北师大版八年级数学下册1.4角平分线专项选择训练（二）（Word版，附答案解析）

北师大版八年级数学下册第1章《三角形的证明》
角平分线专项训练（二）
1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F；再分别以E，F为圆心，以大于EF为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；作射线BP，交边AC于点G，若AG＝，则△GBC的面积为（　　）
A．3 B．6 C．2 D．
2．如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连结AB、BC，则四边形OABC的面积为（　　）
A．4cm2 B．2cm2 C．4cm2 D．2cm2
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：
①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠B＝∠ADF，④GD＝GH．
则其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BD与边AC相交于点D，DE⊥BC，垂足为E，若△CDE的周长为6，则△ABC的面积为（　　）
A．36 B．18 C．12 D．9
5．已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若∠MON＝60°，OP＝4，则PQ的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．不能确定
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝6cm，则BC等于（　　）
A．2cm B．3cm C．3cm D．4cm
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝8cm，那么CE＝（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，在Rt△ABC中，其中∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC＝5，AD＝2，则图中长度为的线段有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AC＝10cm，则△DBE的周长为（　　）
A．10 B．15 C．10 D．20
11．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD＝BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
14．已知△ABC，求作一点P，使点P到∠CAB的两边的距离相等，且P到A、B两点的距离也相等．下列确定点P位置的方法正确的是（　　）
A．P为∠CAB、∠CBA两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
C．P为∠CAB的平分线与AB的垂直平分线的交点
D．P为AC、AB两边上的高的交点
15．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△DEB的周长是（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
17．如图所示，AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8，则OM长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
18．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠CBA的邻补角的平分线所在直线交AC的延长线于F，交斜边AB上的高CD的延长线于E，EG∥AC交AB的延长线于G，则下列结论：①CF＝CE；②FB＝AB；③EF是CG的垂直平分线；④△CGE为等边三角形．其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
20．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB，若PC＝8，则PD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案
1．解：作GH⊥BC于H，如图，
由作法得BP平分∠ABC，
∴GA＝GH＝，
∵∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝60°，∠C＝30°，
在Rt△ABG，∵∠ABG＝∠ABC＝30°，
∴AB＝AG＝3，
在Rt△ABC中，BC＝2AB＝6，
∴S△BCG＝×6×＝3．
故选：A．
2．解：由题意可知OB是∠MON的角平分线，
∵∠MON＝60°，
∴∠BON＝30°，
作BD⊥ON于D，
∵OC＝BC＝2，
∴∠BOC＝∠OBC＝30°，
∴∠BCN＝60°，
∴BD＝BC＝，
∴S△BOC＝OC×BD＝＝，
∴四边形OABC的面积＝2S△BOC＝2，
故选：B．
3．解：①∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EDF＝360°﹣∠AED﹣∠AFD﹣∠BAC＝60°，
∴①的结论正确；
②连接BD、CD，如图1，
∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴HB＝HA，GA＝GC，DB＝DA＝DC，
∴∠ABH＝∠BAH，∠ACG＝∠CAG，∠DBA＝∠DAB，∠DCA＝∠DAC，∠DCB＝∠DBC，
∴∠DAH＝∠DBH＝∠DCG＝∠DAG
∴AD平分∠HAG，
∴②的结论正确；
③∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴HB＝HA，GA＝GC，
∴∠HBA＝∠HAB，∠GAC＝∠C，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝∠HAB+∠GAC＝60°，
∴∠HAG＝60°，
∵AD平分∠GAH，
∴∠DAH＝∠DAG＝30°，
∴∠BAH+∠DAF＝90°，
∵∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠BAH＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
∴③的结论正确；
④∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DHG＝∠BHE＝90°﹣∠B，
∠DGH＝∠CGF＝90°﹣∠C，
当AB≠AC时，用∠B≠∠C，
∴∠DHG≠∠DGH，
∴DH≠DG，
∵∠HDG＝60°，
∴△DHG不是等边三角形，
∴GD≠GH，
∴④的结论不正确．
故选：C．
4．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝∠C＝45°，
∴DE＝EC，
∵BD平分∠BAC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴AD＝DE，
设DE＝AD＝CE＝x，
由勾股定理得：DC＝x，
∵△CDE的周长为6，
∴DE+EC+DC＝6，
即x+x+x＝6，
解得：x＝6﹣3，
即AB＝AC＝AD+DC＝6﹣3+（6﹣3）＝3，
∴△ABC的面积为＝＝9，
故选：D．
5．解：作PQ′⊥OM于Q′，
∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，
∴∠POQ′＝30°，
∴PQ′＝OP＝2，
由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，
故选：A．
6．解：在Rt△ADE中，∠A＝30°，
∴DE＝AE＝3，∠ABC＝60°，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CE＝DE＝3，∠EBC＝30°，
在Rt△CBE中，BC＝＝3（cm），
故选：C．
7．解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥AC，
∴ED＝EC，
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，
∴ED＝AE＝×8＝4，
∴CE＝4cm．
故选：C．
8．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．
故选：B．
9．解：∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BC，
∴DE＝DA＝2，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC＝5，BE＝CE，
在Rt△ABD中，AB＝＝；
在Rt△BDE中，BE＝＝；
∴CE＝．
故选：C．
10．解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
∴△DBE的周长＝DE+DC+BD＝DC+DB+BE＝BC+BE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴AB＝AC＝10cm．
∴△DBE的周长＝AE+BE＝AB＝10cm．
故选：C．
11．解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE＝AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF＝∠DCE，
∵∠AOB＝∠COD，（设AC交BD于O），
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵△CDE≌△BDF，
∴∠ABO＝∠DCO，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DAE＝∠CBD，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故选：D．
12．解：
过D作DE⊥AB于E，
∵点D到边AB的距离为6，
∴DE＝6，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝6，
∵CD＝DB，
∴DB＝12，
∴BC＝6+12＝18，
故选：C．
13．解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，∠ADC＝∠ADE，
∴AC+BE＝AE+BE＝AB，故②正确；
AD平分∠CDE，故④正确；
∵∠B+∠BAC＝90°，
∠B+∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，故③正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．
14．解：∵点P到∠CAB的两边的距离相等，
∴点P在∠CAB的平分线上，
∵点P到A、B两点的距离也相等，
∴点P在A线段B的垂直平分线上，
∴P为∠CAB的平分线与AB的垂直平分线的交点．
故选：C．
15．解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
16．解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∴AC＝AE，
∴△DEB的周长＝BD+DE+BE，
＝BD+CD+BE，
＝BC+BE，
＝AC+BE，
＝AE+BE，
＝AB，
∵AB＝8cm，
∴△DEB的周长是8cm．
故选：B．
17．解：∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，
∴OM＝ON＝8，
故选：D．
18．解：∵BF平分∠GBC，
∴∠GBF＝∠CBF，
而∠GBF＝∠EBD，
∴∠CBF＝∠EBD，
∵∠BCA＝90°，CD为高，
∴∠F＝∠BED，
∴CF＝CE，所以①正确
在△EGC中，
EC＝EG，BE平分∠CEG，
∴EB垂直平分GC，所以③正确；
而选项②④由题干条件不能证明得出，所以①③正确；
故选：B．
19．解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，
∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°，
∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，
∴AD＝DP，又AD＝4cm，
∴DP＝4cm．
故选：C．
20．解：作PE⊥OA于E，
∵∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP＝∠AOB＝30°，
∴PE＝PC＝4，
∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD＝PE＝4，
故选：A．