2020-2021学年北师大版九年级数学下册3.6直线和圆的位置关系课件(42张）

3.6 直线和圆的位置关系
锐角三角形 在三角形的内部
直角三角形 --外心的位置--- 在斜边中点上
钝角三角形 在三角形的外部
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
定理 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
复习回顾
点和圆的位置关系有几种？

点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则：
复习回顾
点在圆外 d>r;
点在圆上 d=r；
点在圆内 dA
B
C
数形结合： 位置关系 数量关系
直线与圆的位置关系
1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?
这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?
l(地平线)
l(地平线)
●O
●O
●O
(2)直线和圆有唯一个公共点,
叫做直线和圆相切,
这条直线叫圆的切线，
这个公共点叫切点。
(1)直线和圆有两个公共点,
叫做直线和圆相交，
这条直线叫圆的割线，
这两个公共点叫交点。
(3)直线和圆没有公共点时,
叫做直线和圆相离。
归纳：直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分）
练习1：
看图判断直线l与⊙O的位置关系
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
？
l
l
l
l
l
·O
·O
·O
·O
·O
（5）
？
l
如果公共点的个数不好判断，该怎么办？
·O
联想类比： “直线和圆的位置关系”能否像“点和圆的位置关系”一样进行数量分析？
点到圆心的距离为d，圆的半径为r.
你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?
●O
●O
相交
●O
相切
相离
直线与圆的位置关系
r
r
r
d
┐
d
┐
┐
d
l
l
l
直线和
圆相交
d< r
直线和
圆相切
d= r
直线和
圆相离
d> r
r
d
∟
r
d
∟
r
d
数形结合：位置关系 数量关系
归纳2：直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分）
总结：
判定直线与圆的位置关系的方法有____种：
（1）根据定义，由________________
的个数来判断；
（2）根据性质，由_________________
的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
两
直线与圆的公共点
圆心到直线的距离d与半径r
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：
3)若d= 8 cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
2)若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
1)若d=4.5cm ,则直线与圆　　　, 直线与圆有____个公共点.
3)若AB和⊙O相交,则______________ .
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 ;
2)若AB和⊙O相切, 则 ;
相交
相切
相离
d > 5cm
d = 5cm
检测练习
0cm≤d < 5cm
2
1
0
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB
有怎样的位置关系？为什么？
(1)r=2cm； (2)r=2.4cm (3)r=3cm．
B
C
A
4
3
分析：要了解AB与⊙C的位置
关系，只要知道圆心C到AB的
距离d与r的关系．已知r，只需
求出C到AB的距离d。
D
d
4、已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是_____, y轴与⊙A的位置关系是_____。
相离
相切
变式：若⊙A要与x轴相切，则⊙A该向上移动多少个单位？若⊙A要与x轴相交呢？
5.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以5为半径作⊙C，则斜边AB与⊙C的位置关系是________.
相交
变式：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若⊙C与斜边AB有交点，则⊙C半径r取值范围是_________。
2.你能举出生活中直线与圆相交,相切,相离的实例吗?
1.上面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画出它们的对称轴吗?
●O
●O
相交
●O
相切
相离
探索切线性质
如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由.
直径AB⊥CD.
C
D
B
●O
A
●假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
●则OM●所以AB与CD垂直.
假设法
切线的性质定理
定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
提示:
切线的性质定理是证明两线
垂直的重要方法;
作过切点的半径是常用辅助线之一.
∵CD与⊙O相切与点A,且OA是半径∴CD⊥OA.
C
D
B
●O
A
直线何时变为切线
如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角为∠α,当CD绕点A旋转时,
思考：如何表述这个事实?
1.随着∠α的变化,点O到CD的距离如何变化?直线CD与⊙O的位置关系如何变化?
2.当∠α等于多少度时,点O到CD的距离等于半径?此时,直线CD与⊙O有怎样的位置关系?为什么?
B
●O
A
C
D
┓
d
α
┏
d
α
d
┓
切线的判定定理
定理 过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
C
D
B
●O
A
∵CD⊥半径OA且直线CD经
过A点,
∴ CD是⊙O的切线.
定理2：到圆心的距离等于半径的直线
是圆的切线
定理1：经过半径外端点且垂直于这条半
径的直线是圆的切线
总结：切线的判定
判断题
(1) 与圆的半径垂直的直线一定是这个圆的切线. （ 　 ）
(2) 过圆的半径外端的直线一定是这个圆的切线 . （　 ）
×
×
(3) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
×
两个条件,缺一不可
切线的性质定理的应用
1.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm.
(1)⊙C半径为多长时,
直线AB与⊙C 相切?
A
C
B
┐
D
┛
(2)当⊙C半径分别为2cm,4cm时,这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系?
2.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C，若∠A=25°，求∠D度数。
●
D
A
C
O
B
技巧：有切点，连半径，得垂直。
3.如图，CA、CB分别切⊙O于A、B两点.若∠C=76°，求∠D.
●
O
C
B
A
D
数学理解
4.为了测量一个光盘的的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB=6cm。这张光盘的直径是多少？
O
C
2
1
3
拓展 5.如图，⊙O中弦AB与CD相交于P，ΔAPC与ΔDPB有何关系？请证明.
·O
D
P
A
C
B
PA·PB=PC·PD
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；（题目未提及直线与圆的明确的交点，通常作过圆心作直线的垂线段）
③切线的判定定理．（题目明确说明直线与圆有某个交点，通常连半径，证垂直）即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
课堂小结
在一块三角形废料?ABC中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
三角形的内切圆及作法
探索新知
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为r的☉O与△ABC的三边都相切，那么圆心O应满足什么条件？
(2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心O呢？
A
B
C
O●
┓
●
圆心O到三角形三边的距离相等，都等于半径.
圆心O应是三角形的三条角平分线的交点.
为什么？
A
B
C
I●
┓
●
作法：
D
（1）作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，
交点为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I，
⊙I就是所求
M
N
做三角形的内切圆
画三角形的内切圆:
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论
这样的圆可以作出几个?为什么?
　分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?
A
B
C
A
B
C
●
●
●
C
A
B
┐
动脑思考
A
B
C
D
E
O
M
内切圆的概念
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。
内切圆
内心
外切三角形
A
B
C
D
E
O
M
三角形内心的性质
内切圆
内心
外切三角形
①三角形的内心是三角形角平分线的交点；
②三角形的内心到三边的距离相等；
③三角形的内心一定在三角形的内部。
三角形内心与外心的区别与联系
名称
确定方法
图形
性质
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC；
2.外心不一定在三角形的内部。
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分三内角。
3.内心在三角形内部。
外心:
三角形外接圆的圆心
·
O
C
B
A
内心：
三角形内切圆的圆心
·
I
A
B
C
2. 如图2，△DEF是⊙I的 三角形，⊙I是△DEF的 圆，点I是 △DEF
的 心，它是三角形 的交点。点I到 △DEF的 的距离相等。
I
D
E
F
．
图2
如图1，△ABC是⊙O的 三角形。⊙O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 心，它是三角形_________ _____的交点。 点O到△ABC的_______ 距离相等。
A
B
C
O
．
图1
外接
内接
外
三边垂直
平分线
三个顶点
外切
内切
内
三条角平分线
练习讲解
三条边
新知拓展
2
三角形内切圆的应用
设?ABC的内切圆的半径为r， ?ABC的各边长之和为l， ?ABC的面积为S，我们会有什么结论？
一、三角形的面积与周长和内切圆半径的关系
?
?
?
?
三角形的面积等于其周长的一半与内切圆半径的积。
1.边长为8、15、17的三角形的内切圆半径为多少呢？
A
B
C
如图，O是 Rt?ABC的内切圆的圆心，OD ⊥AC，OE ⊥BC，OF ⊥AB，两直角边分别是a，b，c，则其内切圆的半径r与三边的关系为 。
?
二、直角三角形三边长与内切圆半径的关系
2.如图 ， ⊙O 是△ABC 的内切圆， ∠A=70°， 求∠BOC .
?
?
I
o
A
B
C
D
3. 如图， ⊙O是△ABC的外切圆，点I是△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D，
连接BD。 求证：BD=ID
4.边长为6的正三角形的
内切圆的面积是_____
外接圆的面积是_____
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，BC=6，
求⊙O的半径r．
课堂小结
一、内切圆的概念
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。
二、三角形内心的性质
①三角形的内心是三角形角平分线的交点；
②三角形的内心到三边的距离相等；
③三角形的内心一定在三角形的内部。
课堂小结