浙江省宁波市鄞州区2020-2021学年七校联考九年级下学期开学数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．数2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．抛物线y＝﹣x（x﹣2）的顶点坐标是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
3．下列运算中，结果正确的是（　　）
A．4a﹣a＝3a B．a10÷a2＝a5 C．a2+a3＝a5 D．a3?a4＝a12
4．用分别写有“宁波”，“文明”，“城市”的字块拼句子，那么能够排成“宁波文明城市”或“文明城市宁波”的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）
A．∠BCA＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．CB＝CD
6．一组数据为1，5，3，4，5，6，这组数据的众数、中位数分为（　　）
A．4，5 B．5，4.5 C．5，4 D．3，2
7．如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1＝和y2＝的图象交于点A和点B．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是（　　）
A．b＝a B．b＝a C．b＝ D．b＝a
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
10．如图，在边长为1的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E，F分别在边BC，AD上，则放入的四个小正方形的面积之和为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．分解因式：x2﹣9＝　 　．
12．如图，点A、B、C在圆O上，且∠BAC＝40°，则∠BOC＝　 　．
13．如图，已知?ABCD的对角线BD＝4cm，将?ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为　 　cm．
14．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC的值是　 　．
15．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，﹣3）AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，则经过点D的“蛋圆”的切线的解析式为　 　．
16．图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等．如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形，其面积为8+4，则图3中线段AB的长为　 　．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）.
17．（1）计算：20120+﹣4×sin60°．
（2）求代数式的值：÷+（x+2），其中x＝．
18．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？
（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
19．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移3个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并求出点P的坐标．
20．为了进一步了解八年级500名学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班50名学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下所示：
组别 次数x 频数（人数）
第l组 80≤x＜100 6
第2组 100≤x＜120 8
第3组 120≤x＜140 a
第4组 140≤x＜160 18
第5组 160≤x＜180 6
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的a＝　 　，次数在140≤x＜160这组的频率为　 　；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第　 　组；
（4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x＜120不合格；x≥120为合格，则这个年级合格的学生有　 　人．
21．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
22．某厂家生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元），销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的实际意义．
（2）求线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式．
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
23．我们把三角形的一条高线关于与其共顶点的内角平分线的对称线段所在直线叫做该三角形的倍角高线．
（1）如图1，AD，AF分别为△ABC的高线和角平分线，若AE为△ABC的倍角高线．
①根据定义可得∠DAF＝　 　，∠CAD＝　 　（填写图中某个角）；
②若∠BAC＝90°，求证：△ABE为等腰三角形．
（2）如图2，在钝角△ABC中，∠ACB为钝角，∠ABC＝45°，若AD，AF分别为△ABC的高线和角平分线，倍角高线AE交直线BC于点E，若tan∠ACD＝3，BE＝2，求线段AE的长．
（3）在△ABC中，若AB＝2，∠ABC＝30°，倍角高线AE交直线BC于点E，当△ABE为等腰三角形，且AE≠AB时，求线段BC的长．
24．如图，矩形ABCD中，AD＝10，CD＝15，E是边CD上一点，且DE＝5，P是射线AD上一动点，过A，P，E三点的⊙O交直线AB于点F，连接PE，EF，PF，设AP＝x．
（1）当x＝5时，求AF的长．
（2）在点P的整个运动过程中．
①tan∠PFE的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围；
②当矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上时，求x的值．
（3）若点A，H关于点O成中心对称，连接EH，CH．当△CEH是等腰三角形时，求出所有符合条件的x的值．（直接写出答案即可）
2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．数2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】直接利用倒数的定义求2的倒数是；
【解答】解：2的倒数是；
故选：D．
2．抛物线y＝﹣x（x﹣2）的顶点坐标是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
【分析】首先把解析式配方成为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，再根据顶点式的特殊形式可得顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣x（x﹣2）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故选：A．
3．下列运算中，结果正确的是（　　）
A．4a﹣a＝3a B．a10÷a2＝a5 C．a2+a3＝a5 D．a3?a4＝a12
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，可判断各选项．
【解答】解：A、4a﹣a＝3a，故本选项正确；
B、a10÷a2＝a10﹣2＝a8≠a5，故本选项错误；
C、a2+a3≠a5，故本选项错误；
D、根据a3?a4＝a7，故a3?a4＝a12本选项错误；
故选：A．
4．用分别写有“宁波”，“文明”，“城市”的字块拼句子，那么能够排成“宁波文明城市”或“文明城市宁波”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有情况，让能够排成“宁波文明城市”或“文明城市宁波”的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：用分别写有“宁波”，“文明”，“城市”的字块拼句子，可能的结果有：宁波文明城市，宁波城市文明，文明宁波城市，文明城市宁波，城市宁波文明，城市文明宁波6种，所以那么能够排成“宁波文明城市”或“文明城市宁波”的概率是．
故选：C．
5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）
A．∠BCA＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．CB＝CD
【分析】本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．
【解答】解：A、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故A选项符合题意；
B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；
D、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：A．
6．一组数据为1，5，3，4，5，6，这组数据的众数、中位数分为（　　）
A．4，5 B．5，4.5 C．5，4 D．3，2
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，5，5，6，
则众数为：5，
中位数为：4.5．
故选：B．
7．如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1＝和y2＝的图象交于点A和点B．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设线段OP＝x，则可求出AP、BP，继而分别得出梯形ACOP、BCOP的面积，然后两者相减可得出△ABC的面积．
【解答】解：设线段OP＝x，则PB＝，AP＝，
∴S四边形ACOP＝（OC+AP）×OP＝OC+1；SBCOP＝（OC+BP）×OP＝OC+2，
∴S△ABC＝S四边形BCOP﹣S四边形ACOP＝1．
故选：A．
8．如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是（　　）
A．b＝a B．b＝a C．b＝ D．b＝a
【分析】首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面的弧长求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质求得a、b之间的关系即可．
【解答】解：∵半圆的直径为a，
∴半圆的弧长为
∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，
∴设小圆的半径为r，则：2πr＝
解得：r＝
∴AC＝a﹣r＝，
如图小圆的圆心为B，半圆的圆心为C，作BA⊥CA于A点，
则：AC2+AB2＝BC2
即：（）2+（）2＝（）2
整理得：b＝a
故选：D．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x＝＜0，∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
②当x＝1时，函数值为2，
∴a+b+c＝2；
故本选项正确；
③∵对称轴x＝＞﹣1，
解得：＜a，
∵b＞1，
∴a＞，
故本选项错误；
④当x＝﹣1时，函数值＜0，
即a﹣b+c＜0，（1）
又a+b+c＝2，
将a+c＝2﹣b代入（1），
2﹣2b＜0，
∴b＞1
故本选项正确；
综上所述，其中正确的结论是②④；
故选：D．
10．如图，在边长为1的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E，F分别在边BC，AD上，则放入的四个小正方形的面积之和为（　　）
A． B． C． D．
【分析】作GH⊥BC，证明△GHE∽△EMN，根据相似三角形的性质得到GH＝2EM，HE＝2MN，根据正方形的性质列方程求出MN，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：如图，过G作GH⊥BC于H，
则∠HGE+∠HEG＝∠HEG+∠MEN＝90°，
∴∠HGE＝∠MEN，
∵∠GHE＝∠EMN＝90°，
∴△GHE∽△EMN，
∴＝＝＝，
∴GH＝2EM，HE＝2MN，
设MN＝x，则HE＝2x，
∴EM＝1﹣4x，
∴GH＝2EM＝2（1﹣4x），
∴2（1﹣4x）+x＝1，
解得：x＝，
∴EM＝1﹣4x＝，
∴EN＝＝，
∴GE＝2EN＝，
∴四个小正方形的面积之和＝2×（）2+×＝，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
12．如图，点A、B、C在圆O上，且∠BAC＝40°，则∠BOC＝　80°　．
【分析】由点A、B、C在圆O上，且∠BAC＝40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝40°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×40°＝80°．
故答案为：80°．
13．如图，已知?ABCD的对角线BD＝4cm，将?ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为　2π　cm．
【分析】将平行四边形旋转180°后，点D所转过的路径是以线段BD为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可．
【解答】解：将?ABCD绕其对称中心O旋转180°，点D所转过的路径为以BD为直径的半圆，
∴其长度为＝＝2π．
故答案为：2π．
14．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC的值是　　．
【分析】如图取格点E，连接EC、DE．设小菱形的边长为1．首先证明∠APC＝∠ECD，再证明∠CDE＝90°，根据tan∠APC＝tan∠ECD，即可解决问题；
【解答】解：如图取格点E，连接EC、DE．设小菱形的边长为1．
由题意：EC∥AB，
∴∠APC＝∠ECD，
∵∠CDO＝60°，∠EDB＝30°，
∴∠CDE＝90°，
∵CD＝2，DE＝，
∴tan∠APC＝tan∠ECD＝＝，
故答案为．
15．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，﹣3）AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，则经过点D的“蛋圆”的切线的解析式为　y＝﹣2x﹣3　．
【分析】根据圆心坐标及圆的半径，结合图形，可得点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0），利用待定系数法确定抛物线解析式，因为经过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为y＝kx﹣3，因为相切，所以它们的交点只有一个，进而可根据一元二次方程的有关知识解决问题．
【解答】解：∵AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵抛物线过点A、B，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
又∵抛物线过点D（0，﹣3），
∴﹣3＝a?1?（﹣3），即a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∵经过点D的“蛋圆”切线过D（0，﹣3）点，
∴设它的解析式为y＝kx﹣3，
又∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝kx﹣3相切，
∴x2﹣2x﹣3＝kx﹣3，即x2﹣（2+k）x＝0只有一个解，
∴△＝（2+k）2﹣4×0＝0，
解得：k＝﹣2，
即经过点D的“蛋圆”切线的解析式为y＝﹣2x﹣3．
故答案为：y＝﹣2x﹣3．
16．图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等．如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形，其面积为8+4，则图3中线段AB的长为　+1　．
【分析】根据题中信息可得图2、图3面积相等；图2可分割为一个正方形和四个小三角形；设原八角形边长为a，则图2正方形边长为2a+a、面积为（2a+a）2，四个小三角形面积和为2a2，解得a＝1．AB就知道等于多少了．
【解答】解：设原八角形边长为a，则图2正方形边长为2a+a、面积为（2a+a）2，四个小三角形面积和为2a2，
列式得（2a+a）2+2a2＝8+4，解得a＝1，则AB＝1+．
故答案为：+1
三．解答题
17．（1）计算：20120+﹣4×sin60°．
（2）求代数式的值：÷+（x+2），其中x＝．
【分析】（1）先根据零指数幂，算术平方根和特殊角的三角函数值进行计算，再求出答案即可；
（2）先把除法变成乘法，算乘法，算加法，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）20120+﹣4×sin60°
＝1+2﹣4×
＝1+2﹣2
＝1；
（2）÷+（x+2）
＝?+（x+2）
＝+x+2
＝x+，
当x＝时，原式＝+＝3．
18．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？
（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
【分析】根据sin30°＝，求出CM的长，根据sin60°＝，求出BF的长，得出CE的长，即可得出CE的长．
【解答】解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA，
∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，
∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，
∴sin30°＝＝，
∴CM＝15cm，
在直角三角形ABF中，sin60°＝，
∴＝，
解得：BF＝20，
又∠ADC＝∠BMD＝∠BFD＝90°，
∴四边形BFDM为矩形，
∴MD＝BF，
∴CE＝CM+MD+DE＝CM+BF+ED＝15+20+2≈51.6cm．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．
19．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移3个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并求出点P的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
（3）如图，作点A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2交x轴于点P，点P即为所求作．求出直线A′C2的解析式即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
（3）如图，作点A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2交x轴于点P，点P即为所求作．
∵A′（2，﹣1），C2（3，2），
设直线A′C2的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线A′C2的解析式为y＝3x﹣7，
令y＝0，解得x＝，
∴P（，0）．
20．为了进一步了解八年级500名学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班50名学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下所示：
组别 次数x 频数（人数）
第l组 80≤x＜100 6
第2组 100≤x＜120 8
第3组 120≤x＜140 a
第4组 140≤x＜160 18
第5组 160≤x＜180 6
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的a＝　12　，次数在140≤x＜160这组的频率为　0.36　；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第　3　组；
（4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x＜120不合格；x≥120为合格，则这个年级合格的学生有　360　人．
【分析】（1）本题需先根据表中所给的数据以及频数与频率之间的关系即可求出答案．
（2）本题需根据频数分布表中的数据即可将直方图补充完整．
（3）本题需先根据表中所给的数据即可得出这个样本数据的中位数落在那个组中．
（4）本题需先根据频数与频率之间的关系，再根据所了解的学生数即可求出答案．
【解答】解：（1）a＝50﹣（6+8+18+6）
＝12；
18÷50＝0.36；
（2）
（3）根据表中所给的数据得：这个样本数据的中位数落在第3组；
（4）根据题意得：
500×＝360（人）
所以这个年级合格的学生有360人．
21．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE＝∠DEM＝90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．
（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∵∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠DAE．
∴DO∥MN．
∵DE⊥MN，
∴∠ODE＝∠DEM＝90°．
即OD⊥DE．
∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，
∴．
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠AED＝90°．
∵∠CAD＝∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．
∴．
∴．
则AC＝15（cm）．
∴⊙O的半径是7.5cm．
22．某厂家生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元），销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的实际意义．
（2）求线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式．
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为140kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为40元；
（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（3）先求出销售价y2与产量x之间的函数关系，利用：总利润＝每千克利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．
【解答】解：（1）点D的实际意义：当产量为140kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为40元．
（2）设线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式为y2＝k1x+b1，
∵点（0，124），（140，40）在函数y2＝k1x+b1的图象上
∴，解得：，
∴y2与x之间的函数表达式为y2＝﹣x+124（0≤x≤140）；
（3）设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝k2x+b2，
∵点（0，60），（100，40）在函数y1＝k2x+b2的图象上
∴，解得：，
∴y1与x之间的函数表达式为y1＝﹣x+60（0≤x≤100）
设产量为x千克时，获得的利润为W元
①当0≤x≤100时，W＝[（﹣x+124）﹣（﹣x+60）]x＝﹣（x﹣80）2+2560，
∴当x＝80时，W的值最大，最大值为2560元．
②当100≤x≤140时，W＝[（﹣x+124）﹣40]x＝﹣（x﹣70）2+2940
由﹣＜0知，当x≥70时，W随x的增大而减小
∴当x＝100时，W的值最大，最大值为2400元．
∵2560＞2400，
∴当该产品的质量为80kg时，获得的利润最大，最大利润为2560元．
23．我们把三角形的一条高线关于与其共顶点的内角平分线的对称线段所在直线叫做该三角形的倍角高线．
（1）如图1，AD，AF分别为△ABC的高线和角平分线，若AE为△ABC的倍角高线．
①根据定义可得∠DAF＝　∠EAF　，∠CAD＝　∠BAE　（填写图中某个角）；
②若∠BAC＝90°，求证：△ABE为等腰三角形．
（2）如图2，在钝角△ABC中，∠ACB为钝角，∠ABC＝45°，若AD，AF分别为△ABC的高线和角平分线，倍角高线AE交直线BC于点E，若tan∠ACD＝3，BE＝2，求线段AE的长．
（3）在△ABC中，若AB＝2，∠ABC＝30°，倍角高线AE交直线BC于点E，当△ABE为等腰三角形，且AE≠AB时，求线段BC的长．
【分析】（1）①根据“三角形的倍角高线”的概念填空；
②欲证明△ABE为等腰三角形，只需推知∠B＝∠BAE即可；
（2）如图2，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，由（1）易得∠CAD＝∠EAG，∠BAD＝∠EBG＝45°，令EG＝x．根据tan∠ACD＝3，易得BG＝x，AG＝3x，故AE＝x，结合BE＝x＝2，故AE＝．
（3）需要分类讨论：情况一：∠BAC＝90°；情况二：180°＞∠BAC＞90°；情况三：0＜∠BAC＜90°，根据“三角形的倍角高线”的概念、勾股定理，借助于方程进行解答．
【解答】解：（1）如图1，∵AD，AF分别为△ABC的高线和角平分线，AE为△ABC的倍角高线，
∴∠DAF＝∠EAF，∠BAF＝∠CAF，
∴∠BAF﹣∠BAE＝∠CAF﹣∠CAD，
∴∠CAD＝∠BAE．
故答案是：∠EAF，∠BAE；
②∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝∠BAD+∠CAD，即∠B＝∠CAD．
又∵AF平分∠BAC，∠DAF＝∠FAE，
∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAF﹣∠DAF，即∠BAE＝∠CAD，
∴∠B＝∠BAE
∴EB＝EA，即△ABE为等腰三角形．
（2）如图2，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，
由（1）易得∠CAD＝∠EAG，∠BAD＝∠EBG＝45°，
∴∠AEG＝∠ACD．
令EG＝x
∵tan∠ACD＝3，
∴tan∠ACD＝tan∠AEG＝＝3，
∴易得BG＝x，AG＝3x，
∴由勾股定理得到AE＝＝x，
又∵BE＝x＝2，
∴AE＝．
（3）情况一：EA＝EB，∠B＝∠EAB＝30°，
∵AE为三角形的倍角高线，
∴作AD⊥BC，可得∠BAE＝∠CAD＝30°
∴∠C＝60°，∠BAC＝90°，
∵AB＝2，
∴BC＝
情况二：BA＝BE，∠BAE＝∠BEA＝75°，
作AD⊥BC，
∵AE为△ABC的倍角高线，
∴∠BAE＝∠CAD＝75°，
∴∠ACB＝15°，
过C作AB的垂线交BA的延长线于点F
∴∠CAF＝45°，
设AF＝CF＝x，则BF＝，
∴BC＝
情况三：BA＝BE，∠BAE＝∠BEA＝15°，作AD⊥BC，
∵AE为△ABC的倍角高线，
∴∠BAE＝∠CAD＝15°，
∴∠BAC＝45°，设CF＝AF＝x，
∵∠ABC＝30°，
∴BF＝
∴，
∴BC＝
综上所述：BC为，，．
24．如图，矩形ABCD中，AD＝10，CD＝15，E是边CD上一点，且DE＝5，P是射线AD上一动点，过A，P，E三点的⊙O交直线AB于点F，连接PE，EF，PF，设AP＝x．
（1）当x＝5时，求AF的长．
（2）在点P的整个运动过程中．
①tan∠PFE的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围；
②当矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上时，求x的值．
（3）若点A，H关于点O成中心对称，连接EH，CH．当△CEH是等腰三角形时，求出所有符合条件的x的值．（直接写出答案即可）
【分析】（1）如图1中，连接AE．由△ADE∽△FEP，推出＝，求出PF，再利用勾股定理即可解决问题；
（2）①由圆周角定理可知，∠PFE＝∠DAE，推出tan∠PFE＝tan∠DAF＝即可解决问题；
②分三种情形画出图形分别求解即可解决问题；
（3）分四种情形画出图形分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，连接AE．
在Rt△DPE中，∵DE＝5，DP＝AD﹣AP＝5，
∴PE＝5，
在Rt△ADE中，AE＝＝5，
∵∠PAF＝90°，
∴PF是⊙O的直径，
∴∠PEF＝∠ADE＝90°，
∵∠DAE＝∠PFE，
∴△ADE∽△FEP，
∴＝，
∴＝，
∴PF＝5，
在Rt△PAF中，AF＝＝15；
（2）①tan∠PFE的值不变．
理由：如图1中，∵∠PFE＝∠DAE，
∴tan∠PFE＝tan∠DAF＝＝；
②如图2中，当⊙O经过A、D时，点P与D重合，此时m＝10．
如图3中，当⊙O经过A、B时，
在Rt△BCE中，BE＝＝10，
∵tan∠PFE＝，
∴PE＝5，
∴PD＝＝5，
∴x＝PA＝5．
如图4中当⊙O经过AC时，作FM⊥DC交DC的延长线于M．
根据对称性可知，DE＝CM＝BF＝5，
在Rt△EFM中，EF＝＝5，
∴PE＝EF＝，
∴PD＝＝，
∴x＝AD﹣PD＝，
综上所述，x＝10或5或时，矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上
（3）如图5中，当EC＝CH＝10时，作HI⊥CD交DC的延长线于I．
∵△PDE∽△EIF，
∴＝，
∴EI＝20﹣2x，
∴CI＝20﹣2x﹣10＝10﹣2x，
在Rt△CIH中，102＝（10﹣2x）2+（10﹣x）2，
解得x＝2或10（舍弃）．
如图6中当EC＝EH＝10时，
在Rt△AEH中，AH＝＝＝15，
易知PF＝AH＝15，
∵PE：EF：PF＝1：2：，
∴PE＝3，
在Rt△PDE中，DP＝＝2，
∴x＝PA＝AD﹣PD＝10﹣2；
如图7中当HC＝HE时，延长FH交CD于M，则EM＝CM＝BF＝5，
∵△PDE∽△EMF，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝，
∴x＝10﹣＝
如图8中，当EH＝EC时，连接FH，PH，延长CD交FH于M．
∵△PDE∽△EMF，
∴＝，
∴＝，
∴EM＝2x﹣20，
在Rt△EHM中，102＝（x﹣10）2+（20﹣2x）2
解得：x＝10+2或10﹣2（舍弃），
综上所述，满足条件的x的值为2或10﹣2或或10+2．