2020-2021学年九年级数学人教版下册 27.2.1 课时3 用两角相等判定三角形相似（27张）

第二十七章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
课时3 用两角相等判定三角形相似
目
录
CONTENTS
1 学习目标
2 新课导入
3 新课讲解
4 课堂小结
5 当堂小练
6 拓展与延伸
1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计 算. (重点、难点)
3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行 相关计算.（重点、难点）
学习目标
新课导入
情景导入
学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？
？
？
？
新课讲解
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
合作探究
问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？
C
A
B
A'
B'
C'
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题：
这两个三角形是相似的
新课讲解
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上，
截取 A′D=AB，过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E，则有△A′DE ∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′.
∵∠B=∠B′，
∴∠A′DE=∠B.
又∵ A′D=AB，∠A=∠A′，
∴△A′DE ≌△ABC，
∴△ABC∽△A′B′C′ .
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
问题二 试证明△ABC∽△A′B′C′.
新课讲解
结论
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
C
A
B
A'
B'
C'
新课讲解
例
典例分析
如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °．求证：△ABC ∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °.
∵ 在△DEF中，∠E=80 °，∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
　 ∴ △ABC ∽△DEF.
新课讲解
练一练
如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD.
证明:连接AC，DB.
∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，
∴ ∠A= _______，
同理 ∠C= _______，
∴ △PAC ∽ △PDB，
∴______ 即PA ·PB = PC · PD.
∠D
∠B
O
D
C
B
A
P
新课讲解
典例分析
如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B
=75°，∠A' = 50°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'.
C
A
B
B'
C'
A'
55°
新课讲解
知识点2 判定两个直角三角形相似
∴
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° .
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
D
A
B
C
E
∴
新课讲解
结论
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
思考
新课讲解
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，
∠C′=90°， .
求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
要证明两个三角形相似，即是需要
证明什么呢？
目标：
新课讲解
证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
由 ，得


∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿.
∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
勾股定理
∴
C
A
A'
B
B'
C'
新课讲解
结论
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
新课讲解
典例分析
如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
C
A
B
D
【分析】
观察得到AB和AC分别是斜边，
但两条直角边的对应关系并没有确定，
因此需要分类讨论
新课讲解
典例分析
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝
AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3；
∴
C
A
B
D
2
新课讲解
典例分析
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ．
∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
C
A
B
D
2
新课讲解
练一练
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A=35°，∠B′=55°： ；
(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；
(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
相似
相似
相似
课堂小结
两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
直角三角形相似的判定
C
A
B
A'
B'
C'
当堂小练
1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有（ ）
A. 1对 　　B. 2对
C. 3对 　　D. 4对
C
当堂小练
2. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD :
DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( )
A.
B.
C.
D.
A
C
A
B
D
E
当堂小练
A
B
D
C
3. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或
∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC；
ACD

ACB
B
ADC
当堂小练
4. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于D. 若 AB=6，AD=2，则 BD= ，AC= ，BC= .
18
D
B
C
A
拓展与延伸
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴
5. 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．
求证：
D
C
A
B
E
F
拓展与延伸
证明：
∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，
∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，
∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，
∠E=180°－∠3－∠AOE，
∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.∴ △ABC∽△ADE.
6. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
A
B
C
D
E
1
3
2
O
THANKS