7.3复数的三角表示B
一．选择题（共6小题）
1．棣莫弗公式为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．复数，则在复平面内对应的点在
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知，其中为虚数单位，，为实数，则复数的共轭复数对应的点在复平面内位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．已知为虚数单位，复数满足，则在平面内对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．已知复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第 象限
A．一
B．二
C．三
D．四
6．复数，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二．多选题（共2小题）
7．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是
A．
B．
C．若，则复平面内对应的点位于第四象限
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
8．已知复数满足，在复平面内，复数对应的点可能在
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
三．填空题（共4小题）
9．在复平面内，复数对应的点在直线上，则实数 ．
10．复数，，则的共轭复数在复平面内对应第 象限．
11．在复平面内，复数，对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是 ．
12．在复平面上的平行四边形中，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是 ．
四．解答题（共4小题）
13．已知，复数．
（1）若对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）若的共轭复数与复数相等，求的值．
14．若复数所对应的点在第三象限，其中为虚数单位，为实数．
（1）求的取值范围．
（2）求的共轭复数的最值．
15．在①为实数，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知复数：．
（1）若____，求实数的值；
（2）当在复平面内对应的点位于第三象限时，求的取值范围．
16．设．
（1）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围；
（2）若在复平面内对应的点在直线上，求的值．
7.3复数的三角表示B
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：由，
得，
，，，
复数在复平面内所对应的点位于第二象限．
故选：．
2．【解答】解：，
．
则在复平面内对应的点的坐标为，，在第四象限．
故选：．
3．【解答】解：，
故，故，
故，
故对应的点在复平面内位于第三象限，
故选：．
4．【解答】解：由，得，
，
则在平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．
故选：．
5．【解答】解：设复数，
则，
且，故，
即对应的点为位于第一象限．
故选：．
6．【解答】解：，
．
的共轭复数对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．【解答】解：对于，，故正确；
对于，两个虚数不能进行大小比较，故错误；
对于，，，
则复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，故错误；
对于，已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹是以和为端点的线段的垂直平分线，故正确．
故选：．
8．【解答】解：设，代入，
得，
，解得或．
复数对应的点的坐标为或，可能在第二、四象限．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．【解答】解：在复平面内，复数对应的点在直线上，
，解得．
故答案为：1．
10．【解答】解：，，
则的共轭复数，
，，，
在复平面内对应第
二象限．
故答案为：二．
11．【解答】解：由题意，，，
则线段的中点，
点对应的复数是．
故答案为：．
12．【解答】解：由平行四边形法则可得：，解得，
可得：．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
13．【解答】解：（1）由题意得，解得，
的取值范围是；
（2）
，
与复数相等，
，解得．
14．【解答】解：（1）复数对应的点在第三象限，
，
即，
的取值范围是；
（2），
．
由（1）得，当时，
最小值为，无最大值．
15．【解答】解：（1）选择①为实数，则，解得．
选择②为虚数，则，解得．
选择③为纯虚数，则，，解得．
（2）当在复平面内对应的点位于第三象限时，，．
解得：，
的取值范围是．
16．【解答】解：（1），
当在复平面内对应的点在第三象限时，
，
即，
解得，
的取值范围是；
（2）当在复平面内对应的点在直线上时，
，
即，
，
即，
解得或．7.3复数的三角表示A
一．选择题（共6小题）
1．已知为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．设为虚数单位，如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是
A．
B．
C．
D．
3．欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．若为虚数单位，复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．如图，在平行四边形中，顶点，，在复平面内分别表示0，，，则点对应的复数为
A．
B．
C．
D．
6．在复平面内，复数所对应的向量如图所示，则
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共2小题）
7．已知复数（其中为虚数单位），下列说法正确的是
A．复数在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．可能为实数
C．
D．的虚部为
8．已知复数（其中为虚数单位）下列说法正确的是
A．复数在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．可能为实数
C．
D．的实部为
三．填空题（共4小题）
9．在复平面内，是原点，、、对应的复数分别为、、，那么所对应的复数为 ．
10．欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第 象限．
11．棣莫弗公式为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于第 象限．
12．若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则△的周长为
四．解答题（共4小题）
13．已知复数为虚数单位，为纯虚数，和是关于的方程的两个根．
（1）求，的值；
（2）若复数满足，说明在复平面内对应的点的集合是什么图形？并求该图形的面积．
14．已知复数满足，且的虚部为，在复平面内所对应的点在第四象限．
（1）求；
（2）若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，．
15．已知复数，，．
（1）求实数的值；
（2）设，，在复平面上对应点分别为，，，求的面积．
16．设实部为正数的复数满足且在复平面上对应的点在第一，三象限的角平分线上．
（Ⅰ）求复数；
（Ⅱ）若为纯虚数，求实数的值．
7.3复数的三角表示A
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：，
在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．
故选：．
2．【解答】解：由图可知，，
则．
表示复数的点的坐标为，是．
故选：．
3．【解答】解：由欧拉公式，可得，
表示的复数位于复平面中的第三象限．
故选：．
4．【解答】解：，
，
则．
复数在复平面内对应的点的坐标为，，位于第三象限．
故选：．
5．【解答】解：由已知，得，，
则．
点对应的复数为．
故选：．
6．【解答】解：由图可知，，
则，
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．【解答】解：，
．
，．
则复数在复平面上对应的点不可能落在第二象限，故错误；
的值可能为0，则可能为实数，故正确；
由于，故正确；
由于，其虚部为，故错误．
故选：．
8．【解答】解：，
．
，．
则复数在复平面上对应的点不可能落在第二象限；
可能为实数；
；
，的实部为．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．【解答】解：因为、、对应的复数分别为、、，
所以：．
故答案为：．
10．【解答】解：由，
得，
表示的复数在复平面中所表示的点的坐标为，
，，，点位于第三象限．
故答案为：三．
11．【解答】解：由，
得，
，，．
复数在复平面内所对应的点位于第二象限．
故答案为：二．
12．【解答】解：由题意，可得，，，
所以，，
则△的周长16．
故答案为：16．
四．解答题（共4小题）
13．【解答】解：（1）为纯虚数，
，即，解得，
此时，由韦达定理得，解得；
（2）复数满足，即，
不等式的解集是圆的外部（包括边界）所有点组成的集合，
不等式的解集是圆的内部（包括边界）所有点组成的集合，
所求点的集合是以原点为圆心，以1和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界．
则．
14．【解答】解：（1）设，
，，
得或，
又在复平面内所对应的点在第四象限，
；
（2），
，，，
，，
则，
．
15．【解答】解：（1）复数，，．
，
，
解得：．
（2）设，，．
，，．
，
为直角三角形，
的面积．
16．【解答】解：（Ⅰ）设，，，
则，
又，
依题意得：，即．
联立，解得，，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
，
，得．
