角
的
推
广
(15分钟 30分)
1.在①160°;②480°;③-960°;④1
530°这四个角中,属于第二象限角的是
( )
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
【解析】选C.①是第二象限的角;②480°=120°+360°是第二象限的角;③-960°=-3×360°+120°是第二象限的角;④1
530°=4×360°+90°不是第二象限的角.
2.与-525°的终边相同的角可表示为( )
A.525°-k·360°(k∈Z)
B.165°+k·360°(k∈Z)
C.195°+k·360°(k∈Z)
D.-195°+k·360°(k∈Z)
【解析】选C.因为-525°=-2×360°+195°,所以与-525°的终边相同的角可表示为195°+k·360°(k∈Z).
3.已知α是锐角,那么2α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.小于180°的正角
D.第一象限角或第二象限角
【解析】选C.α是锐角,所以2α∈(0°,180°),所以2α是小于180°的正角.
4.如果将钟表拨快10分钟,则时针所转成的角度是 度,分针所转成的角度是 度.?
【解析】由题意结合任意角的定义可知,
钟表拨快10分钟,
则时针所转成的角度是-×=-5°,
分针所转成的角度是-×360°=-60°.
答案:-5 -60
5.写出与75°角终边相同的角β的集合,并求在360°≤β<1
080°范围内与75°角终边相同的角.
【解析】与75°角终边相同的角的集合为
S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
当360°≤β<1
080°时,即360°≤k·360°+75°<1
080°,
解得≤k<2.又k∈Z,所以k=1或k=2.
当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.
综上所述,与75°角终边相同且在360°≤β<1
080°范围内的角为435°角和795°角.
(20分钟 45分)
一、选择题(每小题5分,共25分.多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.若α与β终边相同,则α-β的终边落在( )
A.x轴的正半轴上
B.x轴的负半轴上
C.y轴的正半轴上
D.y轴的负半轴上
【解析】选A.因为α=β+k·360°,k∈Z,
所以α-β=k·360°,k∈Z,
所以其终边在x轴的正半轴上.
2.设集合M={α|α=45°+k·90°,k∈Z},N={α|α=90°+k·45°,k∈Z},则集合M与N的关系是( )
A.M∩N=?
B.M?N
C.M?N
D.M=N
【解析】选B.对于集合M,α=45°+k·90°=45°+2k·45°=(2k+1)·45°,
即M={α|α=(2k+1)·45°,k∈Z};对于集合N,α=90°+k·45°=2×45°+k·
45°=(k+2)·45°,即N={α|α=(k+2)·45°,k∈Z}={α|α=n·45°,n∈Z}.因为2k+1表示所有的奇数,而n表示所有的整数,所以M?N.
3.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
【解析】选C.当k=0时,45°≤α≤90°,即选项C中第一象限所表示的部分;
当k=1时,225°≤α≤270°,即选项C中第三象限所表示的部分;当k=2时,其所表示的角的范围与k=0表示的范围一致.综上可得,选项C表示集合
{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中的角所表示的范围.
【补偿训练】
如图,分别写出适合下列条件的角的集合.
(1)终边落在射线OB上;
(2)终边落在直线OA上;
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
【解析】(1)终边落在射线OB上的角的集合为
S1=.
(2)终边落在直线OA上的角的集合为
S2=.
(3)终边落在第一象限中的阴影区域的角的集合为,
终边落在第三象限中的阴影区域的角的集合为=
{α|30°+180°+k·360°≤α≤60°+180°+k·360°,k∈Z}
={α|30°+(2k+1)·180°≤α≤60°+(2k+1)·180°,k∈Z},
因此终边落在阴影区域内的角的集合为
S3={α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z}∪
{α|30°+·180°≤α≤60°+·180°,k∈Z}
={α|30°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.
4.下列关于角的叙述,正确的是( )
A.第二象限的角都是钝角
B.第二象限角大于第一象限角
C.若角α与角β不相等,则α与β的终边不可能重合
D.若角α与角β的终边在一条直线上,则α-β=k·180°(k∈Z)
【解析】选D.A错,例如495°=135°+360°是第二象限的角,但不是钝角;B错,例如α=135°是第二象限角,β=360°+45°是第一象限角,但α<β;C错,例如α=360°,β=720°,则α≠β,但二者终边重合;D正确,α与β的终边在一条直线上,则二者的终边相差180°的整数倍,故α-β=k·180°(k∈Z).
5.(多选题)(2020·潍坊高一检测)下列与412°角的终边相同的角是( )
A.52°
B.778°
C.-308°
D.1
132°
【解析】选ACD.因为412°=360°+52°,
所以与412°角的终边相同的角为β=k×360°+52°,k∈Z,
当k=-1时,β=-308°;
当k=0时,β=52°;
当k=2时,β=772°;
当k=3时,β=1
132°;
当k=4时,β=1
492°.综上,选项A、C、D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
6.角α,β的终边关于y=x对称,若α=30°,则β= .?
【解析】因为30°与60°的终边关于y=x对称,
所以β的终边与60°角的终边相同.
所以β=60°+k·360°,k∈Z.
答案:60°+k·360°,k∈Z
【补偿训练】
如果α满足180°<α<360°,5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么α= .?
【解析】因为5α=α+k·360°,k∈Z,所以α=k·90°,k∈Z.
又因为180°<α<360°,所以α=270°.
答案:270°
7.若角α=2
020°,则与角α具有相同终边的最小正角为 ,最大负角为 .?
【解析】因为2
020°=5×360°+220°,所以与角α终边相同的角的集合为{α|α=220°+k·360°,k∈Z},所以最小正角是220°,最大负角是-140°.
答案:220° -140°
三、解答题
8.(10分)已知角β的终边在直线x-y=0上.
(1)写出角β的集合S.
(2)写出集合S中适合不等式-360°<β<720°的元素.
【解析】(1)如图,直线x-y=0过原点,倾斜角为60°,在0°到360°范围内,终边落在射线OA上的角是60°,终边落在射线OB上的角是240°,
所以以射线OA,OB为终边的角的集合分别为
S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z},
S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z},
所以角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪
{β|β=60°+180°+k·360°,k∈Z}
={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.
(2)由于-360°<β<720°,即-360°<60°+n·180°<720°,n∈Z.
解得-
所以n=-2,-1,0,1,2,3.所以集合S中适合不等式-360°<β<720°的元素为
60°-2×180°=-300°;60°-1×180°=-120°;60°+0×180°=60°;
60°+1×180°=240°;60°+2×180°=420°;60°+3×180°=600°.
【补偿训练】
1.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P点在1
s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2
s达到第三象限,经过14
s后又回到了出发点A处,求θ.
【解析】因为0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ则当k=0时,90°<θ<135°.
又因为14θ=n·360°(n∈Z),
所以θ=n·°,从而90°所以当n=4时,θ=°;当n=5时,θ=°.
2.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.
【解析】根据题意可知:14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,
m∈Z,14β=n·360°,n∈Z,从而可知α=·180°,β=·180°,m,n∈Z.
又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,则2α,2β在第二象限.又0°<α<β<180°,从而可得0°<2α<2β<360°,因此2α,2β均为钝角,即90°<2α<2β<180°.于是45°<α<90°,45°<β<90°.
所以45°<·180°<90°,45°<·180°<90°,
即又因为α<β,所以m从而可得m=2,n=3.即α=°,β=°.
PAGE弧度制及其与角度制的换算
(15分钟 30分)
1.5弧度的角的终边所在的象限为( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.因为π<5<2π所以5弧度的角的终边在第四象限.
2.下列各式不正确的是( )
A.45°=
B.60°=
C.-210°=-
D.725°=
【解析】选D.由题意,根据角度制与弧度制的互化公式,可得45°=,
60°=,-210°=-是正确的,而725°=4π+,所以D是不正确的.
3.(2020·莆田高一检测)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一《方田》中有如下两个问题:
[三三]今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?
[三四]又有宛田,下周九十九步,径五十一步.问为田几何?
翻译为:[三三]现有扇形田,弧长30步,直径长16步.问这块田面积是多少?
[三四]又有一扇形田,弧长99步,直径长51步.问这块田面积是多少?
则下列说法正确的是( )
A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步
B.问题[三四]中扇形的面积为平方步
C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步
D.问题[三四]中扇形的面积为平方步
【解析】选B.
依题意,问题[三三]中扇形的面积为lr=×30×=120(平方步),问题[三四]中扇形的面积为lr=×99×=(平方步).
4.如果一扇形的圆心角为60°,半径等于3
cm,则该扇形的弧长为 cm,面积为 cm2.?
【解析】圆心角为60°,即等于,
由弧长公式可得l=αr=×3=π,
由扇形面积公式可得S=lr=×π×3=.
答案:π π
5.已知角α=-920°.
(1)把角α写成2kπ+β(0≤β<2π,k∈Z)的形式,并确定角α所在的象限;
(2)若角γ与α的终边相同,且γ∈(-4π,-3π),求角γ.
【解析】(1)因为-920°=-3×360°+160°,160°=,
所以α=-920°=-3×2π+.
因为角α与终边相同,所以角α是第二象限角.
(2)因为角γ与α的终边相同,
所以设γ=2kπ+(k∈Z).因为γ∈(-4π,-3π),
由-4π<2kπ+<-3π,可得-又因为k∈Z,所以k=-2.
所以γ=-4π+=-.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分.多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.一场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.因为时针旋转一周为12小时,转过的角度为2π,按顺时针转所形成的角为负角,所以经过2小时,时针所转过的弧度数为-×2π=-π.
2.将-1
485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是( )
A.--8π
B.π-8π
C.-10π
D.π-10π
【解析】选D.-1
485°=-5×360°+315°,
化为α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为-10π.
3.如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )
A.
B.
C.
D.tan
1
【解析】选B.在三角形AOB中,=sin
1,则r=,扇形的面积S=αr2=×2×=.
【补偿训练】
已知扇形△AOB的周长为4,当扇形的面积取得最大值时,扇形的弦长AB等于 .?
【解析】设扇形的半径为r,可得出扇形的弧长为l=4-2r(0取AB的中点C,连接OC,则OC⊥AB,且∠AOC=1,因此AB=2AC=2rsin
1=2sin
1.
答案:2sin
1
4.(多选题)下列转化结果正确的是( )
A.67°30′化成弧度是
B.-化成角度是-600°
C.-150°化成弧度是
D.化成角度是5°
【解析】选AB.对于A,67°30′=67.5°×=,正确;
对于B,-=-×=-600°,正确;
对于C,-150°=-150°×=-,错误;
对于D,=×=15°,错误.
【光速解题】C选项角度为负值而化为弧度时成了正值,故错误,其次D选项形式较为简单,易验证错误,从而得到正确答案.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知集合A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},集合B={x|-4≤x≤4},则A∩B= .?
【解析】如图所示,
所以A∩B=[-4,-π]∪[0,π].
答案:[-4,-π]∪[0,π]
6.(2020·南京高一检测)分别以边长为1的正方形ABCD的顶点B,C为圆心,1为半径作圆弧AC,BD交于点E,则△BCE的周长为 ,曲边三角形ABE的周长为 .?
【解析】因为两圆半径都是1,正方形边长也是1,所以△BCE为正三角形,所以△BCE的周长为3.圆心角∠EBC,∠ECB都是,=×1=,
∠EBA=-=,=×1=,所以曲边三角形ABE的周长是1++=1+.
答案:3 1+
【补偿训练】
如图所示,已知一长为
dm,宽为1
dm的长方体木块在桌面上做无滑动地翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成30°的角.则点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积分别为 .?
【解析】所在的圆半径是2
dm,圆心角为;所在的圆半径是1
dm,圆心角为;
所在的圆半径是
dm,圆心角为,所以点A走过的路径长是三段圆弧之和,
即2×+1×+×=(dm).
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2+××1+××=(dm2).
答案:dm,dm2
三、解答题
7.(10分)已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径是R.
(1)若α=60°,R=10
cm,求扇形的弧长及该弧长所在的弓形面积;
(2)若扇形的周长是30
cm,当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
【解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,
因为α=60°=,R=10
cm,
所以弧长l=αR=(cm).
S弓=S扇-S△=××10-2××10×sin×10×cos=50(cm2).
(2)由l+2R=30,所以l=30-2R(0从而S=·l·R=(30-2R)·R
=-R2+15R=-+.
所以当半径R=
cm时,l=30-2×=15(cm),
扇形面积的最大值是
cm2,这时α==2
rad.
所以当扇形的圆心角为2
rad,半径为
cm时,
面积最大,为
cm2.
【补偿训练】
1.如图,以正方形ABCD中的点A为圆心,边长AB为半径作扇形EAB,若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为 .?
【思路导引】先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD的弧度数.
【解析】设AB=1,∠EAD=α,
因为S扇形ADE=S阴影BCD,
由题意可得×12×α=12-,
所以α=2-.
答案:2-
2.如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2
cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′,点C′在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为 cm2.?
【解析】由题意可知OB=OA=1,OC=OC′=?BC=B′C′=,
∠B′OC=∠B′OC′=60°,扇形AOB′的面积为π,Rt△C′OB′的面积为,故左边空白图形的面积为S1=-,而右边两块空白图形的面积为S2=×π×+=+,由此可得空白图形的面积为S=S1+S2=+=,而半圆的面积为π,所以所求阴影部分的面积为-=(cm2).
答案:
PAGE三角函数的定义
(20分钟 35分)
1.已知P(1,-5)是α终边上一点,则sin
α=( )
A.1
B.-5
C.-
D.
【解析】选C.因为x=1,y=-5,所以r=,
所以sin
α==-.
2.如果点P(sin
θcos
θ,cos
θ)位于第四象限,则角θ是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】选C.因为点P(sin
θcos
θ,cos
θ)位于第四象限,
所以则
所以角θ是第三象限角.
3.若cos
α=-,且角α的终边经过点P(x,2),则P点的横坐标x是( )
A.2
B.±2
C.-2
D.-2
【解析】选D.r=,由题意得=-且x<0,所以x=-2.
4.(2020·南昌高一检测)若α=2
021°,则点P(tan
α,cos
α)位于第 象限.?
【解析】因为2
021°=5×360°+221°,所以α=2
021°的终边在第三象限,所以tan
α>0,cos
α<0,
所以点P(tan
α,cos
α)位于第四象限.
答案:四
5.已知角α的终边过点P(5,a),且tan
α=-,则sin
α+cos
α= .?
【解析】因为tan
α==-,所以a=-12.
所以r==13.所以sin
α=-,cos
α=.
所以sin
α+cos
α=-.
答案:-
6.判断下列式子的符号:
(1)cos
3·tan
.
(2)sin
(cos
θ)(θ为第二象限角).
【解析】(1)因为<3<π,所以3是第二象限角,
所以cos
3<0,又-是第三象限角,
所以tan
>0,所以cos
3·tan
<0.
(2)因为θ是第二象限角,
所以-<-1θ<0,
所以sin
(cos
θ)<0.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若<α<π,则点Q(cos
α,sin
α)位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.因为<α<π,所以cos
α<0,sin
α>0,所以点Q在第二象限.
2.已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为sin
=,cos
=-.
所以角α的终边在第四象限,且tan
α==-,
所以角α的最小正值为2π-=.
3.(2020·天津高一检测)α是第二象限角,其终边上一点P,且cos
α=
,则sin
α=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为α是第二象限角,其终边上一点P,所以x<0,
所以=,
所以cos
α==,解得x=-,
所以sin
α==.
【补偿训练】
若角α的终边落在直线x+y=0上,则+的值等于( )
A.0 B.-2 C.2 D.-2或2
【解析】选A.由题意,若角α的终边落在直线x+y=0上,则角α的终边落在第二象限或第四象限,当角α的终边在第二象限时,根据三角函数的定义,可得则+=0;
当角α的终边在第四象限时,根据三角函数的定义,可得
则+=0.
4.若α是第二象限角,则下列结论一定成立的是( )
A.sin>0
B.cos>0
C.tan>0
D.sincos<0
【解析】选C.因为+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以+kπ<<+kπ,k∈Z.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.观察四个选项,可知tan>0一定成立.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·济南高一检测)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A.tan
A与cos
B
B.tan与cos
C.sin
C与tan
A
D.tan与sin
C
【解析】选BD.因为角A,B的范围不确定,A不满足条件;因为B,C∈(0,π),所以,∈,所以B满足条件;因为角A的范围不确定,所以tan
A不确定,所以C不满足条件;因为00,又因为0sin
C>0,所以D满足条件.综上,BD满足题意.
【光速解题】若角A为直角,没有正切值,AC选项不合题意,因为是多选题,所以BD满足题意.
6.(2020·济宁高一检测)已知x∈,则函数y=+-
的值可能为( )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
【解析】选BC.因为x∈,
当x在第一象限时:y=+-=1+1-1=1;
当x在第二象限时:y=+-=1-1+1=1;
当x在第三象限时:y=+-=-1-1-1=-3;
当x在第四象限时:y=+-=-1+1+1=1.
【点睛】分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题方面发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点.
充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·潍坊高一检测)给出下列结论:①sin
156°>0;
②cos<0;③tan
2>0;④tan<0;
⑤sin<0,其中正确结论的序号是 .?
【解析】因为156°是第二象限的角,所以sin156°>0,故①正确;=2π+是第三象限的角,所以cos<0,故②正确;
2是第二象限的角,因此tan
2<0,故③错误;
-=-2π-是第四象限的角,
所以tan<0,故④正确;
-=-4π+是第二象限的角,
所以sin>0,故⑤错误.
答案:①②④
【补偿训练】
(2020·贵阳高一检测)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,动点P,Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,则P,Q两点在第2
021次相遇时,点P的坐标为 .?
【解析】因为点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长,即2π,所以两点相遇一次用了1秒,因此当两点相遇2
021次时,共用了2
021秒,所以此时点P所转过的弧度为=+336π,由终边相同的角的概念可知,
与的终边相同,
所以此时点P的坐标为.
答案:
8.(2020·银川高一检测)已知函数f(x)=loga(x-2)+4(a>0且a≠1),其图象过定点P,角α的始边与x轴的正半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P,则
tan
α= ,= .?
【解析】对于函数f(x)=loga(x-2)+4,令x-2=1,求得x=3,y=4,可得它的图象经过定点P(3,4),角α的始边与x轴的正半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P,所以tan
α=,===10.
答案: 10
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知角α的顶点在坐标原点O处,始边与x轴非负半轴重合.
(1)若角α的终边所在的方程为y=-2x(x≤0),求cos
α-2tan
α的值;
(2)若角α的终边经过点P
,且α<0,求α的最大值.
【解析】(1)在角α的终边上取一点Q(-1,2),
则r==,由三角函数的定义知
cos
α=-,tan
α=-2,
所以cos
α-2tan
α=-1+4=3.
(2)由三角函数的定义知
sin
α=cos=sin=sin,
所以α=+2kπ
或
α=π-+2kπ=+2kπ(k∈Z),又α<0,所以α的最大值为
-.
10.(2020·黄冈高一检测)已知函数f(x)=cosx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+
f(2
020)的值.
【解析】因为f(1)=cos=,f(2)=cos=-,
f(3)=cos
π=-1,f(4)=cos=-,
f(5)=cos=,f(6)=cos
2π=1,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.
又函数f(x)的周期为=6,所以可得每连续六项的和均为0.所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2
020)
=f(2
017)+f(2
018)+f(2
019)+f(2
020)
=cos+cos+cos+cos
=cos+cos+cos
π+cos
=++(-1)+
=-.
1.(2020·三亚高一检测)已知函数f(x)=asin
2x-,若f=0,
则a= .?
【解析】函数f=asin
2x-2cos
x
=asin
2x+cos
x,
由f=a+=0,得a=-2.
答案:-2
2.(2020·杭州高一检测)已知=-,且lg(cos
α)有意义.
(1)试判断角α是第几象限角;
(2)若角α的终边上一点是M,且=1(O为坐标原点),求m的值及
sin
α的值.
【解析】
(1)因为=-,
所以sin
α<0,由lg(cos
α)有意义,可知cos
α>0,
所以角α是第四象限角.
(2)因为|OM|=1,所以+m2=1,得m=±,
又因为角α是第四象限角,所以m<0,所以m=-,
所以sin
α===-.
PAGE单位圆与三角函数线
(20分钟 35分)
1.如图,点P从出发,沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q点坐标为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.点P从出发,沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点,所以∠QOx=-,
所以Q,
即Q点坐标为.
【补偿训练】
已知α是第二象限角,其终边与单位圆的交点为P,则cos
α=( )
A.- B. C. D.-
【解析】选A.由题意知,
解得m=-,所以cos
α=-.
2.如果<α<,那么下列不等式成立的是( )
A.cos
ααα
B.tan
ααα
C.sin
ααα
D.cos
ααα
【解析】选A.方法一:(特值法)令α=,
则cos
α=,tan
α=,sin
α=,
故cos
ααα.
方法二:如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线、余弦线、正切线,则cos
ααα.
3.(2020·济南高一检测)使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.如图所示,
当x=和x=-时,sin
x=cos
x,故使sin
x≤cos
x成立的x的一个变化区间是.
4.有三个命题:①与的正弦线相等;②与的正切线相等;③与的余弦线相等.
其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选B.根据三角函数线的定义可知,与的正弦线相等,与的正切线相等,与的余弦线相反.
5.比较大小:tan
1 tan
.(填“>”或“<”)?
【解析】因为1<,且都在第一象限,由它们的正切线知tan
1.
答案:<
6.作出-的正弦线、余弦线和正切线.
【解析】如图所示,
所以角-的正弦线为,余弦线为,正切线为.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(-3a,4a),那么sin
α+2cos
α的值等于( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.因为点P在单位圆上,则|OP|=1.
即=1,解得a=±.
因为a<0,所以a=-.
所以P点的坐标为.
所以sin
α=-,cos
α=.
所以sin
α+2cos
α=-+2×=.
2.下列各式正确的是( )
A.sin
1>sin
B.sin
1C.sin
1=sin
D.sin
1≥sin
【解析】选B.1和的终边均在第一象限,且的正弦线大于1的正弦线,
则sin
1.
3.在内,使sin
x>cos
x成立的x的取值范围为( )
A.
B.
C.∪
D.∪
【解析】选B.在内,画出sin
x与cos
x对应的三角函数线是,,
如图:
满足在内,使sin
x>cos
x即MT>OM,
所以所求x的范围是:.
【补偿训练】
若点P在第一象限,
则在[0,2π)内α的取值范围是( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
【解析】选A.点P在第一象限?
?如图所示,
在内α的取值范围是∪.
4.已知sin
α>sin
β,那么下列命题成立的是( )
A.若α,β是第一象限角,则cos
α>cos
β
B.若α,β是第二象限角,则tan
α>tan
β
C.若α,β是第三象限角,则cos
α>cos
β
D.若α,β是第四象限角,则tan
α>tan
β
【解析】选D.如图(1),α,β的终边分别为OP,OQ,sin
α=MP>NQ=sin
β,
此时OMαβ,故A错;
如图(2),OP,OQ分别为角α,β的终边,MP>NQ,
所以ACαβ,故B错;
如图(3),角α,β的终边分别为OP,OQ,MP>NQ,
即sin
α>sin
β,所以ON>OM,即cos
β>cos
α,故C错.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列说法正确的是( )
A.当角α的终边在x轴上时角α的正切线是一个点
B.当角α的终边在y轴上时角α的正切线不存在
C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D.余弦线和正切线的始点都是原点
【解析】选ABC.根据三角函数线的概念,A,B,C是正确的,只有D不正确.因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上.
6.在平面直角坐标系中,,,,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边,若tan
ααα,则P所在的圆弧不可能是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选ABD.由图可得:为余弦线,为正弦线,为正切线.
A选项:当点P在上时,cos
α=x,sin
α=y,
所以cos
α>sin
α,故A选项错误,符合题意;
B选项:当点P在上时,cos
α=x,sin
α=y,tan
α=,所以tan
α>
sin
α>cos
α,故B选项错误,符合题意;C选项:当点P在上时,
cos
α=x,sin
α=y,tan
α=,
所以sin
α>cos
α>tan
α,故C选项正确,不符合题意;
D选项:点P在上且在第三象限,tan
α>0,sin
α<0,cos
α<0,故D选项错误,符合题意.
【光速解题】第一象限角的正切值恒大于该角的正弦值,第三象限角的正切值恒大于该角的正弦值,故不可能在第一和第三象限.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知点P(sin
3-cos
3,sin
3+cos
3),则sin
3-cos
3 0(填“>”“<”或“=”),点P(sin
3-cos
3,sin
3+cos
3)所在的象限为第 象限.?
【解析】因为π<3<π,作出单位圆如图所示.
正弦线是,余弦线是,
考虑方向,所以sin
3-cos
3>0.
因为||<||即|sin
3|<|cos
3|,
所以sin
3+cos
3<0.
故点P(sin
3-cos
3,sin
3+cos
3)在第四象限.
答案:> 四
8.sin
,cos
,tan
从小到大的顺序是 .?
【解析】由图可知:cos
<0,tan
>0,sin
>0.
因为||<||,所以sin
.
故cos
.
答案:cos
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.利用三角函数线,确定满足不等式-≤cos
θ<的θ的取值范围.
【解析】作出以坐标原点为圆心的单位圆,分别作直线x=-,x=,直线x=-与单位圆交于点P1,P2与x轴交于点M1,直线x=与单位圆交于点P3,P4,与x轴交于点M2,连接OP1,OP2,OP3,OP4.在范围内,cos=cos=-,cos=cos=,则点P1,P2,P3,P4分别在角,-,,-的终边上.又-≤cos
θ<,结合图形可知,当θ∈时,
-≤θ<-或<θ≤,故θ的取值范围为2kπ-≤θ<2kπ-,k∈Z或
2kπ+<θ≤2kπ+,k∈Z.
10.利用三角函数线证明:若0<α<β<,则β-α>sin
β-sin
α.
【证明】如图所示,
单位圆O与x轴正半轴交于点A,与角β,α的终边分别交于点P,Q,过P,Q分别作OA的垂线,垂足分别是M,N,则sin
α=NQ,sin
β=MP.过点Q作QH⊥MP于H,则HP=MP-NQ=sin
β-sin
α.连接PQ,由图可知HP<=-=β-α
,即β-α>sin
β-sin
α.
1.利用正弦线求得sin
α的最大值为 ,此时α的集合为 .?
【解析】如图,α的终边与单位圆交于点P,PM⊥x轴于M,则是正弦线,由于M始终在x轴上,P点始终在单位圆上,当M与原点O重合时,的长度最大为1,此时P点在y轴正半轴上时,所以sin
α的最大值为1,此时α终边与y轴正方向重合,α=2kπ+,k∈Z.
答案:1
2.利用余弦线,研究余弦函数y=cos
x的单调性、最大值和最小值,并分别求出函数取得最大值和最小值时x的值.
【解析】如图,在直角坐标系中,角x的顶点与原点重合,始边与横轴正半轴重合,终边与单位圆交于点P.过点P作横轴的垂线,交横轴于点M,则余弦线为.当角x的终边绕原点从横轴的正半轴开始,按照逆时针方向旋转时,余弦线按照1→0→-1→0→1…的规律周而复始地变化着.由余弦线可以看出,余弦函数y=cos
x在上,从1减少到-1,是减函数;
在区间上,从-1增大到1,是增函数.
所以,余弦函数y=cos
x在区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
上递减,在区间上递增.
当且仅当x=2kπ时,ymax=1;
当且仅当x=π+2kπ时,ymin=-1.
PAGE同角三角函数的基本关系式
(20分钟 35分)
1.cos
α=,α∈(0,π),则tan
α的值为( )
A.
B.
C.±
D.±
【解析】选B.因为cos
α=,α∈(0,π),
所以sin
α=.所以tan
α=.
2.若α为第三象限角,则+的值为( )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
【解析】选B.因为α为第三象限角,
所以原式=+=-3.
3.已知sin
α=,则sin4α-cos4α的值为( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)
=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1
=2×-1=-.
4.已知tan
α=2,则的值为 .?
【解析】
==,
代入tan
α=2得原式==.
答案:
5.若sin
θ-cos
θ=,则tan
θ+= .?
【解析】由已知得(sin
θ-cos
θ)2=2,
所以sin
θcos
θ=-.
所以tan
θ+=+==-2.
答案:-2
6.已知sin
α+3cos
α=0,求sin
α,cos
α的值.
【解析】因为sin
α+3cos
α=0.
又sin2α+cos2α=1,得(-3cos
α)2+cos2α=1,
即10cos2α=1.所以cos
α=±.
又由sin
α=-3cos
α,可知sin
α与cos
α异号,所以α在第二、四象限.
①当α是第二象限角时,sin
α=,cos
α=-.
②当α是第四象限角时,sin
α=-,cos
α=.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.化简(1+tan2α)·cos2α等于( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选C.原式=·cos2α=cos2α+sin2α=1.
2.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选C.原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)
=sin2α+cos2α=1.
3.(2020·林州高一检测)已知sin
αcos
α=,且α∈,则cos
α-sin
α的值是( )
A.
B.
C.-
D.±
【解析】选C.因为sin
αcos
α=,且α∈,
所以sin
α>cos
α,
所以cos
α-sin
α=-
=-=-.
【补偿训练】
若α是三角形的最大内角,且sin
α-cos
α=,则三角形是( )
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
【解析】选B.将sin
α-cos
α=两边平方,
得1-2sin
αcos
α=,即2sin
αcos
α=.
又α是三角形的内角,
所以sin
α>0,
所以cos
α>0,所以α为锐角.
4.已知=,则等于( )
A.
B.-
C.2
D.-2
【解析】选B.因为=,
所以=
===-.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·潍坊高一检测)若α是第二象限角,则下列各式中成立的是( )
A.tan
α=-
B.=sin
α-cos
α
C.cos
α=-
D.=sin
α+cos
α
【解析】选BC.对A,由同角三角函数的基本关系式,知tan
α=,所以A错;
对B,C,D,因为α是第二象限角,
所以sin
α>0,cos
α<0,
所以sin
α-cos
α>0,sin
α+cos
α的符号不确定,
所以==sin
α-cos
α,
所以B,C正确;=
=|sin
α+cos
α|,所以D错.
6.(2020·济南高一检测)已知θ∈(0,π),sin
θ+cos
θ=,则下列结论正确的是( )
A.θ∈
B.cos
θ=-
C.tan
θ=-
D.sin
θ-cos
θ=
【解析】选ABD.因为sin
θ+cos
θ=①,
所以=,
即sin2θ+2sin
θcos
θ+cos2θ=,
所以2sin
θcos
θ=-,
因为θ∈(0,π),所以sin
θ>0,cos
θ<0,
所以θ∈,
所以=1-2sin
θcos
θ=,
所以sin
θ-cos
θ=或-(舍去)②,①加②得sin
θ=,①减②得cos
θ=-,
所以tan
θ===-.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.化简:·sin2x= .?
【解析】原式=sin2x
=sin2x=·sin2x
==tan
x.
答案:tan
x
【补偿训练】
化简(1-cos
α)的结果是 .?
【解析】原式=(1-cos
α)
==
==sin
α.
答案:sin
α
8.已知tan
α=,则= ;cos2α-sin2α= .?
【解析】因为tan
α=,
所以=
==3-2,
cos2α-sin2α====.
答案:3-2
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(1)若π<α<,化简:+;
(2)求证:=cos2θ-sin2θ.
【解析】(1)原式=+
=+=,
因为π<α<,所以原式=-.
(2)==
=cos2θ-sin2θ.
10.(2020·济南高一检测改编)已知sin
α=-,且α是第 象限角.?
从①一,②二,③三,④四,这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上,并根据你的选择,解答以下问题:
(1)求cos
α,tan
α的值;
(2)化简求值:.
【解析】(1)因为sin
α=-,所以α为第三象限角或第四象限角;
若选③,cos
α=-=-,tan
α==;
若选④,cos
α==,tan
α==-.
(2)原式====
=.
1.(2020·忻州高一检测)如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),我们把称为α的正割,记作sec
α;把称为α的余割,记作csc
α.
则sec÷csc=( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.由题意结合新定义的知识可得
===tan
α,
则sec÷csc=tan=-.
2.已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦,则实数m的值为 .?
【解析】由题意知Δ=4(m+1)2-16m≥0,
解得m∈R.
不妨设sin
A=x1,cos
A=x2,A∈,
则x1,x2>0,x1+x2=(m+1),x1·x2=m,
即sin
A+cos
A=(m+1),sin
Acos
A=m,
所以1+2×m=(m+1)2,
解得m=或m=-.
当m=-时,sin
Acos
A=-<0,不合题意,舍去,故m=.
答案:
PAGE诱导公式(二)
(20分钟 35分)
1.已知sin=,那么cos
α等于
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选C.sin=cos
α,故cos
α=.
【补偿训练】
已知α∈,π,sin
α=,则sin--α=
( )
A.-
B.±
C.
D.
【解析】选A.由α∈,sin
α=,
则sin=cos
α=-=-.
2.已知sin=,则cos的值为
( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选C.cos=cos=sin=.
3.(2020·合肥高一检测)已知函数f=cos,则下列等式成立的是
( )
A.f(2π-x)=f
B.f(2π+x)=f(x)
C.f(-x)=f(x)
D.f(π-x)=f(x)
【解析】选C.函数f=cos,
故f(2π-x)=cos=cos=-cos
=-f,A错误;
f(2π+x)=cos=cos=-cos
=-f,B错误;
f(-x)=cos=cos=f(x),C正确;
f(π-x)=cos=cos=sin≠f,D错误.
4.已知cos=,则cos·sin的值为 .?
【解析】cos·sin
=cos·sin
=-cos·sin
=-sin
=-cos=-.
答案:-
5.在△ABC中,sin=3sin(π-A),且cos
A=-cos(π-B),则C= .?
【解析】由题意得cos
A=3sin
A,①
cos
A=cos
B,②
由①得tan
A=,所以A=.
由②得cos
B==,所以B=.所以C=.
答案:
6.已知函数f(x)=.
(1)化简函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)=2,求1+sin
xcos
x的值.
【解析】(1)f(x)===tan
x.
(2)由题意tan
x=2,那么1+sin
xcos
x
===.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知sin=-,则cos=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.依题意,-=,
故α-=-,
故cos=cos=-sin=.
2.若f(sin
x)=3-cos
2x,则f(cos
x)=
( )
A.3-cos
2x
B.3-sin
2x
C.3+cos
2x
D.3+sin
2x
【解析】选C.f(cos
x)=f=3-cos(π-2x)=3+cos
2x.
3.已知cos(75°+α)=,则sin+cos(105°-α)的值是
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选D.
sin+cos
=sin+cos
=-2cos=-2×=-.
4.设函数f(x)=asin+bcos+4,其中a,b,α,β均为非零常数,若f(1
977)=2,则f(2
021)的值是
( )
A.2
B.4
C.6
D.不确定
【解析】选A.f(1
977)=2?asin
+bcos+4
=2?acos
α-bsin
β=-2,
因为f(2
021)=asin
+bcos+4=acos
α-bsin
β+4,
所以f(2
021)=-2+4=2.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列与sin
θ的值不相等的是
( )
A.sin(π+θ)
B.sin
C.cos
D.cos
【解析】选ABD.sin(π+θ)=-sin
θ;sin=cos
θ;
cos=sin
θ;cos=-sin
θ.
6.(2020·青岛高一检测)在△ABC中,下列关系恒成立的是
( )
A.tan=tan
C
B.cos=cos
2C
C.sin=sin
D.sin=cos
【解析】选BD.A选项tan=tan=-tan
C,不正确;
B选项cos=cos[2]
=cos=cos
2C,正确;
C选项sin=sin=cos,不正确;
D选项sin=sin=cos,正确.
【光速解题】利用互补、互余关系求解.
这样更容易求解.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若a=tan,b=tanπ,则a,b的大小关系是 .?
【解析】a=tan=tan=tanπ
=-tan=-1,b=tanπ=tan
=tanπ
=tan=-tan=-,
因为-1>-,所以a>b.
答案:a>b
8.已知sin(π-α)=-2sin,则sin
α·cos
α= ,sin2
α-cos2α= .?
【解析】sin(π-α)=-2sin,
所以sin
α=-2cos
α,所以tan
α=-2,
故sin
α·cos
α===-,
sin2
α-cos2α====.
答案:-
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.求证:=.
【证明】因为左边=
=
=
=
==.
右边==.
所以左边=右边,故原等式成立.
10.已知sin
θ,cos
θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求cos+sin的值.
(2)求tan(π-θ)-的值.
【解析】由已知原方程判别式Δ≥0,
即(-a)2-4a≥0,则a≥4或a≤0.
又
(sin
θ+cos
θ)2=1+2sin
θcos
θ,
即a2-2a-1=0,
所以a=1-或a=1+(舍去).
则sin
θ+cos
θ=sin
θcos
θ=1-.
(1)cos+sin=sin
θ+cos
θ=1-.
(2)tan(π-θ)-=-tan
θ-
=-=-
=-=-=+1.
1.定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=90°,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是 (填上所有符合的序号).?
①sin
β=;②cos(π+β)=;③tan
β=;
④tan
β=.
【解析】因为sin(π+α)=-sin
α,
所以sin
α=,若α+β=90°,则β=90°-α,
故sin
β=sin(90°-α)=cos
α=±,故①满足;
②中cos(π+β)=,所以cos
β=-,
所以sin
β=±,故②满足;
③中tan
β=,
即sin
β=cos
β,又sin2β+cos2β=1,
故sin
β=±,即③满足,而④不满足.
答案:①②③
2.已知函数f(x)=.
(1)若角x的终边经过点(3,-4),求f(x)的值;
(2)若f(x)·f=-.且角x为第三象限角,求f-f(x)的值.
【解析】(1)f(x)==-cos
x;
因为角x的终边经过点(3,-4),
所以cos
x==;
所以f(x)=-.
(2)f(x)·f=-cos
x·sin
x=-,
所以sin
x·cos
x=,
因为f-f(x)=cos
x+sin
x.
所以(cos
x+sin
x)2=cos2x+sin2x+2cos
x·sin
x=1+=,
又因为角x为第三象限角,所以cos
x+sin
x<0,
所以cos
x+sin
x=-,
即f-f(x)的值为-.
PAGE诱导公式(一)
(20分钟 35分)
1.cos+sin的值为
( )
A.-
B.
C.
D.
【解析】选C.原式=cos-sin=cos-sin=-cos+sin=.
2.tan
300°+sin
450°的值是
( )
A.-1+
B.1+
C.-1-
D.1-
【解析】选D.原式=tan(360°-60°)+sin(360°+90°)
=tan(-60°)+sin
90°=-tan
60°+1=-+1.
3.已知sin
β=,cos(α+β)=-1,则sin(α+2β)的值为
( )
A.1
B.-1
C.
D.-
【解析】选D.因为cos(α+β)=-1,
所以α+β=π+2kπ,k∈Z,
所以sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(π+β)=-sin
β=-.
4.求值:(1)cos
= ;(2)tan(-855°)= .?
【解析】(1)cos
=cos=cos=cos=-cos
=-.
(2)tan(-855°)=-tan
855°=-tan(2×360°+135°)
=-tan
135°=-tan(180°-45°)=tan
45°=1.
答案:(1)- (2)1
5.已知cos=-,且α∈,则sin= .?
【解析】因为cos=-,且α∈,
所以sin==,
所以sin=sin=sin=.
答案:
6.(1)计算:sin+cos+tan;
(2)化简:.
【解析】(1)sin+cos+tan
=-sin+cos+tan
=-++1=0;
(2)原式==tan
α.
(35分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.tan(5π+α)=m,则的值为
( )
A.
B.
C.-1
D.1
【解析】选A.因为tan(5π+α)=tan
α=m,所以原式====.
2.在△ABC中,cos(A+B)的值等于
( )
A.cos
C
B.-cos
C
C.sin
C
D.-sin
C
【解析】选B.由于A+B+C=π,所以A+B=π-C.所以cos(A+B)=cos(π-C)=-cos
C.
3.已知tan=,则tan=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.tan=tan=tan=.
4.已知n为整数,化简所得的结果是
( )
A.tan
nα
B.-tan
nα
C.tan
α
D.-tan
α
【解析】选C.当n=2k,k∈Z时,
===tan
α;
当n=2k+1,k∈Z时,====tan
α.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·济南高一检测)下列化简正确的是
( )
A.tan(π+1)=tan
1
B.=cos
α
C.=1
D.若θ∈,则=sin
θ-cos
θ
【解析】选ABD.由诱导公式易知A正确;
B正确,==cos
α;
C错误,==-1;
D正确,=,
==|sin
θ-cos
θ|,
因为θ∈,所以sin
θ>0,cos
θ<0,
所以sin
θ-cos
θ>0,
所以=sin
θ-cos
θ.
6.给出下列结论,其中正确的结论有
( )
A.sin=-sin
α成立的条件是角α是锐角
B.若cos=(n∈Z),则cos
α=
C.若α≠(k∈Z),则tan=tan
α
D.若sin
α+cos
α=1,则sinnα+cosnα=1
【解析】选CD.由诱导公式,知α∈R时,sin=
-sin
α,所以A错误.当n=2k(k∈Z)时,
cos=cos=cos
α,此时cos
α=,
当n=2k+1(k∈Z)时,cos
=cos=cos=-cos
α,
此时cos
α=-,所以B错误.若α≠(k∈Z),
则tan===tan
α,所以C正确.
将等式sin
α+cos
α=1两边平方,得sin
αcos
α=0,
所以sin
α=0或cos
α=0.
若sin
α=0,则cos
α=1,此时sinnα+cosnα=1;若cos
α=0,则sin
α=1,此时sinnα+cosnα=1,故sinnα+cosnα=1,所以D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.满足sin(3π-x)=,x∈[-2π,2π]的x的取值集合是 .?
在实数上满足条件的x的取值集合是 .?
【解析】sin(3π-x)=sin(π-x)=sin
x=.
当x∈[0,2π]时,x=或;
当x∈[-2π,0]时,x=-或-.
所以x的取值集合为.
在实数上满足条件的x的取值集合是
xx=2kπ+或2kπ+,k∈Z.
答案:
xx=2kπ+或2kπ+,k∈Z
8.已知f(x)=则f+f的值为 .?
【解析】因为f=sin=sin
=sin=;f=f-1=f-2=sin-2=--2=-.
所以f+f=-2.
答案:-2
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos
A=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
【解析】由条件得sin
A=sin
B,cos
A=cos
B,
两式平方相加得2cos2A=1,cos
A=±,
又因为A∈(0,π),所以A=或π.
当A=π时,cos
B=-<0,所以B∈,
所以A,B均为钝角,不合题意,舍去.
所以A=,cos
B=,所以B=,所以C=π.
综上所述,A=,B=,C=π.
10.已知f(α)=.
(1)化简f(α).
(2)若α是第三象限角,且sin(α-π)=,求f(α)的值.
(3)若α=-,求f(α)的值.
【解析】(1)f(α)==-cos
α.
(2)因为sin(α-π)=-sin
α=,
所以sin
α=-.又α是第三象限角,
所以cos
α=-.所以f(α)=.
(3)因为-=-6×2π+,
所以f=-cos=-cos=-cos=-.
1.已知sin=log8,且θ∈,则tan(2π-θ)的值为
( )
A.-
B.
C.±
D.
【解析】选B.因为sin=sin
θ,log8=-,
由sin=log8,
所以sin
θ=-,又θ∈,
所以cos
θ==,
tan=-tan
θ=-,
所以tan=.
2.已知α是第二象限角,且tan
α=-2.
(1)求cos4α-sin4α的值.
(2)设角kπ+α(k∈Z)的终边与单位圆x2+y2=1交于点P,求点P的坐标.
【解析】(1)原式=(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)=cos2α-sin2α=
===-.
(2)由tan
α=-2得sin
α=-2cos
α,
代入sin2α+cos2α=1得cos2α=,
因为α是第二象限角,所以cos
α<0,
所以cos
α=-,sin
α=tan
αcos
α=.
当k为偶数时,P的坐标
即P.
当k为奇数时,P的坐标
即P.
综上,点P的坐标为或.
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