2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步单元训练卷(Word版，附答案）

北师大版八年级数学下册
第一章　三角形的证明
同步单元训练卷
一、选择题（共10小题，3
10=30）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A的度数是(　　)
A．70°
B．55°
C．50°
D．40°
2．已知一个等腰三角形的两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为(　　)
A．20°
B．120°
C．20°或120°
D．36°
3．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是(　　)
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
4．如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A．55°
B．45°
C．35°
D．65°
5．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(　　)
A．20°
B．35°
C．40°
D．70°
6.
如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠BAC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝(　　)
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD.
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为(
)
A．90°
B．95°
C．100°
D．105°
8．已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是(　　)
A．3
B．4
C．8
D．9
9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于(　　)
A．10
B．12
C．24
D．48
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：
①∠DEF＝∠DFE；
②AE＝AF；③DA平分∠EDF；④EF垂直平分AD.
其中结论正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共8小题，3
8=24）
11．如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件___________________.
12.
如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是底边BC上一点，则AP的最小值是________．
13．
等腰直角三角形底边上的高为4
cm，则该三角形的面积是________cm2.
14．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________(填“真”或“假”)命题，因此原定理________(填“有”或“无”)逆定理．
15．
如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，DE⊥AB于点E，DE＝5
cm，则BC＝________
cm.
16．如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，已知AB＝8，则BF的长为________．
17．居委会需要在街道旁修建临时奶站C，向居民区A，B提供牛奶，要求CA＝CB.如图，已知A(0，2)，B(6，4)，则C点坐标为_____________．
18．如图，等边三角形ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上的一点．若AE＝4，则EM＋CM的最小值为________．
三．解答题（7小题，共66分）
19．(8分)
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.求证：∠DBC＝∠DCB.
20．(8分)
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DE⊥AC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)若DE＝2，求BC的长．
21．(8分)
如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.
22．(10分)
如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(3分)
(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.(4分)
23．(10分)
如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点O，BC与AE交于点P.求证：∠AOB＝60°.
24．(10分)
如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H.
(1)线段BH与AC相等吗？若相等，给予证明；若不相等，请说明理由；
(2)求证：BG2－GE2＝EA2.
25．(12分)
如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12
cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1
cm/s，点N的速度为2
cm/s.当点N第一次回到B点时，点M，N同时停止运动．
(1)点M，N运动几秒后，M，N两点重合？
(2)点M，N运动几秒后，可得到等边三角形AMN?
(3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？若存在，请求出此时M，N运动的时间．
参考答案
1-5CCCBB
6-10CDCAC
11.
答案不唯一，如：BC＝EF
12.
8
13.
16
14.
真；有
15.
15
16.
5
17.
(4，0)
18．4
19.
证明：延长AD交BC于点E，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AE⊥BC，BE＝CE，∴BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB
20.
解：(1)证明：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°，∠BAC＝120°.∵AB⊥AD，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DA＝DC.
∵DE⊥AC，∴AE＝EC.
(2)∵∠C＝30°，DE⊥AC，∴DC＝2DE＝4，∴AD＝4.
∵AB⊥AD，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8，∴BC＝BD＋DC＝12.
21．证明：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.
∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°.
∴∠EFB＋∠CFD＝90°.
∵∠EFB＋∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠CFD.
在△BEF和△CFD中，
∴△BEF≌△CFD(ASA)．
∴BF＝CD.
22.
解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD
(2)连接AF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC
23.
证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴∠CAE＝∠CBD，∵∠APC＝∠BPO，∴∠BOP＝∠ACP＝60°，即∠AOB＝60°
24.
解：(1)BH＝AC，证明如下：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝90°.
∵∠ABC＝45°，∴∠BCD＝180°－90°－45°＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.
∵∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠HBD＝90°，
∴∠HBD＝∠ACD.
在△DBH和△DCA中，
∴△DBH≌△DCA(ASA)，∴BH＝AC.
(2)证明：连接CG，由(1)知，DB＝CD，
∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，∴BG＝CG.∵BA＝BC，BE⊥AC，∴EC＝EA.
在Rt△CGE中，由勾股定理，得CG2－GE2＝CE2，
∵CE＝AE，BG＝CG，∴BG2－GE2＝EA2.
25.
解：(1)设点M，N运动x秒后，M，N两点重合，则x＋12＝2x，解得x＝12，故点M，N运动12秒后，M，N两点重合．(2)设点M，N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，AM＝t，AN＝AB－BN＝12－2t，∵三角形AMN是等边三角形，∴t＝12－2t，解得t＝4，∴点M，N运动4秒后，可得到等边三角形AMN.(3)当点M，N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形AMN，由(1)知12秒时M，N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是以边MN为底边的等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，∴△ACM≌△ABN，∴CM＝BN，设当点M，N在BC边上运动时，M，N运动的时间为y秒时，△AMN是以边MN为底边的等腰三角形，∴CM＝y－12，NB＝36－2y，又∵CM＝NB，∴y－12＝36－2y，解得y＝16.∴当点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M，N运动的时间为16秒．
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