2020-2021学年九年级数学人教版下册 26.1.2 课时2 反比例函数的图象与性质的综合应用（30张）

第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图像与性质
课时2 反比例函数的图象与性质的综合应用
目
录
CONTENTS
1 学习目标
2 新课导入
3 新课讲解
4 课堂小结
5 当堂小练
6 拓展与延伸
1.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、难点)
2.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算.（重点）
3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. (重点、难点)
学习目标
新课导入
知识回顾
上节课我们已经学习了反比例函数的图象和性质，本节课我们将尝试熟练地运用反比例函数的图象和性质解决一些复杂的问题，同学们有信心吗？
新课讲解
知识点1 反比例函数图象和性质的综合
已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，
所以这个函数的图象位于第一、第三象限，
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
例
新课讲解
(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.

因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为 .
新课讲解
结论
判断点是否在反比例函数图象上的两种方法
(1)将点的横坐标作为x的值代入解析式，计算出y的值， 看点的纵坐标是否与所求出的y值相等；
(2)看点的横、纵坐标之积是否等于反比例函数 的比例系数k.
新课讲解
例4 如图，它是反比例函数 y=?????5x 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的
取值范围是什么？
?
解：反比例函数的图象只有两种可能：
位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.
因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. m－5＞0，解得 m＞5.
新课讲解
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A(x1，y1) 和点 B(x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，
所以在这个函数图象的任一支上，
y 都随 x 的增大而减小，
因此当 x1＞x2 时，y1＜y2.
新课讲解
比较反比例函数值大小的方法
1.在同一分支上的点可以利用函数的增减性通过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小；
2.不在同一分支上的点，依据与 x 轴的相对位置(在 x 轴上方或 x 轴下方)来进行函数值大小的比较.
3.另外，图象法和特殊值法也是解决此类问题的常用方法，图象法形象直观，特殊值法简单直接.
新课讲解
练一练
1.已知反比例函数 ????=10???? ，当 1A. 0C. 510
?
C
在第一象限内，y 随 x 的增大而减小
y=10
y=5
反比例函数 ????=???????????? (1?
新课讲解
练一练
2.在反比例函数 ????=???????? (k<0)的图象上有三点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，若 x1A.y1C.y3?
B
解析：因为 k<0，所以反比例函数的图象在第二、第四象限，如图所示，在图中描出符合条件的三个点，观察图象可知 y3新课讲解
知识点2 反比例函数解析式中 k 的几何意义
1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
P (2，2)
Q (4，1)
新课讲解
5
1
2
3
4
-1
5
x
y
O
P
S1
S2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
-5
-4
-3
1
4
3
2
-3
-2
-4
-5
-1
Q
-2
新课讲解
若在反比例函数 ????=?4???? 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
P (-1，4)
Q (-2，2)
新课讲解
1
2
3
4
y
x
O
P
Q
S1
S2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
P (-1，4)
Q (-2，2)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
2
1
-2
-1
-1
-2
3
4
新课讲解
归纳
由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.
新课讲解
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b)
A
B
∵点 P (a，b) 在函数 的图
象上，
∴ ，即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA
=a· (－b)=－ab=－k.
B
P
A
综上，S矩形 AOBP=|k|.
新课讲解
归纳
点 Q 是其图象上的任意一
点，作 QA 垂直于 y 轴，作
QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ
的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= .
推理：△QAO与△QBO的
面积和 k 的关系是
S△QAO=S△QBO= .
Q
对于反比例函数 ，
A
B
|k|
y
x
O
反比例函数的面积不变性
新课讲解
例
典例分析
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA1. 如图，在函数 (x＞0)的图像上有三点A，B ， C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则 ( )
y
x
O
A
B
C
C
新课讲解
例
提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0.
2. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作
PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .
－12
y
x
O
P
A
课堂小结
反比例函数
图象
性质
k 的几何意义
画法
形状
图象位置
增减性
列表、描点、连线
双曲线
当堂小练
1. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 .
或
2.如图，P，C是函数 (x>0) 图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的垂线 CD，垂足为 D，连接 OC交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1= ；梯形CEAD的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
2
S1
＞
＝
S3
S1
S2
S3
当堂小练
3.如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，
S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3
F
S1
S2
S3
当堂小练
y
D
B
A
C
x
4. 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___.
3
2
5
拓展与延伸
3.如图，已知 A(-4，2)，B(n，-4)两点是一次函数 y=kx+b 和反比例函数 ????=???????? 图象的两个交点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
?
解：(1)把 A(-4，2)代入 y= ????????，得 m=2×(-4)=-8，
所以反比例函数的解析式为 ????=?8???? .
把 B(n，-4)代入????=?8???? ，得 -4n=-8，解得 n=2.
把 A(-4，2)和 B(2，-4)代入 y=kx+b，得 ?4????+????=2,2????+????=?4,
解得 ????=?1,????=?2, 所以一次函数的解析式为 y = -x-2.
?
本题源于《教材帮》
拓展与延伸
(2)求△AOB 的面积；
解：(2) y = -x-2中，令 y=0，则 x=-2，
即直线 y = -x-2与 x 轴交于点 C(-2，0)，
所以 S△AOB=S△AOC+S△BOC= 12×2×2+12×2×4 =6.
?
拓展与延伸
解：(3)不等式 ????????+?????????????>0 的解集,
即不等式 ????????+????>???????? 的解集，
即一次函数图象在反比例函数图象上方的部分所对应的 x 的取值范围.
由图可得，不等式 ????????+?????????????>0 的解集为 x<-4或 0?
(3)观察图象，直接写出不等式 ????????+?????????????>0 的解集.
?
拓展与延伸
已知一次函数和反比例函数值的大小关系，根据图象确定自变量取值范围的方法
(1)定点：确定两个函数图象的交点坐标；
(2)选段：当横坐标一致时，函数图象在上方的函数值大于函数图象在下方的函数值；
(3)确定范围：根据选段确定自变量的取值范围，要特别注意反比例函数中自变量不能为0.
THANKS