2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明 同步单元练习题（word版含答案）

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章
三角形的证明
同步单元练习题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A组(基础题)
一、填空题
1．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为_____．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝25°，则∠C＝_____．
3．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为_____．
二、选择题
4．如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE，则图中全等三角形共有(
)
A．0对
B．1对
C．2对
D．3对
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED＝(
)
A．120°
B．108°
C．72°
D．36°
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC.按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.
下列说法不一定正确的是(
)
A．∠BDN＝∠CDN
B．∠ADC＝2∠B
C．∠ACD＝∠DCB
D．2∠B＋∠ACD＝90°
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E.若∠CBD∶∠DBA＝2∶1，则∠A＝(
)
A．20°
B．25°
C．22.5°
D．30°
三、解答题
8．(1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
(2)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CF平分∠ACB.
①求∠ACE的度数；
②若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°.求证：△CFD是直角三角形．
9．如图，AB、CD交于点E，AD＝AE，CB＝CE，F，G，H分别是DE，BE，AC的中点．求证：
(1)AF⊥DE；
(2)FH＝GH.
B组(中档题)
四、填空题
10．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是_____．
11．一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为_____．
12．在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝_____．
五、解答题
13．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P.求证：点P在∠C的平分线上．
C组(综合题)
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AB的中点，E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边△DEF，连接BF.
(1)△BCD的形状为_____．
(2)随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？并结合图说明你的理由；
(3)当点F落在边AC上时，若AC＝6，请直接写出DE的长．
参考答案
2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章
三角形的证明
同步单元练习题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A组(基础题)
一、填空题
1．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为34°．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝25°，则∠C＝65°．
3．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为．
二、选择题
4．如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE，则图中全等三角形共有(C)
A．0对
B．1对
C．2对
D．3对
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED＝(B)
A．120°
B．108°
C．72°
D．36°
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC.按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.
下列说法不一定正确的是(C)
A．∠BDN＝∠CDN
B．∠ADC＝2∠B
C．∠ACD＝∠DCB
D．2∠B＋∠ACD＝90°
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E.若∠CBD∶∠DBA＝2∶1，则∠A＝(C)
A．20°
B．25°
C．22.5°
D．30°
三、解答题
8．(1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠CFD＝90°.
∵D为AC的中点，
∴AD＝DC.
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．
∴∠A＝∠C.∴BA＝BC.
∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC是等边三角形
(2)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CF平分∠ACB.
①求∠ACE的度数；
②若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°.求证：△CFD是直角三角形．
解：①在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°－30°－60°＝90°.
又∵CF平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°.
②证明：∵CD⊥AB，∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°－60°＝30°.
又∵∠BCE＝∠ACE＝45°，
∴∠DCF＝∠BCE－∠BCD＝15°.
又∵∠CDF＝75°，
∴∠CFD＝180°－75°－15°＝90°.
∴△CFD是直角三角形．
9．如图，AB、CD交于点E，AD＝AE，CB＝CE，F，G，H分别是DE，BE，AC的中点．求证：
(1)AF⊥DE；
(2)FH＝GH.
证明：(1)∵AD＝AE，F是DE的中点，
∴AF⊥DE.
(2)连接GC.
∵AF⊥DE，H是AC的中点，
∴FH是Rt△AFC斜边AC上的中线．
∴FH＝AC.
同理可得GH＝AC.
∴FH＝GH.
B组(中档题)
四、填空题
10．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是110°或70°．
11．一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为15°或60°．
12．在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝44°．
五、解答题
13．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P.求证：点P在∠C的平分线上．
证明：过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M，N，Q.
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P，
∴点P在∠BAC的平分线AD上，且PM＝PQ，
点P在∠ABC的平分线BE上，且PM＝PN.
∴PQ＝PN，即点P在∠C的平分线上．
C组(综合题)
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AB的中点，E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边△DEF，连接BF.
(1)△BCD的形状为等边三角形；
(2)随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？并结合图说明你的理由；
(3)当点F落在边AC上时，若AC＝6，请直接写出DE的长．
解：(2)∠DBF的度数不变．理由如下：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD.
∴∠DCE＝∠A＝30°.
∴∠DBC＝∠BCD＝60°.
∴∠BDC＝60°.
又∵△DEF为等边三角形，∴DF＝DE，∠FDE＝60°.
∴∠BDF＋∠FDC＝∠EDC＋∠FDC＝60°.
∴∠BDF＝∠CDE.
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE(SAS)．
∴∠DBF＝∠DCE＝30°，即∠DBF的度数不变．
(3)DE＝2.
解析：过点E作EM⊥AB于点M，如图所示．
在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，
∴AB＝2BC，AC＝＝BC＝6.
∴BC＝2，AB＝4.
∵△DEF为等边三角形，∴∠DEF＝60°.
∵∠A＝30°，∴∠ADE＝30°.
∴DE＝AE.
∴AM＝AD＝×AB＝.
在Rt△AME中，∠A＝30°，AM＝，
∴AE＝2EM，AM＝＝EM.
∴EM＝1，AE＝2.
∴DE＝2.