2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章1.3.1 线段的垂直平分线(一) 同步练习题(word含答案）

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章1.3.1
线段的垂直平分线(一)
同步练习题
A组(基础题)
一、填空题
1．如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E.若AE＝5
cm，则B，E两点之间的距离是______cm.
2．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D.若ED＝5，则CE的长为______．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交BC于点E，EC的垂直平分线交DE的延长线于点M.若∠FMD＝40°，则∠BAC＝______．
4．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D.若AC＝6
cm，则AD＝______2cm.
二、选择题
5．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(
)
A．AB＝AD
B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD
D．△BEC≌△DEC
6．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为(
)
A．31°
B．62°
C．87°
D．93°
7．如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AE＝5
cm，△ABD的周长为26
cm，则△ABC的周长为(
)
A．32
cm
B．29
cm
C．38
cm
D．36
cm
8．如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么这个三角形是(
)
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
三、解答题
9．如图，在△ABC中，作AB，AC的垂直平分线，分别交直线BC于点E，D，连接AD，AE.已知∠DAE＝82°，求∠BAC的度数．
10．(1)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，求∠C的度数．
(2)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E是垂足，连接CD.若BD＝1，求AC的长．
B组(中档题)
四、填空题
11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是______．
12．如图，在长方形纸片ABCD中，E是AD的中点，且AE＝1,
BE的垂直平分线MN恰好过点C，则长方形的一边AB的长为______
13．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝______
五、解答题
14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.
(1)若△CMN的周长为15
cm，求AB的长；
(2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
C组(综合题)
15．如图1，在Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于点C，过点O作与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC→CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO→ON以相同的速度运动，当点P到达点O时，P，Q两点同时停止运动．
(1)求OC，BC的长；
(2)设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)当点P在OC上，点Q在ON上运动时，如图2，设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
参考答案
2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章1.3.1
线段的垂直平分线(一)
同步练习题
A组(基础题)
一、填空题
1．如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E.若AE＝5
cm，则B，E两点之间的距离是5cm.
2．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D.若ED＝5，则CE的长为10．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交BC于点E，EC的垂直平分线交DE的延长线于点M.若∠FMD＝40°，则∠BAC＝100°．
4．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D.若AC＝6
cm，则AD＝2cm.
二、选择题
5．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(C)
A．AB＝AD
B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD
D．△BEC≌△DEC
6．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为(C)
A．31°
B．62°
C．87°
D．93°
7．如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AE＝5
cm，△ABD的周长为26
cm，则△ABC的周长为(D)
A．32
cm
B．29
cm
C．38
cm
D．36
cm
8．如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么这个三角形是(C)
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
三、解答题
9．如图，在△ABC中，作AB，AC的垂直平分线，分别交直线BC于点E，D，连接AD，AE.已知∠DAE＝82°，求∠BAC的度数．
解：∵∠DAE＝82°，
∴∠ADE＋∠AED＝180°－82°＝98°.
∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，D，
∴DA＝DC，EA＝EB.
∴∠DAC＝(180°－∠ADC)，∠EAB＝(180°－∠AED)．
∴∠BAC＝∠DAC＋∠BAE－∠DAE＝180°－(∠ADE＋∠AED)－∠DAE＝49°.
10．(1)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，求∠C的度数．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC.∴∠EAC＝∠C.
∴∠FAC＝∠EAC＋19°.
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC＋19°.
∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
∴70°＋2(∠C＋19°)＋∠C＝180°，解得∠C＝24°.
(2)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E是垂足，连接CD.若BD＝1，求AC的长．
解：在Rt△ABC中，
∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°.
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD＝CD.
∴∠ACD＝∠A＝30°.
∴∠DCB＝60°－30°＝30°.
在Rt△DBC中，∠B＝90°，∠DCB＝30°，BD＝1，
∴CD＝2BD＝2.
由勾股定理，得BC＝＝＝.
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝，
∴AC＝2BC＝2.
B组(中档题)
四、填空题
11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是50°．
12．如图，在长方形纸片ABCD中，E是AD的中点，且AE＝1,
BE的垂直平分线MN恰好过点C，则长方形的一边AB的长为．
13．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝78°．
五、解答题
14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.
(1)若△CMN的周长为15
cm，求AB的长；
(2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN.
∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.
∵△CMN的周长为15
cm，∴AB＝15
cm.
(2)∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.
∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－110°＝70°.
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.
∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°.
C组(综合题)
15．如图1，在Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于点C，过点O作与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC→CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO→ON以相同的速度运动，当点P到达点O时，P，Q两点同时停止运动．
(1)求OC，BC的长；
(2)设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)当点P在OC上，点Q在ON上运动时，如图2，设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
解：(1)∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，
∴∠B＝30°.∴OA＝OB＝.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝3.
∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B.
∴OC＝BC.
在Rt△AOC中，AO2＋AC2＝CO2，
∴()2＋(3－OC)2＝OC2.
∴OC＝2，BC＝2.
(2)①如图1，当点P在BC上，点Q在OC上时，0过点P作PH⊥OC于点H，∠HCP＝60°，∠HPC＝30°，
∴CH＝CP＝(2－t)，HP＝(2－t)．
∴S△CPQ＝CQ·PH＝×t×(2－t)，
即S＝－t2＋t.
②当t＝2时，点P与点C重合，点Q与点O重合，此时，△CPQ不存在，∴S＝0.
③如图3，当点P在OC上，点Q在ON上时，2过点P作PG⊥ON于点G，过点C作CR⊥ON于点R，
∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°.
∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°.
∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°.
∴∠NOC＝90°－30°＝60°.
∵CO＝2，∠NOC＝60°，
∴CR＝.∵∠GPO＝30°，∴OG＝OP＝(4－t)，PG＝(4－t)．
∴S△CPQ＝S△COQ－S△OPQ＝×(t－2)×－×(t－2)×(4－t)，即S＝t2－t＋.
④当t＝4时，点P与点O重合，点Q在ON上，如图4.
过点C作CK⊥ON于点K，
由③知，CK＝，此时PQ＝2.
∴S△CPQ＝PQ·CK＝×2×＝.
综上所述，S与t的函数关系式是
S＝
(3)①当OM＝PM时，∠MOP＝∠MPO＝30°，
∴∠PQO＝180°－∠QOP－∠MPO＝90°.
∴OP＝2OQ.∴2(t－2)＝4－t，解得t＝.
②当PM＝OP时，∠PMO＝∠MOP＝30°，
∴∠MPO＝120°.
∵∠QOP＝60°，∴此时不存在．
③当OM＝OP时，
过点P作PG⊥ON于点G，如图2.∵∠QOP＝60°，
∴∠OPG＝30°.
∴GO＝(4－t)，PG＝(4－t)．
∵∠AOC＝30°，OM＝OP，
∴∠OPM＝∠OMP＝75°.
∴∠PQO＝180°－∠QOP－∠QPO＝45°.
∴PG＝QG＝(4－t)．
∵OG＋QG＝OQ，
∴(4－t)＋(4－t)＝t－2，解得t＝.
综上所述，当t为或时，△OPM是等腰三角形．