC+∠BCD＝180°，
∵E为AD的中点，
∴DE＝AE．
在△DEC和△AEF中，
，
∴△DEC≌△AEF（AAS）．
∴DC＝AF．
∴AB＝AF；
（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，
∵∠BCD＝100°，
∴∠FBC＝180°﹣100°＝80°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝BC，
∴BE平分∠CBF，
∴∠ABE＝∠FBC＝×80°＝40°
15．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠GFD，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝DF，
在△AEG和△FDG中，
，
∴△AEG≌△FDG（AAS），
∴EG＝DG，
同理：EH＝CH，
∴GH∥DC且GH＝DC．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴，
∴BE＝DF．
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BG，
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE＝AB，
∵AE＝DE，
∴AE＝DE＝BE，即DE＝AB，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴平行四边形AGBD是矩形．
∴∠G＝90°．
17．解：（1）∵AE⊥BE．EF＝3，BE＝4，
∴BF＝，
∵BF＝AF，
∴AF＝5，
∴AE＝3+5＝8，
∴AB＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4；
（2）在CH上截取HM＝HE，连接BM和AM，如图，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝90°，
∵点H为边AB的中点，
∴EH＝AH＝BH＝MH，
∴四边形AEBM是矩形，
∴∠EAM＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠CAM，
∵BF⊥CE，
∴∠EGB＝90°，
∴∠EBG+∠BEG＝90°，
∵∠EBG+∠BFE＝90°，
∴∠BEG＝∠BFE，
∵矩形AEBM中，BE∥AM，
∴∠BEG＝∠AMH，
∴∠BFE＝∠AMH，
∴∠AFB＝∠AMC，
∵AB＝AC，
∴△ABF≌△ACM（AAS），
∴BF＝CM，
∵CM+EM＝CE，EM＝EH+MH＝2EH，
∴BF+2EH＝CE．
18．（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA）．
∴CF＝BD．
∴四边形CDBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形CDBF是平行四边形，
∴BE＝BC＝3，DE＝DF＝4，
∴DE2+BE2＝32+42＝52，
∴∠BED＝90°，
∴BC⊥DE，
∴四边形CDBF是菱形，
∴?CDBF的面积＝BC?DF＝×6×8＝24．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝CF，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF，DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，AB＝AE+BE＝3+5＝8，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝＝＝4；
（3）解：∵AB∥CD，
∴△AEH∽△FDH，
∴＝＝，
∴＝，
∴△ADH的面积＝△ADE的面积＝××3×4＝．
20．（1）证明：∵AB＝AC，
∠ABC＝∠ACB，
∴∠CAM＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，
∵AD平分∠CAM，
∴∠CAM＝∠MAD，
∴∠ABC＝∠MAD，
∴AD∥BC，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵∠ABC＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DE⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，
∴图中所有与△CDE 面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连结PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2．探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
3．定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”．根据此定义，完成下面各题：
（1）若△ABC为半角三角形，且∠A＝90°，则△ABC中其余两个角的度数为 ；
（2）若△ABC是半角三角形，且∠C＝40°，则∠B ；
（3）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点C恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，则△EDF是半角三角形吗？若是，请说明理由．
4．若平面内两点P1（x1，y2），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝．例如：已知A（3，1），B（5，2），则这两点间的距离AB＝．已知A（3，1），B（5，2），C（4，4）．
（1）聪明的你能判定△ABC的形状吗？并说明理由．
（2）若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝6，求四边形ABCD的面积．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：AC＝ED；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝106°，∠BCD＝64°，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC．
求（1）∠F的度数；
（2）∠D的度数．
8．已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）如图1，求∠B与∠D的和为多少度？
（2）如图2，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，求证：BE∥DF．
9．如图，在四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，点E是BC边上一点，连接EO并延长交AD边于点F、交CD延长线于点G．OE＝OF，AD＝BC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠A＝65°，∠G＝40°，求∠BEG的度数．
10．如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系 ．
11．如图，已知△ABC为等边三角形，动点P在△ABC内，以PB，PC为边向外作等边三角形△PBD，△PCE．
（1）若PB＝8，PC＝6，BC＝10，
①求证：四边形PEAD是平行四边形；
②求出四边形PEAD的面积；
（2）随着点P在△ABC所在平面上运动时，当△PBC满足什么条件时，平行四边形PEAD一定存在？（直接写出答案）
12．如图，E，F是?ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．
13．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数．
15．如图所示，在?ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、DE、BF、CE，AF与DE交于点G，BF与CE交于点H，连接GH，求证：GH∥DC且GH＝DC．
16．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是平行四边形ABCD的对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若AE＝DE，求∠G的度数．
17．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点H为边AB的中点，点E在CH的延长线上，且AE⊥BE．点F在线段AE上，且BF⊥CE，垂足为G．
（1）若BF＝AF，且EF＝3，BE＝4，求AD的长；
（2）求证：BF+2EH＝CE．
18．在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边的中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）若DF＝8，BC＝6，DB＝5，求?CDBF的面积．
19．在?ABCD中，E、F分别是AB、DC上的点，且AE＝CF，连接DE、BF、AF．DE与AF交于点H．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长；
（3）在（2）条件下求三角形ADH的面积．
20．在△ABC中，AB＝AC，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，过点C作CD∥AB交∠CAM的平分线于点 D．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，连接BD，过点D作DE⊥BD，交BN于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形（不包含△CDE），使写出的每个三角形的面积与△CDE的面积相等．
参考答案
1．解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
∴BM＝CM，
∴AM＝BC＝5，
∵AD∥BC，
∴∠PAN＝∠C＝45°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，
∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，
∴5﹣t＝2t﹣2，
解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；
（2）存在，t＝4或12；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP＝BE，
∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10
解得：t＝4或12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．
2．解：探究一：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD
＝180°﹣（∠ADC+∠ACD）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A；
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD
＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）
＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
＝（∠A+∠B）．
3．解：（1）①若另一个锐角等于∠A＝90°的一半，则这个角为45°，第三角为45°，
②若除∠A以外的两个角中，有一个角是另一个的一半，则有较小的角为（180°﹣90°）÷（1+2）＝30°．
那么较大的角为60°，
故答案为：45°，45°或30°，60°，
（2）根据题意有以下几种情况：
①若∠B＝∠C，则∠B＝20°，
②若∠C＝∠B，则∠B＝80°，
③若∠A＝∠C，则∠A＝20°，∠B＝120°，
④若∠C＝∠A，则∠A＝80°，∠B＝60°，
⑤若∠B＝∠A，则∠B＝（180°﹣40°）÷3＝°，
⑥若∠A＝∠B，则∠B＝（180°﹣40°）÷3×2＝°，
（3）∵AB∥CD，AD∥BC，∠C＝72°，
∴ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝72°，∠D＝∠ABC＝180°﹣72°＝108°，
由折叠得，∠C＝∠BFE＝72°，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝90°，
∴∠DFE＝180°﹣90°﹣72°＝18°，
∴∠DEF＝180°﹣108°﹣18°＝54°
∴∠DEF＝∠D，
∴△EDF是半角三角形．
4．解：（1）能判定△ABC的形状，△ABC是等腰直角三角形；理由如下：
由题意得：AB＝，BC＝＝，AC＝＝，
∴AB＝BC，AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）如图所示：
当AB为对角线时，AD∥BC，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点B向下平移3个单位，再向左平移1个单位，得到点D，
∴点D的坐标为（4，﹣1）；
当BC为对角线时，AB∥CD，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点B向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到点D'，
∴点D'的坐标为（6，5）；
当AC为对角线时，AD∥BC，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点A向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到点D''，
∴点D''的坐标为（2，3）；
综上所述，点D的坐标为（4，﹣1）或（6，5）或（2，3）．
5．证明：（1）∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠DAF＝∠E，
∴AD∥BE，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BA＝AE＝6，∠BAE＝60°，
又∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝3，
∴BF＝＝＝3，
∴S△ABF＝AF×BF＝×3×3＝，
∴?ABCD的面积＝2×S△ABF＝9．
6．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B，
∴∠B＝∠DAE，
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS）
∴AC＝ED；
（2）∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°．
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝85°．
7．解：（1）∵MF∥AD，FN∥DC，∠BAD＝106°，∠BCD＝64°，
∴∠BMF＝106°，∠FNB＝64°，
∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN＝∠BMN＝53°，∠FNM＝∠MNB＝32°，
∴∠F＝∠B＝180°﹣53°﹣32°＝95°；
（2）∠F＝∠B＝95°，
∠D＝360°﹣106°﹣64°﹣95°＝95°．
8．（1）解：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠B+∠D+∠A+∠C＝（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠B+∠D＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°；
即∠B与∠D的和为180度；
（2）证明：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE+∠EDF＝90°，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠ADF，
∴BE∥DF．
9．（1）证明：∵O是对角线BD的中点，
∴OB＝OD，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴∠OBE＝∠ODF，
∴AD∥BC，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形；
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠BEG＝∠C+∠G＝65°+40°＝105°．
10．解：（1）猜想：∠1+∠2＝∠A+∠C，
∵∠1+∠ABC+∠2+∠ADC＝360°，
又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+∠C；
（2）∵∠A＝50°，∠C＝150°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣200°＝160°，
又∵BO、DO分别平分∠ABC与∠ADC，
∴∠OBC＝∠ABC，∠ODC＝∠ADC，
∴∠OBC+∠ODC＝（∠ABC+∠ADC）＝80°，
∴∠BOD＝360°﹣（∠OBC+∠ODC+∠C）＝130°；
（3）∠A、∠C与∠O的数量关系为为：
∠C﹣∠A＝2∠O．
理由如下：
∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．
∴∠FDC＝2∠FDO＝2∠ODC，∠EBC＝2∠EBO＝2∠CBO，
由（1）可知：
∠FDO+∠EBO＝∠A+∠O，
2∠FDO+2∠EBO＝∠A+∠C，
∴2∠A+2∠O＝∠A+∠C，
∴∠C﹣∠A＝2∠O．
故答案为：∠C﹣∠A＝2∠O．
11．（1）①证明：∵△ABC、△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，BD＝BP＝DP，CP＝CE＝EP，∠ABC＝∠DBP＝60°，∠ACB＝∠ECP＝60°，
∴∠BCP＝∠ACE，∠DBA＝∠PBC，
在△DBA和△PBC中，，
∴△DBA≌△PBC（SAS），
∴AD＝CP，
∴AD＝EP，
同理：△BCP≌△ACE（SAS）
∴BP＝AE，
∴DP＝AE，
∴四边形PEAD是平行四边形；
②解：∵PB＝8，PC＝6，BC＝10，
∴BC2＝PB2+PC2，
∴△BPC是直角三角形，
∴∠BPC＝90°，
∵△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴∠BPD＝∠CPE＝60°，
∴∠DPE＝360°﹣∠BPD﹣∠CPE﹣∠BPC＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，
过点P作PH⊥AD于点H，如图1所示：
∵四边形PEAD是平行四边形，
∴AD∥PE，
∴∠HPE＝∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝60°，
∴PH＝DP＝PB＝4，
∴四边形PEAD的面积＝PH?AD＝PH?PC＝4×6＝24；
（2）解：当△PBC满足点P在直线BC的上方，且∠BPC≠60°时，平行四边形PEAD一定存在；理由如下：
当点P在△ABC内部时，
由（1）①得：四边形PEAD是平行四边形；
当点P在△ABC外部，且∠BPC≠60°时，如图2所示：
同（1）①得：△DBA≌△PBC（SAS），△BCP≌△ACE（SAS），
∴AD＝CP，BP＝AE，
∴AD＝EP，DP＝AE，
∴四边形PEAD是平行四边形；
当点P在△ABC外部，且∠BPC＝60°时，如图3所示：
∵△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴∠BPD＝∠CPE＝60°，
∵∠BPC＝60°，
∴∠BPD+∠BPC+∠CPE＝180°，
∴点P、D、E三点共线，
∴P、E、A、D不能构成四边形；
当点P在直线BC下方时，如图4所示：
很明显，四边形PEAD不是平行四边形；
综上所述，当△PBC满足点P在直线BC的上方，且∠BPC≠60°时，即点P不在三角形ABC的外接圆上时，平行四边形PEAD一定存在．
12．（1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝3，
∴BF＝＝＝5，
∵四边形AECF是平行四边形，AE＝AF，OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∴OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，
∴42﹣（5﹣OF）2＝32﹣OF2，
解得：OF＝1.8，
∴OA＝＝2.4，
∴AC＝2OA＝4.8．
13．（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
14．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DCE＝∠F，∠FBC+∠BCD＝180°，
∵E为AD的中点，
∴DE＝AE．
在△DEC和△AEF中，
，
∴△DEC≌△AEF（AAS）．
∴DC＝AF．
∴AB＝AF；
（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，
∵∠BCD＝100°，
∴∠FBC＝180°﹣100°＝80°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝BC，
∴BE平分∠CBF，
∴∠ABE＝∠FBC＝×80°＝40°
15．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠GFD，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝DF，
在△AEG和△FDG中，
，
∴△AEG≌△FDG（AAS），
∴EG＝DG，
同理：EH＝CH，
∴GH∥DC且GH＝DC．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴，
∴BE＝DF．
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BG，
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE＝AB，
∵AE＝DE，
∴AE＝DE＝BE，即DE＝AB，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴平行四边形AGBD是矩形．
∴∠G＝90°．
17．解：（1）∵AE⊥BE．EF＝3，BE＝4，
∴BF＝，
∵BF＝AF，
∴AF＝5，
∴AE＝3+5＝8，
∴AB＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4；
（2）在CH上截取HM＝HE，连接BM和AM，如图，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝90°，
∵点H为边AB的中点，
∴EH＝AH＝BH＝MH，
∴四边形AEBM是矩形，
∴∠EAM＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠CAM，
∵BF⊥CE，
∴∠EGB＝90°，
∴∠EBG+∠BEG＝90°，
∵∠EBG+∠BFE＝90°，
∴∠BEG＝∠BFE，
∵矩形AEBM中，BE∥AM，
∴∠BEG＝∠AMH，
∴∠BFE＝∠AMH，
∴∠AFB＝∠AMC，
∵AB＝AC，
∴△ABF≌△ACM（AAS），
∴BF＝CM，
∵CM+EM＝CE，EM＝EH+MH＝2EH，
∴BF+2EH＝CE．
18．（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA）．
∴CF＝BD．
∴四边形CDBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形CDBF是平行四边形，
∴BE＝BC＝3，DE＝DF＝4，
∴DE2+BE2＝32+42＝52，
∴∠BED＝90°，
∴BC⊥DE，
∴四边形CDBF是菱形，
∴?CDBF的面积＝BC?DF＝×6×8＝24．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝CF，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF，DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，AB＝AE+BE＝3+5＝8，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝＝＝4；
（3）解：∵AB∥CD，
∴△AEH∽△FDH，
∴＝＝，
∴＝，
∴△ADH的面积＝△ADE的面积＝××3×4＝．
20．（1）证明：∵AB＝AC，
∠ABC＝∠ACB，
∴∠CAM＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，
∵AD平分∠CAM，
∴∠CAM＝∠MAD，
∴∠ABC＝∠MAD，
∴AD∥BC，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵∠ABC＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DE⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，
∴图中所有与△CDE 面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．