2020-2021学年北师大版八年级数学下册 1.3.2 线段的垂直平分线(二) 同步练习题（word含答案）

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章1.3.2
线段的垂直平分线(二)
同步练习题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A组(基础题)
一、填空题
1．如图，小明把一个含30°
角的直角三角形纸板沿较短边的垂直平分线翻折，则∠BOC的度数是______．
2．如图，A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在______．
3．以线段AB为底边，以AB为高作等腰三角形ABC，则∠CAB＝______．
4．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB的长度为7，则△ABC的周长为______．
二、选择题
5．如图，
AC＝AD,
BC＝BD，则有(
)
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
6．为了丰富学生的课余生活，某校举行联欢晚会，在联欢晚会上，有A，B，C三名同学站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的(
)
A．三边中线的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三边高的交点处
D．三边垂直平分线的交点处
7．过直线l外一点P作l的垂线，先在直线l上取两点A，B，使PA＝PB，再作(
)
A．线段AB的垂线
B．∠PAB的平分线
C．∠PBA的平分线
D．∠APB的平分线
8．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是(
)
A．l是线段EH的垂直平分线
B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线
D．EH是l的垂直平分线
三、解答题
9．(1)如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：AD垂直平分EF.
(2)如图，在墙角点O处有一个老鼠洞，小猫在点A处发现老鼠从点B处往洞口逃窜，小猫想：这一次不会再让“你”逃掉．若小猫和老鼠的速度相同，你能确定小猫抓住老鼠的位置吗？
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.求证：AD是CE的垂直平分线．
B组(中档题)
四、填空题
11．如图，分别以线段BD的端点B，D为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧相交于A，C两点，连接AB，AD，CB，CD.若AB＝2，BD＝2，则四边形ABCD的面积为______．
12．在△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于点D，EG是AC的垂直平分线，交BC于点E.若∠DAE＝30°，则∠BAC等于______．
13．(2019·哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB.若AB＝8，CE＝6，则BC的长为______．
五、解答题
14．如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点(点G与C，D不重合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H.
(1)求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE；
(2)试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．
C组(综合题)
15．如图，已知在△ABC中，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝4∶2∶1，AD是∠BAC的平分线．求证：AD＝AC－AB.
参考答案
2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章1.3.2
线段的垂直平分线(二)
同步练习题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A组(基础题)
一、填空题
1．如图，小明把一个含30°
角的直角三角形纸板沿较短边的垂直平分线翻折，则∠BOC的度数是60°．
2．如图，A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在三边垂直平分线的交点处．
3．以线段AB为底边，以AB为高作等腰三角形ABC，则∠CAB＝45°．
4．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB的长度为7，则△ABC的周长为17．
二、选择题
5．如图，
AC＝AD,
BC＝BD，则有(A)
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
6．为了丰富学生的课余生活，某校举行联欢晚会，在联欢晚会上，有A，B，C三名同学站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的(D)
A．三边中线的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三边高的交点处
D．三边垂直平分线的交点处
7．过直线l外一点P作l的垂线，先在直线l上取两点A，B，使PA＝PB，再作(D)
A．线段AB的垂线
B．∠PAB的平分线
C．∠PBA的平分线
D．∠APB的平分线
8．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是(A)
A．l是线段EH的垂直平分线
B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线
D．EH是l的垂直平分线
三、解答题
9．(1)如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：AD垂直平分EF.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∴Rt△AED≌Rt△AFD.∴AE＝AF.
∵AD是等腰△AEF的顶角平分线，
∴AD垂直平分EF.
(2)如图，在墙角点O处有一个老鼠洞，小猫在点A处发现老鼠从点B处往洞口逃窜，小猫想：这一次不会再让“你”逃掉．若小猫和老鼠的速度相同，你能确定小猫抓住老鼠的位置吗？
解：如图，连接AB，作线段AB的垂直平分线，交OB于点P，则小猫在点P处抓住老鼠．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.求证：AD是CE的垂直平分线．
证明：∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE＝DC.
∴点D在线段CE的垂直平分线上．
∵∠EAD＝∠CAD，∠AED＝∠ACD＝90°，DE＝DC，
∴△AED≌△ACD(AAS)．∴AE＝AC.
∴点A在线段CE的垂直平分线上．
∴直线AD是CE的垂直平分线．
B组(中档题)
四、填空题
11．如图，分别以线段BD的端点B，D为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧相交于A，C两点，连接AB，AD，CB，CD.若AB＝2，BD＝2，则四边形ABCD的面积为2．
12．在△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于点D，EG是AC的垂直平分线，交BC于点E.若∠DAE＝30°，则∠BAC等于75°或105°．
13．(2019·哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB.若AB＝8，CE＝6，则BC的长为2．
五、解答题
14．如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点(点G与C，D不重合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H.
(1)求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE；
(2)试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．
解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠BCG＝90°，BC＝CD，
在正方形GCEF中，∠DCE＝90°，CG＝CE，
在△BCG和△DCE中，
∴△BCG≌△DCE(SAS)．
∴∠1＝∠2.
∵∠2＋∠DEC＝90°，
∴∠1＋∠DEC＝90°.
∴∠BHD＝90°.
∴BH⊥DE.
(2)当GC＝－1时，BH垂直平分DE.理由如下：
连接EG.
∵BH垂直平分DE.
∴EG＝DG.
设CG＝x，则CE＝CG＝x.
∵∠DCE＝90°，
∴EG＝x，DG＝x.
∵DG＋CG＝CD，
∴x＋x＝1，解得x＝－1.
∴当GC＝－1时，BH垂直平分DE.
C组(综合题)
15．如图，已知在△ABC中，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝4∶2∶1，AD是∠BAC的平分线．求证：AD＝AC－AB.
证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，设∠C＝x.
∵∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝4∶2∶1，
∴∠BAC＝4x，∠B＝2x.
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAE＝2x.
在△ABD和△AED中，
∴△ABD≌△AED(SAS)．∴∠B＝∠AED＝2x.
∴∠AED＝∠DAE.∴DA＝DE.
∵∠AED＝∠EDC＋∠C，∠C＝x，
∴∠EDC＝2x－x＝x，即∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC.∴DA＝EC.
∴AC＝AE＋EC＝AB＋AD，即AD＝AC－AB.