正弦函数的性质与图象
(20分钟 35分)
1.(2020·济南高一检测)函数y=-sin
x在[0,2π]上的图象是
( )
【解析】选D.根据五点法找出五个特殊点,分别为(0,0),,
(π,0),,(2π,0),然后描点并用光滑的曲线连接.
【补偿训练】
函数y=-sin
|x|的图象是
( )
【解析】选D.因为函数y=-sin
|x|是定义域R上的偶函数,图象关于y轴对称,所以排除A;
因为函数y=-sin
|x|的值有正有负,
所以排除C;当x≥0时,y=-sin
x,所以排除B.
2.函数y=cos2x-sin
x+1的值域是
( )
A.[0,2]
B.
C.[1,3]
D.
【解析】选D.根据同角三角函数关系式,化简可得
y=cos2x-sin
x+1=1-sin2x-sin
x+1,
令t=sin
x,t∈,
则y=-t2-t+2=-+,
由二次函数性质可知,当t=-时,取得最大值,
当t=1时,取得最小值为0,所以值域为.
3.下列函数是奇函数的是
( )
A.y=sin
B.y=xsin
C.y=-sin
D.y=sin(-)
【解析】选B.对于A选项,函数的定义域为R,
设f(x)=sin|x|,f(-x)=sin|x|=f(x),故函数为偶函数,不符合题意.对于B选项,函数的定义域为R,
设f(x)=xsin|x|,f(-x)=-xsin|x|=-f(x),故函数为奇函数,符合题意.对于C选项,函数的定义域为R,设f(x)=-sin|x|,f(-x)=-sin|x|=f(x),故函数为偶函数,不符合题意.对于D选项,函数的定义域为R,
设f(x)=sin(-|x|),f(-x)=sin(-|x|)=f(x),故函数为偶函数,不符合题意.
4.(2020·济南高一检测)函数f(x)=sin(x+φ)满足
f=1,则f的值是
( )
A.0
B.
C.
D.1
【解析】选A.由f(x)=sin(x+φ)满足f=1,
得sin=1,即+φ=+2kπ,k∈Z.
则φ=+2kπ,k∈Z.
所以f(x)=sin(x+φ)=sin=sin.
所以f=sin
π=0.
5.不等式-sin
x-cos2x-m≤0对任意的x∈R恒成立,则实数m的最小值为 .?
【解析】由-sin
x-cos2x-m≤0
得m≥-sin
x-cos2x=sin2x-sin
x-,
由题意可知,不等式m≥sin2x-sin
x-对任意的x∈R恒成立,则m≥.
另一方面y=sin2x-sin
x-=-,
且-1≤sin
x≤1.
所以函数y=sin2x-sin
x-在sin
x=-1时取得最大值,即ymax=2-=,所以m≥.
因此,实数m的最小值为.
答案:
6.用“五点法”作出函数y=-1-sin
x,x∈[0,2π]的图象,并说明它的图象由y=sin
x,x∈[0,2π]的图象经过怎样的变换得到.
【解析】列表.x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
-1
0
-1-sin
x
-1
-2
-1
0
-1
描点作图.
要作出y=-1-sin
x,x∈[0,2π]的图象,先由正弦函数y=sin
x,x∈[0,2π]作关于x轴的对称图象,再向下平移1个单位得到.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.方程sin2x-2sin
x-a=0在x∈R上有解,则a的取值范围是
( )
A.[-1,+∞)
B.(-1,+∞)
C.[-1,3]
D.[-1,3)
【解析】选C.由于sin2x-2sin
x-a=0,
即a=sin2x-2sin
x=(sin
x-1)2-1,
令t=sin
x,t∈[-1,1],
所以y=(t-1)2-1∈[-1,3],故a∈[-1,3].
2.设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)=则f=
( )
A.
B.-
C.0
D.1
【解析】选A.因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f=f=f.又因为0≤≤π,
所以f=f=sin=.
3.设函数y=sin
x的定义域为[m,n],值域为,令t=n-m,则t的最大值与最小值的和为
( )
A.2π
B.
C.π
D.
【解析】选A.因为函数y=sin
x的定义域为[m,n],值域为,结合正弦函数y=sin
x的图象与性质,不妨取m=-,n=,此时n-m取得最大值为,取m=-,n=,n-m取得最小值为,则t的最大值与最小值的和为2π.
【补偿训练】
已知函数f(x)=2sin
x,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为
( )
A. B. C.π D.2π
【解析】选C.由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立,不难发现f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sin
x的半个周期.
因为f(x)=2sin
x的周期为2π,
所以|x1-x2|的最小值为π.
4.(2020·长沙高一检测)函数f(x)=的图象大致为
( )
【解析】选A.因为f(-x)==-f(x),
所以f(x)是奇函数,排除B,C,
又因为f==>0,排除D.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·潍坊高一检测)已知函数y=2sin
x的定义域为[a,b],值域为[-2,1],则b-a的值可能是
( )
A.
B.
C.π
D.
【解析】选BCD.因为y=2sin
x的定义域为[a,b],值域为[-2,1],所以x∈[a,b]时,-1≤sin
x≤,故sin
x能取得最小值-1,最大值只能取到.
在内考虑:当a=-,b=或a=-π,b=-时,b-a最小,为;a=-π,b=时,b-a最大,为,即≤b-a≤,
故b-a的值可能为,π,.
6.已知函数f(x)=|tan
x|·cos
x,则下列说法正确的是
( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于中心对称
C.f(x)在区间上单调递增
D.f(x)的值域为[-1,1]
【解析】选BC.因为函数f(x)=|tan
x|·cos
x=
画出函数f(x)的图象,如图所示:
所以f(x+2π)=|tan(x+2π)|·cos(x+2π)=
|tan
x|·cos
x,f(x)的最小正周期是2π,根据f(x)的图象,f(x)的图象关于中心对称,f(x)在区间上单调递增,f(x)的值域为(-1,1).
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.函数f(x)=lg(1+2sin
x)的值域为 .?
【解析】因为0<1+2sin
x≤3,故lg(1+2sin
x)≤lg
3.
答案:
【补偿训练】
函数y=2-4sin
x-4cos2x的最大值是 ,函数取最大值时对应的x的值是 .?
【解析】y=2-4sin
x-4cos2x=2-4sin
x-4=4-3,
当sin
x=-1,即x=-+2kπ,k∈Z时,
函数取得最大值,
最大值为4×(-1)2-4×(-1)-2=6.
答案:6 2kπ-,k∈Z
8.(2020·潍坊高一检测)若函数y=sin
x-x∈有两个零点,则实数m的取值范围为 ,两个零点之和为 .?
【解析】由sin
x-=0得sin
x=.在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin
x的图象与直线y=,如图所示.
由图知,当≤<1,即≤m<2时,两图象有两个交点,即原函数有两个零点,此时m∈.
设两个零点分别为x1,x2,
由于两交点关于直线x=对称,
所以=,所以x1+x2=π.
答案: π
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=.
(1)化简f(x)并求f的值;
(2)设函数g(x)=1-2f(x)且x∈,求函数g(x)的单调区间和值域.
【解析】(1)f(x)==sin
x,
f=sin=-sin=-sin=.
(2)因为f(x)=sin
x,所以g(x)=1-2sin
x,x∈,所以g(x)的减区间为,增区间为.
因为-≤x≤,所以-≤sin
x≤1,
所以-1≤1-2sin
x≤2,所以g(x)的值域为[-1,2].
10.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin
x.
(1)当x∈[-π,0]时,求f(x)的解析式.
(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的函数简图.
(3)当f(x)≥时,求x的取值范围.
【解析】(1)若x∈,则-x∈.
因为f(x)是偶函数,
所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin
x.
若x∈,则π+x∈,
因为f(x)是最小正周期为π的周期函数,
所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin
x,
所以x∈[-π,0],f(x)=-sin
x.
(2)函数f(x)在[-π,π]上的函数简图,如图所示:
(3)x∈[0,π],sin
x≥,可得≤x≤,函数周期为π,因此x的取值范围是kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
1.函数y=的单调递增区间为 .?
【解析】设u=sin
x,由复合函数的单调性知,求原函数的单调递增区间即求u=sin
x的单调递减区间,结合u=sin
x的图象知2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
答案:(k∈Z)
2.已知函数f(x)=sin
x-2|sin
x|,x∈[0,2π],
(1)作出函数f(x)的图象,并写出f(x)的单调区间;
(2)讨论g(x)=sin
x-2|sin
x|-k,x∈[0,2π]的零点个数,并求此时k的取值范围.
【解析】(1)f(x)=
图象如图,
由图象可知f(x)的递增区间为,;
f(x)的递减区间为,.
(2)由图象可知:
当k>0或k<-3时,直线y=k与函数f(x)有0个交点;
当k=-3时,直线y=k与函数f(x)有1个交点;
当-3
当k=0或k=-1时,直线y=k与函数f(x)有3个交点;
当-1【补偿训练】
设函数f=函数g=则方程f=g根的个数是
( )
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】选B.x≥0时,f(x)=2x,g(x)=x2,它们的图象有两个交点(2,4),(4,16),
x<0时,y=是周期函数,最小正周期是π,其最大值是1,
而lg[-(-10)]=1,-π<-10<-3π,
x<0时,作出函数f(x),g(x)的图象,如图,
由图象可以看出,它们有5个交点,
所以函数f(x),g(x)的图象在R上有7个交点,即方程f=g有7个根.
PAGE正弦型函数的性质与图象(二)
(20分钟 35分)
1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2sin
100πt,t∈(0,+∞),则电流I变化的周期是
( )
A.
B.100
C.
D.50
【解析】选C.T==.
2.(2020·长沙高一检测)函数f=Asin(其中A>0,ω>0,
<)的图象如图,则此函数表达式为
( )
A.f=3sin
B.f=3sin
C.f=3sin
D.f=3sin
【解析】选B.由图象知A=3,T=4=4π,
则ω==,
图中的点对应正弦曲线中的点(π,0),
所以×+φ=π,解得φ=,
故函数表达式为f=3sin.
【补偿训练】
(2020·贵阳高一检测)函数y=Asin(ωx+φ)+b在一个周期内的图象如图(其中A>0,ω>0,<),则函数的解析式为
( )
A.y=2sin+1
B.y=2sin+1
C.y=2sin+1
D.y=2sin+1
【解析】选D.由图象可知,函数的最大值为3,最小值为-1,所以A==2,
b==1,=π-=,即T=π,所以ω===2,函数y=2sin+1,
函数经过点,代入函数方程,
得1=2sin+1,即0=sin,
即+φ=kπ,k∈Z,又<,所以φ=-,
所以函数的解析式为y=2sin+1.
3.(2020·成都高一检测)函数y=sin的图象
( )
A.关于直线x=1对称
B.关于点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
【解析】选B.设f=sin,则f=0,
所以,函数f=sin的图象关于点对称,A选项错误,B选项正确;
若函数f=sin的图象关于x轴对称,则与函数的定义矛盾,C选项错误;
因为f(-1)=sin
2≠0,则f(-1)≠f(1),所以函数f(x)=sin(1-x)的图象不关于y轴对称,D选项错误.
4.已知函数f(x)=2sin,若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)
(x1,x2∈R)成立,则|x1-x2|的最小值为________.?
【解析】因为对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),
所以f(x1)是最小值,f(x2)是最大值;
所以|x1-x2|的最小值为函数的半个周期,
因为f(x)=2sin的周期T=8π,
所以|x1-x2|的最小值为4π.
答案:4π
5.(2020·天津高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,<)的图象与y轴的交点为,它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和(x0+2π,-2).则φ=______,x0=________.?
【解析】由题意知,A=2,且f=2sin
φ=1,
所以sin
φ=,又<,所以φ=,
又T=(x0+2π)-x0=2π,所以T=4π,
所以ω==,
所以x0+=,解得x0=.
答案:
6.(2020·成都高一检测)已知函数f=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f的解析式;
(2)求函数f在区间x∈上的最大值和最小值.
【解析】(1)由题意可知,A=2,
=,得T=π,解得ω=2.
f=2sin=2,即+φ=+2kπ,k∈Z,
因为<,
所以φ=-,故f(x)=2sin;
(2)当x∈时,2x-∈,
故f(x)min=2sin=-1,f(x)max=2sin=2.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·正定高一检测)已知函数f=Asin的部分图象如图所示,且f(a+x)+f(a-x)=0,则的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由题意T=-,T=π,
所以函数f(x)在y轴右边的第一个零点为+=,在y轴左边第一个零点是-=-,
所以的最小值是.
2.(2020·台州高一检测)已知函数f=2sin
ωx(其中ω>0),若对任意x1∈,存在x2∈,使得f=f,则ω的取值范围为
( )
A.ω≥3
B.0<ω≤3
C.0<ω≤
D.ω≥
【解析】选D.由题意可知,f在的值域包含了上的值域,故应当大于等于个周期才能使得值域包含了上的值域,故×≤?ω≥.
3.(2020·合肥高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,给出下列四个结论:
①f(x)的最小正周期为;
②f(x)的最小值为-4;
③是f(x)的一个对称中心;
④函数f(x)在区间上递增.
其中正确结论的个数是
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选B.由图象知函数f(x)的最小正周期为T=2×=,则ω=4,即f(x)=Asin,又由f=A,得sin=1,由0<φ<π可知φ=,从而f(x)=Asin,又f(0)=2,可得Asin=2,所以A=4,从而f(x)=
4sin,易判断①②正确,而f≠0,所以③错误,
又由2kπ-≤4x+≤2kπ+,k∈Z,
得f(x)的增区间为,k∈Z,
可知当k=-1时,是f(x)的一个增区间,④正确.
【补偿训练】
已知函数f=sin(ω>0)满足f=f=-,
且f在(x0,x0+1)上有最小值,无最大值.给出下述四个结论:
①f=-1;
②若x0=0,则f=sin;
③f的最小正周期为3;
④f在上的零点个数最少为1
346个.
其中正确的结论是
( )
A.①②④ B.①③④ C.①③ D.②④
【解析】选C.区间中点为x0+,根据正弦曲线的对称性知f=-1,①正确.
若x0=0,则f=f=-,
即sin
φ=-,不妨取φ=-,
此时f=sin,满足条件,
但f=1为上的最大值,不满足条件,故②错误.
不妨令ωx0+φ=2kπ-,ω+φ=2kπ-,两式相减得ω=,即函数的周期T==3,故③正确.
区间的长度恰好为673个周期,
当f=0时,即φ=kπ时,f在开区间上零点个数至少为673×2-1=1
345,故④错误.故正确的是①③.
4.矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼(The
London
Eye)是世界上首座,也曾经是世界最大的观景摩天轮,已知其旋转半径60米,最高点距地面135米,运行一周大约30分钟,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10分钟时他距地面大约为
( )
A.95米
B.100米
C.105米
D.110米
【解析】选C.设人在摩天轮上离地面高度(米)与时间t(分钟)的函数关系为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π)),由题意可知A=60,
B=135-60=75,T==30,所以ω=,
即f(t)=60sin+75.
又因为f(0)=135-120=15,
解得sin
φ=-1,故φ=,
所以f(t)=60sin+75=-60cost+75,
所以f(10)=-60×cos+75=105.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·济南高一检测)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是
( )
A.该函数的周期是16
B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14
C.该函数的解析式是y=10sin+20
D.该市这一天中午12时气温大约是27
℃
【解析】选ABD.对于A选项,由图象可知,该函数的最小正周期为T=2×
=16,A选项正确;对于B选项,该函数在x=14取得最大值,所以该函数图象的一条对称轴是直线x=14,B选项正确;对于C选项,由图象可得解得
ω===,因为图象经过点,
所以30=10sin+20,
所以sin=1.
因为0<φ<π,所以<+φ<,则+φ=,所以φ=,所以函数解析式为
y=10sin+20,C选项错误;
当x=12时y=10sin+20=10×+20≈27,故D选项正确.
6.已知函数f=sin,-为f的一个零点,x=为f图象的一条对称轴,且f在上有且仅有7个零点,下述结论正确的是
( )
A.φ=
B.φ=
C.ω=5
D.f在上单调递增
【解析】选BD.因为x=为f(x)图象的一条对称轴,
-为f(x)的一个零点,
所以ω×+φ=+k1π且ω×+φ=k2π(k1,k2∈Z),
所以ω=2k+1,k∈Z.
因为f(x)在(0,π)上有且仅有7个零点,
所以7π<ωπ+φ≤8π,即<ω≤,所以ω=7,
所以7×+φ=+kπ(k∈Z),
又0<φ<,所以φ=,
所以f=sin,
由-+2kπ≤7x+≤+2kπ得-+≤x≤+(k∈Z),
即f(x)在上单调递增,
所以f(x)在上单调递增,综上BD正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·宁波高一检测)已知函数f(x)=sin+(ω>0),若函数f(x)的最小正周期为.则ω=________.若ω=2,则函数y=|f(x)|的最小正周期为________.?
【解析】由最小正周期公式可得T=?ω=4;若ω=2,画出函数y=|f(x)|的图象,如图:
可以发现,函数y=|f(x)|的最小正周期为π.
答案:4 π
8.(2020·上海高一检测)如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)
的部分图象,M,N是它与x轴的两个交点,D,C分别为它的最高点和最低点,E(0,1)是线段MD的中点,且△OME为等腰直角三角形,则f(x)的解析式为f(x)=________.?
【解析】由已知点E(0,1)是线段MD的中点知A=2,根据△OME为等腰直角三角形,
可得M(-1,0),D(1,2),
所以·=1-(-1),解得ω=;
所以函数f(x)=2sin,
又由M(-1,0)是f(x)图象上的点,由正弦函数的图象与性质知,×(-1)+φ=0,可得φ=,
所以f(x)=2sin.
答案:2sin
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·扬州高一检测)已知函数f=Asin(ωx+φ)+B(其中A,ω,φ,B均为常数,A>0,ω>0,<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f的解析式;
(2)若先将函数f图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将图象向左平移m(m>0)个单位,得到函数g的图象,若g是奇函数,求实数m的最小值.
【解析】(1)由图象可知A==1,B==2,
=-=,所以T==π,
所以ω=2,所以f=sin+2.
由f=sin+2=1,
得+φ=2kπ+,k∈Z,
所以φ=2kπ-,k∈Z,
因为<,所以φ=-.
所以f=sin+2.
(2)由题意g=sin+2,
g=sin+2,
因为g是奇函数,
所以4m-=kπ,k∈Z,
所以m=+,k∈Z,
因为m>0,所以当k=0时,m的最小值为.
10.函数y=sin(ω>0,<)在同一个周期内,当x=时,y取最大值1,当x=时,y取最小值-1.
(1)求函数的解析式y=f(x);
(2)函数y=sin
x的图象经过怎样的变换可得到y=f(x)的图象?
(3)若函数f(x)满足方程f(x)=a(0【解析】(1)因为=2×
,所以ω=3,
又因为sin=1,所以+φ=2kπ+,
又|φ|<得φ=-,
所以函数f=sin;
(2)y=sin
x的图象向右平移个单位得
y=sin的图象,
再由y=sin图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到y=sin的图象;
(3)因为f(x)=sin的周期为π,
所以y=sin在[0,2π]内恰有3个周期,
所以sin=a(0同理,x3+x4=π,x5+x6=π,
故所有实数根之和为++=.
1.已知函数y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0)图象上一个最高点P的横坐标为,与P相邻的两个最低点分别为Q,R,若△PQR是面积为4的等边三角形,则函数解析式为y=________.?
【解析】△PQR是面积为4的等边三角形,
可得边长为,高为2A.
那么S=×4A×4A×sin60°×=4,
所以A=,周期T=边长=4;所以ω==.
图象过点,即=sin,
可得φ=.
所以得函数解析式为y=sin.
答案:sin
【补偿训练】
(2020·长沙高一检测)如图函数f(x)=Asin(ωx+φ)
与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(2,0),∠PQR=,M为QR的中点,PM=2,则A的值为
( )
A. B. C.8 D.16
【解析】选A.设Q(2a,0),a>0,
因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|≤与坐标轴的三个交点P,Q,R满足∠PQR=,所以R(0,-2a),
因为M为QR的中点,所以M(a,-a),
因为PM=2,所以=2,
解得a=4(负值舍去),所以Q(8,0),又P(2,0),
所以T=8-2=6,所以T==12,
解得ω=,因为函数经过P(2,0),R(0,-8),
所以
因为|φ|≤,所以φ=-,解得A=.
2.(2020·济南高一检测)已知函数f=Asinωx+(A>0,ω>0)只能同时满足下列三个条件中的两个:①函数f的最大值为2;②函数f的图象可由y=sin的图象平移得到;③函数f图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)请写出这两个条件序号,并求出f的解析式;
(2)求方程f+1=0在区间上所有解的和.
【解析】(1)函数f=Asin满足的条件为①③.
理由如下:由题意可知条件①②互相矛盾,
故③为函数f=Asin满足的条件之一,
由③可知,T=π,所以ω=2,故②不合题意,
所以函数f=Asin满足的条件为①③;
由①可知A=2,所以f=2sin;
(2)因为f+1=0,所以sin=-,
所以2x+=-+2kπ或2x+=+2kπ,
所以x=-+kπ或x=+kπ,
又因为x∈,
所以x的取值为-,,-,,
所以方程f+1=0在区间上所有解的和为.
PAGE正弦型函数的性质与图象(一)
(15分钟 30分)
1.将函数y=sin向左平移个单位,可得到的函数的解析式是( )
A.y=sin
2x
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
【解析】选C.y=sin的图象向左平移个单位长度得到y=sin=sin的图象.
【补偿训练】
已知曲线C1:y=sin
x,C2:y=sin,则下面结论中正确的是
( )
A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标伸长到原米的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
【解析】选B.因为已知曲线C1:y=sin
x,C2:y=sin,故把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,可得y=sin
2x的图象;再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2.
2.函数y=3-2sin取得最大值时x的取值可能为
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.当sin=-1,
即2x-=-+2kπ,k∈Z时函数取得最大值,
解得x=-+kπ,k∈Z,故可能取-.
3.已知函数f(x)=sin,将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.函数的图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)=sin=sin2x+-2φ,又为偶函数,可得-2φ=kπ+,k∈Z,即φ=-kπ-,k∈Z,由于φ>0,故φ的最小值为.
4.(2020·徐汇高一检测)函数y=的最小正周期为 .?
【解析】函数y=的最小正周期是函数y=
sin的周期的一半而函数y=sin的周期为=4π,故函数y=的最小正周期是2π.
答案:2π
5.已知函数f(x)=sin+,x∈R.
(1)写出函数f(x)的最小正周期;
(2)请在下面给定的坐标系中用“五点法”画出函数f(x)在区间的简图;
(3)指出该函数的图象可由y=sin
x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到.
【解析】(1)T==π.
(2)列表如下:
x
-
π
2x+
0
π
2π
sin
0
1
0
-1
0
f(x)
-
简图如下:
(3)将y=sin
x的图象向左平移得到
y=sin的图象,
再保持纵坐标不变,横坐标缩短为原来的得到y=
sin的图象,最后再向上平移个单位得到y=sin+的图象或将y=sin
x的图象向上平移个单位得到C1:y=sin
x+的图象,
再将所得图象C1向左平移个单位得到C2:
y=sin+的图象,
再将所得图象C2上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)就得到y=sin+的图象.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.关于x的方程sin=2m在[0,π]内有相异两实根,则实数m的取值范围为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由于0≤x≤π,所以≤x+≤,由于关于x的方程sin=2m在[0,π]内有相异两实根,令u=x+,由函数y=sin
u与y=2m的图象可知,≤2m<1,解得≤m<.
2.(2020·天津高考)已知函数f(x)=sin.给出下列结论:
①f(x)的最小正周期为2π;
②f是f(x)的最大值;
③把函数y=sin
x的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
其中所有正确结论的序号是
( )
A.①
B.①③
C.②③
D.①②③
【解析】选B.因为f(x)=sin,所以最小正周期T==2π,故①正确;
f=sin=sin
=≠1,故②不正确;将函数y=sin
x的图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=sin的图象,故③正确.
3.(2019·全国高考改编)函数f=在的图象大致为
( )
【解析】选D.因为
f==,
f=-=-f,
所以f为奇函数,故A错;
f==>1,故B,C错.
4.如图为函数y=f的图象,则该函数可能为
( )
A.y= B.y=
C.y=
D.y=
【解析】选B.由题图可知,x=π时,y<0,而A,C,D此时对应的函数值y=0.
【方法点拨】识图常用的方法
(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;
(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;
(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,对而不全的得3分,有选错的得0分)
5.有下列四种变换方式,其中能将正弦曲线y=sin
x的图象变为y=sin的图象的是
( )
A.横坐标变为原来的,再向左平移
B.横坐标变为原来的,再向左平移
C.向左平移,再将横坐标变为原来的
D.向左平移,再将横坐标变为原来的
【解析】选BC.A.y=sin
x横坐标变为原来的,再向左平移,得y=sin=sin,故A不正确;B.y=sin
x横坐标变为原来的,再向左平移,得y=sin=sin,故B正确;
C.y=sin
x向左平移,再将横坐标变为原来的,
得y=sin,故C正确;
D.y=sin
x向左平移,再将横坐标变为原来的,
得y=sin,故D不正确.
6.(2020·三亚高一检测)函数f(x)=3sin的图象为C,下列叙述正确是
( )
A.图象C关于直线x=π对称
B.函数f在区间上单调递增
C.由y=3sin
2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
D.图象C关于点对称
【解析】选AB.对于A,将x=π代入函数中得,
f(π)=3sin(2×π-)=3sinπ=-3,所以直线x=π是图象C的一条对称轴,故A正确;
对于B,由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以函数f在区间上单调递增是正确的;
对于C,由于f=3sin=3sin
2,
所以f的图象是由y=3sin
2x的图象向右平移个单位长度得到的,故C不正确;
对于D,当x=时,f=3sin=
3sin=≠0,所以图象C不关于点对称,故D不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·杭州高一检测)若函数f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t都有f=f,且f=-3,则函数f(x)=2sin(ωx+φ)+m的最大值为 ,实数m= .?
【解析】函数f(x)=2sin(ωx+φ)+m,
对任意实数t都有f=f,
则函数f(x)关于x=对称.
所以f(x)在x=时的函数值最大值为2+m或最小值为-2+m,由题意知f=-3,所以2+m=-3或-2+m=-3,解得m=-5或m=-1.
答案:2+m -5或-1
【补偿训练】
(2020·拉萨高一检测)已知函数f(x)=
Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g=,则f= .?
【解析】因为f(x)是奇函数,所以φ=0,因为f(x)的最小正周期为π,所以=π,得ω=2,则f(x)=Asin
2x,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x),则g(x)=Asin
x,因为g=,
所以g=Asin=,
即A=2,所以f(x)=2sin
2x,
所以f=2sin=2sin=2×=.
答案:
8.关于函数f=sin+有如下结论:
①f是偶函数;
②f在区间上单调递增;
③f最大值为2;④f在上有四个零点,其中正确命题的序号是 .?
【解析】对于命题①,函数f=sin+的定义域为R,关于原点对称,且f=sin+=sin+=sin+=f,该函数为偶函数,命题①正确;
对于命题②,当x>0,则f=sin
x+sin
x=2sin
x,则函数y=f在上单调递减,命题②错误;
对于命题③,因为sin≤1,≤1,
所以f≤2,又因为f=2,
所以,函数y=f的最大值为2,命题③正确;
对于命题④,当0x>0,f=sin
x+sin
x=2sin
x>0,由于该函数为偶函数,当-π0,又因为f=f=f=0,
所以,该函数在区间上有且只有三个零点.因此正确命题的序号为①③.
答案:①③
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=2sin(0<φ<π).
(1)当φ=时,用“五点法”作出函数f(x)在
上的图象.
(2)若函数f(x)为偶函数,求φ的值.
(3)在(2)的条件下,求函数在[-π,π]上的单调递减区间.
【解析】(1)当φ=时,f(x)=2sin,
列表如下:
+
0
π
2π
x
-
f(x)=2sin
0
2
0
-2
0
描点连线得
(2)因为函数f(x)为偶函数,φ=+kπ(k∈Z),
因为0<φ<π,所以φ=;
(3)由(2)得,f(x)=2cos,
当x∈[-π,π]时,所以∈,
所以当∈,即x∈[0,π]时f(x)单调递减.
所以函数在[-π,π]上的单调递减区间为[0,π].
10.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<在y轴上的截距为-1.
(1)求函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式.
(2)若x∈时,函数y=[f(x)]2-2f(x)-m有零点,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由图象可知=-=,
所以T=π,ω=2,因为2×+φ=kπ,k∈Z,及|φ|<,所以φ=-,而f(0)=Asin=-1,A>0,所以A=,所以f(x)=sin.
(2)因为x∈,所以2x-∈,
所以f(x)∈,又函数y=[f(x)]2-2f(x)-m有零点,所以方程m=[f(x)]2-2f(x)有实根,因为f(x)∈,所以[f(x)-1]2-1∈[-1,3],因此,实数m的取值范围为[-1,3].
1.如果两个函数的图象经过平移后能够重合,那么这两个函数称为“和谐”函数.下列函数中与g(x)=sin能构成“和谐”函数的是
( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=2sin
C.f(x)=sin
D.f(x)=sin+2
【解析】选D.将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度,即得到函数f(x)=sin+2的图象.
2.已知函数f=2sin+1ω>0,<,f图象上两相邻对称轴之间的距离为; ;?
在①f的一条对称轴为x=-;②f的一个对称中心为;③f的图象经过点,从这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中,然后确定函数的解析式.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【解析】由于函数y=f图象上两相邻对称轴之间的距离为,则该函数的最小正周期为T=2×=π,所以ω===2,此时f=2sin+1.
若选①,则函数y=f的一条对称轴为x=-,
则-+φ=+kπ得φ=+kπ,
因为-<φ<,当k=-1时,φ=,
此时f(x)=2sin+1;
若选②,则函数y=f的一个对称中心为,
则+φ=kπ,得φ=kπ-,
因为-<φ<,
当k=1时,φ=,此时f=2sin+1;
若选③,则函数y=f的图象过点,
则f=2sin+1=0,
得sin=-,
因为-<φ<,所以<+φ<,
所以+φ=,解得φ=,
此时f=2sin+1.
综上所述,f=2sin+1.
PAGE余弦函数的性质与图象
(20分钟 35分)
1.(2020·福州高一检测)下列函数中,以π为最小正周期且在区间上递增的是( )
A.y=sin
2x
B.y=-cos
2x
C.y=-sin
x
D.y=tan
2x
【解析】选B.对于A,
y=sin
2x,最小正周期为T==π,
当-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z时,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,在内不符合题意,所以A错误;对于B,y=-cos
2x的最小正周期为T==π,当2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z时,即kπ≤x≤+kπ,k∈Z,在内递增,所以B正确;对于C,y=-sin
x的最小正周期为T==2π,所以C错误;
对于D,y=tan
2x的最小正周期为T=,所以D错误.
【补偿训练】
下列函数中,周期为π,且在上递减的是
( )
A.y=-sin B.y=cos
C.y=sin
D.y=cos
【解析】选C.对A,y=-sin为偶函数,无周期;
对B,y=cos=cos
x,周期为2π,不满足;
对C,y=sin=cos
2x,周期为π,且当x∈时递减,满足;对D,y=cos=-sin
2x,周期为π,在区间上递增,不满足.
2.函数y=
( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
【解析】选A.定义域为R,f(-x)===-f(x),则f(x)是奇函数.
3.(2020·南通高一检测)函数y=3cos的最小正周期是
( )
A.
B.
C.2π
D.5π
【解析】选D.因为y=3cos,ω=,
所以T==5π.
4.函数y=3-2cos的最大值为________,此时自变量x的取值集合是________.?
【解析】当cos=-1时,
ymax=3-2×(-1)=5.
此时x+=2kπ+π,k∈Z,
所以x的取值集合为{x|x=3kπ+π,k∈Z}.
答案:5 {x|x=3kπ+π,k∈Z}
5.(2020·苏州高一检测)将函数f(x)=cos
2x的图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(0)的值为________.?
【解析】将函数f(x)=cos
2x的图象上的所有点向左平移个单位长度得,g(x)=cos=
cos,所以g(0)=cos=.
答案:
6.(2020·成都高一检测)已知函数f=2cos(πx+φ)0<φ<的图象过点.
(1)求函数f的解析式,并求出f的最大值、最小值及对应的x的值;
(2)求f的单调递增区间.
【解析】(1)因为f过点,
得2cos=,cos
φ=.
因为0<φ<,所以φ=,
故f=2cos.
当πx+=2kπ,
即x=2k-时,f=2;
当πx+=π+2kπ,即x=2k+时,
f=-2.
(2)由(1)知f=2cos,当-π+2kπ≤πx+≤2kπ时,f单调递增,
解得x∈,故f的单调递增区间为.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.函数y=3cos2x-4cos
x+1,x∈的最小值是
( )
A.-
B.
C.0
D.-
【解析】选D.y=3-,
因为x∈,所以cos
x∈.
当cos
x=时,y取到最小值为ymin=-.
2.(2020·聊城高一检测)将函数f(x)=cos
ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位,若所得图象与原图象重合,则f不可能等于
( )
A.0
B.1
C.
D.
【解析】选D.由题意=·k(k∈N
),所以ω=6k(k∈N
),因此f(x)=
cos
6kx(k∈N
),从而f=cos(k∈N
),可知f不可能等于.
3.函数y=ln
cos
x的图象是
( )
【解析】选A.令t=cos
x,则t≤1在恒成立,所以y=ln
t≤0在恒成立,结合图象,可知答案为A.
4.(2020·长沙高一检测)函数f(x)=的图象上关于y轴对称的点共有
( )
A.7对
B.5对
C.3对
D.1对
【解析】选B.由题意,因为y=cos
πx关于y轴对称,所以只要找到当x>0时,y=log5x与y=cos
πx的交点个数即可,函数图象如图所示,
则共有5个交点,所以f(x)图象上关于y轴对称的点共有5对.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知曲线C:y=cos(2x+φ)的一条对称轴方程为x=,曲线C向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到曲线E的一个对称中心的坐标为,则θ的值可以为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选CD.因为直线x=是曲线C的一条对称轴.所以2×+φ=kπ(k∈Z),又|φ|<.
所以φ=.
所以平移后曲线E为y=cos.
因为曲线E的一个对称中心为,
所以2×+2θ+=kπ+(k∈Z).
θ=-(k∈Z),注意到θ>0,
故θ的值可以为或.
6.设函数f(x)=cos,则下列结论正确的是
( )
A.f(x)的一个周期为2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=-对称
C.f的一个零点为π
D.f(x)在上单调递减
【解析】选ABC.由函数f(x)=cos,
在A中,由余弦函数的周期性得f(x)的一个周期为2π,故A正确;
在B中,函数f(x)=cos的对称轴满足条件x+=kπ,即x=kπ-,k∈Z,所以y=f(x)的图象关于直线x=-对称,故B正确;
在C中,f=cos=-sin
x,-sin
π=0,
所以f的一个零点为π,故C正确;
在D中,函数f(x)=cos在上先减后增,故D错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·广州高一检测)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)-1(ω>0,<π)的一个零点是x=,当x=时,函数f(x)取最大值,则当ω取最小值时,函数f(x)在上的最大值为________.?
【解析】由条件可得cos=,cos=1,所以+φ=2kπ±,
k∈Z,+φ=2nπ,n∈Z,将两式相减可得ω=24±4,所以ω的最小值为4,此时φ=2nπ-π,n∈Z,因为<π,
所以φ=π,所以f(x)=2cos-1,
因为x∈,所以4x+∈,
所以函数f(x)在上的最大值为0.
答案:0
【补偿训练】
(2020·潍坊高一检测)已知函数f=则f
=________;若关于x的方程f=0在内有唯一实根,则实数a的取值范围是________.?
【解析】f=f=f=0,f图象如图,
设f与x轴从左到右的两个交点分别为A(-1,0),B,f与f的图象是平移关系,由图可知a∈,即实数a的取值范围是.
答案:0
8.函数y=cos
x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是________.?
【解析】因为y=cos
x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有-π答案:(-π,
0]
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f=2cos.
(1)若φ=-,用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数f在上的图象;
(2)若f为奇函数,求φ;
(3)在(2)的前提下,将函数y=f的图象向左平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g的图象,求g在上的单调递增区间.
【解析】(1)当φ=-时,f=2cos,列表:
x
0
π
θ=2x-
-
0
π
y
2
0
-2
0
则函数y=f在区间上的图象是:
(2)因为f=2cos为奇函数,
所以f=2cos
φ=0,所以φ=+kπ,k∈Z,
因为-π<φ<0,所以φ=-.
(3)由(2)知:f=2cos=2sin
2x,
将f向左平移个单位,再将横坐标变为原来的2倍,得到g=2sin,
令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
解得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
所以g的递增区间为
,
所以g在上的递增区间为.
10.(2020·济南高一检测)已知某海滨浴场海浪的高度y(m)关于时间t的(0≤t≤24,单位:h)函数,记作y=f(t),表中是某日各时的浪高数据:
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos
ωt+b的图象.
(1)根据以上数据,求出函数y=Acos
ωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1
m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8∶00到晚上20∶00之间,有多长时间可供冲浪者进行运动?
【解析】
(1)由表中数据,知周期T=12,
则ω===.由A=,b=,
即A=0.5,b=1,所以振幅为,
所以y=cost+1.
(2)由题意知,当y>1时才可对冲浪者开放.
所以cost+1>1,
所以cost>0.所以2kπ-所以在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时可供冲浪者运动,即上午9:00至下午15:00.
1.对于函数f(x),在使f(x)≥M成立的所有常数M中,我们把M的最大值称为函数f(x)的“下确界”.若函数f(x)=3cos+1,x∈的“下确界”为-,则m的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由题意f(x)=3cos+1,
x∈的最小值是-,
又f=3cos+1
=3cos+1=-,
由3cos+1≥-,
得cos≥-,
2kπ-≤2x-≤2kπ+,kπ-≤x≤kπ+,
k∈Z.
k=0时,-≤x≤,所以-【补偿训练】
将函数f=2cos
x的图象向右平移个单位,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数g的图象,若g-g(x2)=4,且x1,x2∈,则的最大值为
( )
A.π B.π C.π D.π
【解析】选D.将函数f=2cos
x的图象向右平移个单位,得到函数y=2cos的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数g=2cos的图象,
因为g-g=4,
所以g=2,g=-2(振幅为2),
所以2x1-=2k1π,
所以x1=+k1π(k1∈Z),
因为-2π≤+k1π≤2π,
所以-≤k1≤,k1=-2,-1,0,1,
2x2-=2k2π+π,x2=+k2π,k2∈Z,-2π≤+k2π≤2π,
所以-≤k2≤,k2=-2,-1,0,1.
当k1=1,k2=-2时,
==π;
当k1=-2,k2=1时,
==π.
所以=π.
2.已知f=cos,则f+f+…+f=________.?
【解析】由题意,求值f(1)=cos=,
f(2)=cos=-,f(3)=cos
π=-1,
f(4)=cos=-,f(5)=cos=,
f(6)=cos
2π=1,f(7)=cos=cos=,…
可知f(n)的值具有周期性,T=6则原式
=336+f(2
017)+f(2
018)
+f(2
019)+f(2
020)
=0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
=++(-1)+=-.
答案:-
PAGE正切函数的性质与图象
(15分钟 30分)
1.函数f(x)=-2tan的定义域是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由题意得2x+≠+kπ,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,则函数f(x)=-2tan的定义域为.
【补偿训练】
1.函数y=的定义域为
( )
A.{x|x≠0}
B.{x|x≠kπ,k∈Z}
C.
D.
【解析】选D.函数y=有意义时,
需使所以函数的定义域为
=.
2.函数y=tan
x+
( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
【解析】选A.定义域是∩
{x|x≠kπ,k∈Z}=.
又f(-x)=tan(-x)+
=-=-f(x),
即函数y=tan
x+是奇函数.
2.已知函数f(x)=tan
x,则下列结论不正确的是
( )
A.2π是f(x)的一个周期
B.f=f
C.f(x)的值域为R
D.f(x)的图象关于点对称
【解析】选B.A.f(x)=tan
x的最小正周期为π,
所以2π是f(x)的一个周期,所以该选项正确;
B.f=1,f=-1,所以该选项是错误的;C.f(x)=tan
x的值域为R,所以该选项是正确的;
D.f(x)=tan
x的图象关于点对称,所以该选项是正确的.
3.函数y=tan的单调递增区间是________.?
【解析】根据正切函数的图象与性质,
令-+kπ得-+kπ所以函数y=tan的单调递增区间是
,k∈Z.
答案:,k∈Z
4.已知函数f(x)=tan(x+φ),|φ|<的图象的一个对称中心为,则φ的值为________.?
【解析】因为函数的图象的一个对称中心为,
所以+φ=,k∈Z,
则φ=-+,k∈Z.
又|φ|<,取k=0,得φ=-;取k=1,得φ=,
所以φ的值为-或.
答案:-或
5.若有函数f(x)=tan,
(1)求函数的定义域;
(2)写出函数的单调区间;
(3)比较f(-1),f(0),f(1)的大小.
【解析】(1)由x+≠kπ+,k∈Z,
得函数的定义域为.
(2)由kπ-(3)f(0)=tan=1>0,
因为-<-1+<0,0<<,
所以f(-1)=tan=-tan<0,
因为<1+<π,0<<,
所以f(1)=tan=-tan
=-tan<0,
因为->0,y=tan
x在上是递增的,所以tan>tan,
所以-tan<-tan,
即f(1)f(-1)>f(1).
【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解,单调区间的求解,以及利用单调性比较函数值大小;本题的难点是比大小时,充分利用函数的单调性.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.函数y=+的定义域为
( )
A.
B.
C.∪
D.∪
【解析】选C.由题意可得
即
得
得
解得-2≤x≤-或-因此函数y=+的定义域为,.
2.已知a=tan
1,b=tan
2,c=tan
3,则
( )
A.aB.cC.bD.b【解析】选C.由题意可知a=tan
1>1,b=tan
2=-tan(π-2)<0,c=tan
3=
-tan(π-3)<0.
再根据>π-2>π-3>0,所以tan(π-2)>tan(π-3)>0,所以-tan(π-2)<
-tan(π-3)<0.
综上可得,a>0>c>b.
3.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)的图象关于点成中心对称,且与直线y=a相交两点的最短距离为,则方程f=1,x∈,所有实数根的和为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.f(x)与直线y=a相交两点的最短距离为,所以周期为=,ω=2,函数f(x)=tan(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象关于点成中心对称,
2×+φ=(k∈Z),所以φ=-(k∈Z),
因为|φ|<,所以φ=-,
所以f(x)=tan,
x∈,2x-∈,f(x)=1,
2x-=或2x-=,所以x=或x=,
方程f=1,x∈,所有实数根的和为.
4.已知函数f(x)=tan,下列结论错误的是
( )
A.x1,x2是f(x)=3的两个不相等的根,则|x1-x2|≥
B.是函数f(x)的对称中心
C.(k∈Z)是函数的对称中心
D.x=kπ-(k∈Z)是函数f(x)的对称轴
【解析】选D.由于f的最小正周期为T=,
所以≥,故A正确.
由2x+=,解得x=kπ-,
所以f的对称中心为(k∈Z),
其中一个对称中心是,所以B,C正确.
由于f没有对称轴,所以D错误.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列关于函数y=tan的说法正确的是
( )
A.在区间上单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于成中心对称
D.图象关于直线x=成轴对称
【解析】选AB.令kπ-解得kπ-易知该函数的最小正周期为π,故B正确;
令x+=,解得x=-,k∈Z,任取k值不能得到x=,故C错误;
正切函数曲线没有对称轴,因此函数y=tan的图象也没有对称轴,故D错误.
6.(2020·潍坊高一检测)已知函数f(x)=tan
x,x1,x2∈,则下列结论中正确的是( )
A.f=f
B.f=f
C.>0
D.f>
【解析】选AC.f(x)=tan
x的周期为π,故A正确;函数f(x)=tan
x为奇函数,故B不正确;
C项表明函数是递增的,而f(x)=tan
x在区间上递增,故C正确;
由函数f(x)=tan
x的图象可知,
函数在区间上有f>,在区间上有f<,故D不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·榆林高一检测)已知函数f(x)=tan(ωx+φ),(ω>0,0<φ<)的相邻两个对称中心距离为,且f(π)=-,将其上所有的点再向右平移个单位,纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为________.?
【解析】由题意得,函数f(x)=tan(ωx+φ)的相邻两个对称中心距离为·=,解得ω=,
且f(π)=-,即tan=-,因为0<φ<,解得φ=,所以f(x)=tan,
将f(x)图象上的点向右平移个单位,
可得f(x)=tan=tan,
再把所得图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的,
可得g(x)=tan的图象,
即函数g的解析式为g(x)=tan.
答案:g(x)=tan
8.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)的最小正周期为,且f(x)的图象过点,则方程f(x)=sin(x∈[0,π])所有解的和为________.?
【解析】由题意ω==2,又tan(2×+φ)=0,且0<|φ|<,所以φ=,
f(x)=tan,
由f(x)=tan==sin得sin=0或cos=1,又x∈[0,π],2x+∈,
所以2x+=π或2π,x=或,两根之和为.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·潍坊高一检测)(1)求函数y=3tan的定义域;
(2)求函数y=tan2x-2tanx的值域.
【解析】
(1)令-≠+kπ,k∈Z,得x≠--4kπ,k∈Z,
即函数的定义域为.
(2)令u=tan
x,因为|x|≤,
所以由正切函数的图象知u∈[-,],
所以原函数可化为y=u2-2u,u∈[-,],
因为该二次函数的图象开口向上,图象的对称轴方程为u=1,所以当u=1时,ymin=12-2×1=-1,
当u=-时,ymax=3+2,
所以原函数的值域为[-1,3+2].
10.当x∈时,f(x)=k+tan不存在正的函数值,求实数k的取值范围.
【解析】当x∈时,2x-∈,
f(x)=k+tan不存在正的函数值,
即f(x)≤0,即k≤-tan恒成立,
故k≤-tan的最小值.
因为tan∈,
所以-tan∈,
所以k≤-,
故实数k的取值范围为(-∞,-].
1.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”,而“平行曲线”具有性质:任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交,被截得的线段长度相等.已知函数f(x)=tan(ω>0)图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y=2
020相交于A,B两点,且=2,则f=
( )
A.
B.-
C.-3
D.--3
【解析】选A.因为=2,故f的周期为2,
所以=2,即ω=.所以f(x)=tan,
故f=tan=tan=.
2.已知f(x)=,
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)当x∈[-π,π],且x≠±时,画出f(x)的简图,并指出函数的单调区间.
【解析】(1)由函数f(x)=的解析式可得函数的定义域为关于原点对称,
又因为f(x)==,
所以f(-x)===-f(x),
所以函数f(x)=为奇函数.
(2)由(1)可得f(x)=
其图象如图所示
由图象可知增区间:,
减区间:,.
PAGE已知三角函数值求角
(20分钟 35分)
1.满足tan
x=-的角x的集合是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.当x∈时,
由tan
x=-,可得x=-,
因此所有满足tan
x=-的角x=kπ-,k∈Z.
2.若tan
α=,且α∈,则α=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为tan=,又α∈,
所以α=π+=.
3.(2020·潍坊高一检测)在x∈[0,2π]上满足cos
x≤的x的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.当cos
x=时,解得x=或,故cos
x≤时,x∈.
4.若x=是方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),则角α=________.?
【解析】由条件可知2cos=1,
即cos=,所以α+=2kπ±(k∈Z).
因为α∈(0,2π),所以α=.
答案:
5.方程2sin=1的解集是________.?
【解析】由方程2sin=1,
可得方程sin=,
所以x=2kπ+或x=2kπ+,
求得x=3kπ+或x=3kπ+.
答案:或
6.已知函数f(x)=2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求不等式f(x)>1的解集.
【解析】(1)f(x)=2cos,
由-π+2kπ≤x+≤2kπ,k∈Z,
所以-+4kπ≤x≤-+4kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为
,k∈Z;
(2)因为f(x)>1,所以2cos>1,
所以cos>,
所以-+2kπ所以-+4kπ所以不等式的解集为,k∈Z.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·济南高一检测)已知A为锐角,且tan
A=,那么下列判断正确的是
( )
A.0°B.30°C.45°D.60°【解析】选B.<<1,即tan
30°A45°.由正切函数随锐角的增大而增大,得30°2.(2020·海淀高一检测)不等式-x<1的解集是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.-x<1,
当x∈时,tan=-,tan=1,
且y=tan
x在上单调递增,所以-x的周期为π,所以不等式的解集为.
3.已知cos
α=-,则使lg(cos
α·tan
α)有意义的角α等于
( )
A.2kπ±,k∈Z
B.2kπ±,k∈Z
C.2kπ-,k∈Z
D.2kπ+,k∈Z
【解析】选D.因为lg(cos
α·tan
α)有意义,
所以α是第一或第二象限的角.
又因为cos
α=-<0,
所以α是第二象限的角.在上,α=,
所以α=2kπ+,k∈Z.
【补偿训练】
函数y=的定义域为____________________.?
【解析】由sin
xtan
x≥0得①
或②,
由①得,2kπ≤x<+2kπ,k∈Z或x=π+2kπ,k∈Z.
由②得,-+2kπ所以函数的定义域为.
答案:
4.已知tan
α≥且α∈,则α的取值范围为
( )
A.∪
B.
C.
D.∪
【解析】选A.已知tan
α≥且α∈,
若α∈,则tan
α>0,由已知tan
α≥,
可得tan2α≥1,所以tan
α≥1,α∈.
若α∈,则tan
α<0,由已知tan
α≥,
可得tan2α≤1,所以-1≤tan
α<0,α∈,
故α的取值范围为∪.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.使得等式2cos=1成立的角x可以是
( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选BCD.由已知得cos=.
因此=2kπ±,故x=4kπ±(k∈Z),
故x可以是±,.
6.已知函数y=cos
x的定义域为,值域为,则b-a的值不可能是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选AD.结合已知条件和余弦函数的图象可知,y取-和1时,x的最近的值相差-0=,所以b-a的值应不小于,y取-和1时,x的最远的值相差-=,所以b-a的值应不大于,故b-a的值不可能是和.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若sin(x-π)=-,且-2π【解析】因为sin(x-π)=-sin(π-x)=-sin
x
=-,所以sin
x=,
所以x=2kπ+或2kπ+π(k∈Z).
又-2π答案:-π或-π
【补偿训练】
若0≤x<π,则满足方程tan=1的解的集合是________.?
【解析】由tan=1,得4x-=+kπ,k∈Z,x=+,k∈Z,因为0≤x<π,
所以方程的解集为.
答案:
8.(2020·潍坊高一检测)方程2cos=1在区间内的解是________,若tan
2x=-且x∈,则x=________.?
【解析】因为2cos=1,所以cos=.
因为x∈,所以x-∈,
所以x-=,所以x=.
因为x∈,所以2x∈.
因为tan
2x=-,所以2x=或2x=,
所以x=或.
答案: 或
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.设函数f(x)=tan.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心.
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
【解析】(1)由-≠kπ+,
得到函数的定义域为;
周期T=2π;增区间为(k∈Z),
无减区间;对称中心为(k∈Z).
(2)由题意,kπ-≤-≤kπ+,
可得不等式-1≤f(x)≤的解集为
.
10.(2020·忻州高一检测)已知函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值以及相应的x的值;
(3)若f(x)=-,求cos+cos2-ωx的值.
【解析】(1)因为函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π,由T==π,得ω=2.
(2)f(x)=2cos,因为x∈,
所以2x+∈,
从而-1≤cos≤.
于是,当2x+=π,即x=时,
f(x)取得最小值-2;
当2x+=,即x=0时,f(x)取得最大值3.
(3)因为f(x)=2cos=-,
所以cos=-.
故cos+cos2
=cos+cos2
=cos+cos2
=-cos+sin2
=-cos+1-cos2
=+1-
=.
1.(2020·怀化高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,则当x∈[0,π]时,则不等式g(x)<1的解集为( )
A.
B.
C.∪
D.
【解析】选C.由图象可知A=2,
周期T=-,所以T=π,则ω=2,
所以f(x)=2sin(2x+φ),
图象过点代入可得2sin=2,
因为-π<φ<π,所以φ=-,
所以f(x)=2sin,
f(x)的图象向左平移个单位,得到
y=2sin=2sin,
所以函数g(x)=2sin,
不等式g(x)<1,即sin<,
当x∈[0,π]时,2x-∈,
结合正弦函数图象可得-≤2x-<或<2x-≤,解得0≤x<或所以不等式的解集为∪.
2.(2020·济南高一检测)声音是由物体振动产生的声波,其中纯音的数学模型是函数y=Asin
ωt,已知函数f(x)=2cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移个单位后,与纯音的数学模型函数y=2sin
2x图象重合,则φ=________,若函数f(x)在[-a,a]上单调递减,则a的最大值是________.?
【解析】将函数y=2sin
2x的图象向左平移个单位后可得到函数y=f(x)的图象,
则f(x)=2sin=2sin
=2sin=2cos,
又f(x)=2cos,所以φ=,
令2kπ≤2x+≤2kπ+π,
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以,函数y=f的单调递减区间为,
由0∈,可得k=0,
由于函数y=f在区间上单调递减,
则?,
所以,
解得0答案:
PAGE