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八年级数学
18.2.3
正方形
课时训练
一、选择题
1.
如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )
A.
B.
2
C.
＋1
D.
2＋1
2.
（2020·滨州）下列命题是假命题的是（
）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
3.
如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
4.
如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH.下列结论：
①EG＝DF；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
5.
如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为
A．
B．
C．
D．
6.
如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )
A.
2
B.
C.
D.
1
二、填空题
7.
正方形有
条对称轴．
8.
如图，已知是正方形内的一点，且为等边三角形，那么
9.
如图，在正方形中，为边的中点，，分别为，边上的点，若，，，则的长为
．
10.
如图，正方形的边长为，以为圆心，长为半径画弧交对角线于点，连接，是上任意一点，于，于，则的值为
11.
如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．
12.
将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
13.
若正方形的边长为，为边上一点，，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则的长为
．
14.
如图，在线段上，和都是正方形，面积分别为和，则的面积为
三、解答题
15.
如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
⑴
求证：四边形是菱形；
⑵
若，求证：四边形是正方形．
16.
如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．
(1)求证：BE=AF；
(2)若AB=4，DE=1，求AG的长．
17.
已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.
(1)求证：AP＝BQ;
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．
18.
已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．
⑴
求证：四边形为矩形；
⑵
当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．
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18.2.3
正方形
课时训练-答案
一、选择题
1.
【答案】B 【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC＝CD＝1，∵E、F是边的中点，∴CE＝CF＝，∴EF＝＝，则正方形EFGH的周长为4×＝2.
2.
【答案】D
【解析】本题考查了正方形的判定，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形是真命题，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，因此本题选D．
3.
【答案】B 【解析】设CH＝x，∵BE∶EC＝2∶1，BC＝9，∴EC＝3，由折叠可知，EH＝DH＝9－x，在Rt△ECH中，由勾股定理得：(9－x)2＝32＋x2，解得：x＝4.
4.
【答案】D 【解析】逐项分析如下表：
序号
逐项分析
正误
①
在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，∵EF∥AD，∴四边形EFDA、四边形EFCB是矩形，∴∠EFC＝∠ADC＝90°，EF＝DC，在Rt△CGF中，∠ACD＝45°，∴GF＝CF，∴EF－GF＝CD－CF，即EG＝DF
√
②
∵△GFC是等腰直角三角形，H是CG的中点，∴GH＝FH，∠HGF＝∠GFH＝45°，∴∠EGH＝∠DFH＝135°，又由①知EG＝DF，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠HEF＝∠FDH，∵∠AEH＝∠AEF＋∠HEF＝90°＋∠HEF，∠ADH＝∠ADC－∠FDH＝90°－∠FDH，∴∠AEH＋∠ADH＝180°
√
③
由②可知EH＝DH，FH＝CH，又∵EF＝DC，∴△EHF≌△DHC(SSS)
√
④
∵△EGH≌△DFH，∴EH＝DH，∠EHG＝∠DHF，∴∠EHG＋∠AHD＝∠DHF＋∠AHD＝90°，即∠EHD＝∠AHF＝90°，∴△EHD为等腰直角三角形，∵＝，∴设AE＝2x，AB＝3x，则DE＝＝x，∴EH＝DH＝×x＝x，∴S△EDH＝EH2＝×x2＝x2.
在△DHC中，设CD边上的高为h，则h＝CF＝，则S△DHC＝CD·h＝×3x×＝x2，＝＝，即3S△EDH＝13S△DHC
√
5.
【答案】A
【解析】正方形ABCD中，∵BC=4，
∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°，
∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，
在△BCE和△CDF中，，
∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°=∠CGE，
cos∠CBE=cos∠ECG=，
∴，CG=，∴GF=CF﹣CG=5﹣=，
故选A．
6.
【答案】B 【解析】∵AB＝2，∴BF＝2，又∵BM＝BC＝1，由勾股定理得FM＝＝.
二、填空题
7.
【答案】
8.
【答案】
9.
【答案】
10.
【答案】
【解析】作于，则，又，所以可知最终值为
11.
【答案】 【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°，∵AM⊥BE，∠AFO＝∠BFM，∴∠FAO＝∠EBO，在△AFO和△BEO中，，∴△AFO≌△BEO(ASA)，∴FO＝EO，∵正方形ABCD的边长为2，E是OC的中点，∴FO＝EO＝1＝BF，BO＝2，∴在Rt△BOE中，BE＝＝，由∠FBM＝∠EBO，∠FMB＝∠EOB，可得△BFM∽△BEO，∴＝，即＝，∴FM＝.
12.
【答案】
13.
【答案】（如图1）或（如图2）．
14.
【答案】
【解析】过作交延长线于，
三、解答题
15.
【答案】
⑴
∵四边形是平行四边形，∴．
又∵是等边三角形，∴，即．
∴平行四边形是菱形．
⑵
∵是等边三角形，∴．
∵，∴．
∵，∴．∴．
四边形是菱形，∴
∴四边形是正方形．
16.
【答案】
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，
∵DE=CF，∴AE=DF，
在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF(SAS)，
∴BE=AF；
(2)解：由(1)得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA=∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠AGE=90°，
∵AB=4，DE=1，
∴AE=3，
∴BE===5，
在Rt△ABE中，AB×AE=BE×AG，
∴AG==．
17.
【答案】
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD,
∠BAQ＋∠DAP＝90°＝∠DAB，
∵DP⊥AQ，
∴∠DAP＋∠ADP＝90°，
∴∠BAQ＝∠ADP.
在△DAP和△ABQ中，
，(2分)
∴△DAP≌△ABQ(AAS)，
∴AP＝BQ.(4分)
(2)解：①AQ和AP；(5分)
②DP和AP；(6分)
③AQ和BQ；(7分)
④DP和BQ.(8分)
【解法提示】①由题图直接得：AQ－AP＝PQ；
②∵△ABQ≌△DAP，
∴AQ＝DP，
∴DP－AP＝
AQ－AP＝PQ；
③∵△ABQ≌△DAP，
∴BQ＝AP，
∴AQ－BQ＝AQ－AP＝PQ；
④∵△ABQ≌△DAP，
∴DP＝AQ，BQ＝AP，
∴DP－BQ＝AQ－AP＝PQ.
18.
【答案】
⑴
证明：在中，，
∴
∵是外角的平分线
∴
∴
又∵，
∴
∴四边形为矩形．
⑵
例如，当时，四边形是正方形
证明：∵，于
∴
又，
由⑴四边形为矩形
∴矩形是正方形．人教版
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18.2.2
菱形
课时训练
一、选择题
1.
如图,若要使?ABCD成为菱形,则可添加的条件是
( )
A.AB=CD
B.AD=BC
C.AB=BC
D.AC=BD
2.
（2020·南通）
下列条件中，能判定□ABCD是菱形的是
A．AC＝BD
B．AB⊥BC
C．AD＝BD
D．AC⊥BD
3.
（2020·绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
4.
如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是
( )
A.矩形
B.菱形
C.一般的四边形
D.平行四边形
5.
（2020·遵义）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（
）
A．
B．
C．
4
D．
6.
（2020·牡丹江）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为
（
）
A．或
B．
C．
D．或
二、填空题
7.
菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为
8.
菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为
．
9.
如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离，则
度．
10.
顺次连接四边形ABCD各边中点形成一个菱形,则原四边形对角线AC,BD的关系是 .?
11.
如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的面积是________．
12.
如图，菱形ABCD的面积为120
cm2，正方形AECF的面积为50
cm2，则菱形的边长为________cm.
三、解答题
13.
如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为AD．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．
14.
如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F.
(1)求证：△AEC≌△ADB；
(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
15.
已知：如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．
16.
如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分
17.
如图所示，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接．
⑴
求证：四边形是菱形；
⑵
连接并延长交于连接，请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？
18.
如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.
(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．
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18.2.2
菱形
课时训练-答案
一、选择题
1.
【答案】C
2.
【答案】D
【解析】根据菱形的定义和判断定理判断．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判断定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．只有D能够判断出四边形ABCD是菱形．故选D．
3.
【答案】B
【解析】本题考查了特殊四边形的判定．当点E从点A出发沿AB向点B运动时，四边形AECF的形状依次如下图所示．因此本题选B．
4.
【答案】B
5.
【答案】D
【解析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，勾股定理的应用．在菱形ABCD中，AB＝5，AO＝AC＝3，AC⊥BD，∴BO＝＝4，BD＝8．∴5DE＝AC·BD＝24，解得DE＝．故选D.
6.
【答案】D
【解析】菱形OABC中，点A的坐标为（2，2)，所以OA=4，∠A=∠C=60°，分类讨论，
①若顺时针旋转，旋转后的图形如图1所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C对应点的坐标为（-2，-2)；
②若逆时针旋转，旋转后的图形如图2所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C对应点的坐标为（2，2).
二、填空题
7.
【答案】
【解析】根据菱形的性质可知：共有对
8.
【答案】
【解析】菱形的边长为，由勾股数和菱形对角线的性质得另一对角线长为，故面积为
9.
【答案】
【解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形
10.
【答案】AC=BD
11.
【答案】24 【解析】如解图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA＝4，在Rt△AOB中，由勾股定理得OB＝3，∴BD＝6，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×8×6＝24.
解图
12.
【答案】13 【解析】如解图，连接AC、BD交于O，则有AC·BD＝120，∴AC·BD＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA·2OB＝240，∴
OA·OB＝60，∵AE2＝50,
OA2＋OE2＝
AE2，OA＝OE，∴OA＝5，∴OB＝12，∴AB＝＝＝13.
解图
三、解答题
13.
【答案】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE(SAS)，
∴∠1=∠2．
14.
【答案】
(1)证明：∵△ADE是由△ABC绕点A沿顺时针方向旋转而得，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAC＝∠DAE，(1分)
∵AB＝AC，
∴AD＝AB＝AE＝AC，∠EAC＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中
∵，
∴△AEC≌△ADB(SAS)．(3分)
(2)解：当四边形ADFC是菱形时，AC＝DF，AC∥DF，
∴∠BAC＝∠ABD，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABD＝45°，(5分)
又∵△ADE是由△ABC绕点A沿顺时针方向旋转而得，
∴AD＝AB，
∴∠DAB＝90°，(6分)
又∵AB＝2，
由勾股定理可得：BD＝＝AB＝2，
在菱形ADFC中，DF＝AD＝AB＝2，
∴BF＝BD－DF＝2－2.(8分)
15.
【答案】
当时，四边形是菱形．
∵，
∴四边形是平行四边形
∵中，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴四边形是菱形．
16.
【答案】
连结，因为菱形中，又因为，所以因为，所以四边形是平行四边形，可得，因为，所以，从而，，因此四边形是平行四边形，所以与互相平分
17.
【答案】
⑴
是由绕点旋转得到
∴，
∴是等边三角形
∴
又∵是由沿所在
直线翻转得到
∴，
∴
∴点、、三点共线
∴是等边三角形
∴
∴
∴四边形是菱形．
⑵
四边形是矩形．
由⑴可知：是等边三角形，于
∴，又∵
∴，
∴，∴
∴四边形是平行四边形，而
∴四边形是矩形．
18.
【答案】
解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GFE＝∠FEC，(2分)
∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，
∴∠GEF＝∠FEC，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴GF＝GE，(3分)
∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，
∴GE＝EC＝GF＝FC，
∴四边形CEGF为菱形．(4分)
(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，(5分)
此时CE最小，且CE＝CD＝3；(6分)
如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．(7分)
设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，
即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，
∴CE＝5，
所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.(8分)
解图
BV
OV
CV
AV
x
y
图2
图1
y
x
AV
BV
CV
OV
y
x
AV
BV
CV
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18.2.1
矩形
课时训练
一、选择题
1.
如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是（
）
A．
B．
C．
D．
2.
（2019·上海）下列命题中，假命题是( )
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
3.
关于?ABCD的叙述，正确的是( )
A.
若AB⊥BC，则?ABCD是菱形
B.
若AC⊥BD，则?ABCD是正方形
C.
若AC＝BD，则?ABCD是矩形
D.
若AB＝AD，则?ABCD是正方形
4.
（2020台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出①
B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出②
D．由①推出③，由③推出②
5.
对于任意的矩形，下列说法一定正确的是
A．对角线垂直且相等
B．四边都互相垂直
C．四个角都相等
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
6.
（2020·广州）如图5，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
图5
A．
B．
C．
D．
7.
如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )
A.
△AFD≌△DCE
B.
AF＝AD
C.
AB＝AF
D.
BE＝AD－DF
8.
（2020·深圳）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H．给出以下结论：
①EF⊥BG；②GE＝GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF＝75°．其中正确的结论共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
9.
已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，那么BD＝________．
10.
在矩形中，点为的中点，为上任意一点，交于点，交于点，当满足条件
时，四边形是矩形
11.
如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，
则
12.
如图，在矩形中，，于，若，则
．
13.
如图，把矩形的对角线分成四段，以每一段为对角线作矩形，对应边与原矩形的边平行，设这四个小矩形的周长和为，矩形的周长为，则与的关系式
14.
（2020·菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为_______．
15.
如图，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示，则该主板的周长为
16.
某台球桌为如图所示长方形，小球从沿角出击，恰好经过次碰撞到处，则=
三、解答题
17.
如图，在矩形中，分别是上的点，且.
求证：≌.
18.
如图，是矩形的对角线交点，过点作分别交、于、，若，，求四边形的面积．
19.
如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线AF交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
20.
如图，将矩形沿翻折，使点落在点处，连接、，过点作，垂足为．
⑴判断是什么图形,并加以证明；
⑵若，．求的长；
⑶四边形中，比较与的大小．
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18.2.1
矩形
课时训练-答案
一、选择题
1.
【答案】B
【解析】∵，，∴为等边三角形，
∴
2.
【答案】D
【解析】矩形的对角线的交点到每一组对边的距离相等，故选项D错误，是假命题.
3.
【答案】C 【解析】逐项分析如下表：
选项
逐项分析
正误
A
有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形
×
B
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形
×
C
对角线相等的平行四边形是矩形
√
D
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形
×
4.
【答案】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B，C，D错误，故选：A．
【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．
5.
【答案】C
【解析】A．矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；
B．矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；
C．矩形的四个角都相等，正确；
D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．
故选C．
6.
【答案】C
【解析】本题考查了矩形的性质，由勾股定理可得AC=10，再由矩形的对角线相等且互相平分的性质可得，OA=OD=5.
△ABD的面积为24，OA为△ABD
的中线，由中线等分面积可得，△AOD的面积为12.再由等面积法即可得OE+EF的值．过程如下：
∵
∴
即，∴OE+EF=，因此本题选C．
7.
【答案】B 【解析】逐项分析如下表：
选项
逐项分析
正误
A
∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，∴∠C＝90°＝∠AFD，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CED，∵AD＝DE，∴△AFD≌△DCE(AAS)
√
B
只有当∠ADF＝30°时，才有AF＝AD成立
×
C
由△AFD≌△DCE可知，AF＝DC，∵矩形ABCD中，AB＝DC，∴AB＝AF
√
D
∵△AFD≌△DCE，∴DF＝CE，∴BE＝BC－CE＝AD－DF
√
8.
【答案】C
【解析】由轴对称可知，B、G关于EF对称，EF垂直平分BG，故①正确；又由矩形ABCD知，AD∥BC，∴∠GEF＝∠BFE，连接BE，∠BEF＝∠GEF，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，而BE＝GE，BF＝GF，∴GE＝GF，故②正确；由BE＝GE＝BF＝GF知，四边形BEGF是菱形，∴GK平分∠DGH，而DG＜GH，∴DK≠KH，∴S△GDK≠S△GKH，故③错误；当点F与点C重合时，BF＝BC＝12，∴BE＝12，而AB＝6，∴∠AEB＝30°，∴∠GEF＝＝75°，故④正确；因此本题选C．
二、填空题
9.
【答案】2 【解析】根据“矩形的对角线相等且互相平分”进行解题便可．∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝2OA，∵OA＝1，∴BD＝2.
10.
【答案】
11.
【答案】
12.
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴．
13.
【答案】.
【解析】如图，将四个小矩形的边分别向外平移，正好拼接成矩形的四边，所以
14.
【答案】3
【解析】由于已知BC的长，故可设想在Rt△BCQ中利用勾股定理求解，则需求CQ的长，这可通过求DQ的长得到，结合已知条件BP＝BA＝5，易知DQ＝DP，显然DP可求，思路沟通．
在矩形ABCD中，∠BAD＝90?，AB＝5，AD＝12，∴BD＝＝13，又∵BP＝BA＝5，∴DP＝13－5＝8，∠BAP＝∠BPA．∵AB∥DQ，∴∠BAP＝∠PQD，∴∠PQD＝∠BPA＝∠DPQ，∴DQ＝DP＝8，∴CQ＝8－5＝3．在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3，∴BQ＝＝3．
15.
【答案】
16.
【答案】
【解析】由图形可知：可推出
三、解答题
17.
【答案】
∵四边形是矩形
∴.
在和中，
又∵，
∴≌.
18.
【答案】
【解析】由为矩形可知，
又∵∥，∴
又，∴≌．
故
从而可知为菱形，∴．
又∵，
∴在直角中，由勾股定理有，
解得．故四边形的面积为()
19.
【答案】
(1)证明：∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE.
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
∴△EAF≌△EDC(AAS)，(3分)
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC，
即D是BC的中点．(5分)
(2)解：四边形AFBD是矩形．证明如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．(7分)
∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴四边形AFBD是矩形．(9分)
20.
【答案】
⑴等腰梯形；易证得，，结论易得．
⑵过点作，垂足为．
∵为等腰梯形
∴
∵
∴≌
∴
∵，，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∴
⑶由⑵可知，
∵
∴
∴
∴
∴
A
B
C
D
Q
P
