2020-2021学年九年级数学人教版下册课件： 27.2.1 课时1 相似三角形及平行线分线段成比例（38张）

第二十七章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
课时1 相似三角形及平行线分线段成比例
目
录
CONTENTS
1 学习目标
2 新课导入
3 新课讲解
4 课堂小结
5 当堂小练
6 拓展与延伸
1.理解相似三角形的概念.
2.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明.（重点、难点）
3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.（重点、难点）
学习目标
新课导入
情景导入
判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法(SSS，SAS，ASA，AAS).
类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
新课讲解
知识点1 相似三角形
我们就说△ABC与△A′B′C′______，记作__________________，△ABC与△A′B′C′ 相似比是k，则△A′B′C′与△ABC的相似比是____.
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′,∠C=∠C′,
△ABC∽△A′B′C′
相似
新课讲解
反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=_____,∠B=_____,∠C=____,
且
∠A′
∠B′
∠C′
相似比为1时，相似的
两个图形有什么关系？
新课讲解
当相似比等于1时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.
新课讲解
例
典例分析
△ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由．
解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°.
因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°.
所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.
新课讲解
∴ △ABC∽△DFE.
新课讲解
判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上．
方法总结
新课讲解
典例分析
例2 如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝58cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求：
(1)∠AED和∠ADE的度数；
(2)DE的长．
解：(1)∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠ACB＝40°.
在△ADE中，∠ADE＝180°－40°－45°＝95°；
(2) ∵△ABC∽△DFE.
∴DE＝36.25(cm).
新课讲解
当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段．
方法总结
新课讲解
知识点2 平行线分线段成比例
合作探究
如图①，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
图①
新课讲解
(1) 计算 ，你有什么发现？
(3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？
(2) 将 b 向下平移到如图②的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？
新课讲解
若a∥b∥ c 则 ， ，
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
a
结论
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
新课讲解
典例分析
如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( )
A. B.
C. D.
D
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
新课讲解
知识点3 平行线分线段成比例定理的推论
观察与思考
如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
m
n
a
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
新课讲解
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
( )
新课讲解
直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
( )
新课讲解
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
归纳
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
新课讲解
例
典例分析
如图，DE∥BC， ，则 ；
FG∥BC， ，则 .
A
B
C
E
D
F
G
新课讲解
例
典例分析
如图，在△ABC中，
求证：
A
B
C
E
F
证明
新课讲解
知识点4 利用平行线判定两个三角形相似的定理
观察与思考
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.
B
C
A
D
E
△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗？
分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？
新课讲解
B
C
A
D
E
△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？
通过度量，我发现△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
新课讲解
B
C
A
D
E
要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC ，我们需要证明什么？
新课讲解
而除 DE 外，其他的线段都在△ABC 的边上，要想利用前面得到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？
B
C
A
D
E
由前面的结论可得
，需要证明的是 ，
由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？
可以将 DE 平移到BC 边上去
新课讲解
证明：在 △ADE 与 △ABC 中，∠A=∠A.
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
如图，过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F.
C
A
B
D
E
F
用相似的定义证明：△ADE∽△ABC.
∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴
∵ 四边形DFCE为平行四边形，
∴ DE=FC，
∴△ADE∽△ABC.
∴
新课讲解
结论
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC.
定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
新课讲解
三角形相似的两种常见类型：
“X ” 型
D
E
A
B
C
“A ”型
A
B
C
D
E
新课讲解
例
典例分析
如图，AB//EF//DC，AD//BC，EF 与 AC 交于点 G，则图中的相似三角形共有( )
A.3对
B.5对
C.6对
D.8对
C
D
A
B
E
F
G
解析：△AEG ∽△ADC ∽△CFG ∽△CBA.
C
课堂小结
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例
平行线分线段成比例
基本事实
推论
判定三角形相似
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
当堂小练
1.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____
A
B
C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1：4
当堂小练
2. 如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm，AF = 4 cm，
求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
B
C
A
D
E
F
∴CD∥AB，
∴
设菱形的边长为 x cm，则
CD = AD = x cm，DF = (4－x) cm，
∴ 解得 x = ∴菱形的边长为 cm.
当堂小练
3.如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_____.
4.若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′= 4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是____ .
5.若△ABC的三条边长分别为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△ A′B′C′的最大边长是_____.
全等
4︰3
24cm
当堂小练
6.已知△ABC的三条边长3cm,4cm,5cm,△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的形状是__________，又知△A1B1C1的最大边长为25cm，那么△A1B1C1的面积为________.
直角三角形
150cm2
7.若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠ C′的度数是（ ）
A.55° B.100° C.25° D.不能确定
C
拓展与延伸
5.如图，AB=AC，AD⊥BC于点D,M是AD的中点，CM交AB于点P,DN ∥CP.
（1）若AB=6cm，求AP的长；
（2）若PM=1cm,求PC的长.
解：(1)∵AB=AC，AD⊥BC于点D,M是AD的,
∴DB=DC,AM=MD.

∵DN ∥CP,
又∵AB=6cm，∴AP=2cm.
拓展与延伸
（2）若PM=1cm,求PC的长.
∵DN ∥CP,
又∵PM=1cm，
∴PC=2ND=4PM=4cm.
解：由（1）知AP=PN=NB,
THANKS